第二十二章 二次函数 第10课 二次函数与一元二次方程(1)课件 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 第10课 二次函数与一元二次方程(1) 　　一次函数y＝2x－6，当x＝0时，y＝ ，因此它与y轴的交点 坐标为 ；当y＝0时，x＝ ，因此它与x轴的交点坐标 为 ⁠． －6 (0，－6) 3 (3，0) 　　知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 　　1． 【例1】如图，分别求下列抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并完 成填空． 　　(1)y＝x2－2x－3； 　　解：当x＝0时，y＝－3； 　　当y＝0时，x2－2x－3＝0. 　　解得x1＝－1，x2＝3. 　　∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，与y轴的交点坐标为 (0，－3)． 　　①Δ 0； 　　②一元二次方程x2－2x－3＝0有 ⁠的实数根； 　　③抛物线y＝x2－2x－3与x轴有 ⁠个交点． ＞ 两个不相等 2 　　(2)y＝x2－6x＋9； 　　解：当x＝0时，y＝9； 　　当y＝0时，x2－6x＋9＝0. 　　解得x1＝x2＝3. 　　∴抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，9)． 　　①Δ 0； 　　②一元二次方程x2－6x＋9＝0有 ⁠的实数根； 　　③抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有 ⁠个交点． ＝ 两个相等 1 　　(3)y＝x2－2x＋3. 　　解：当x＝0时，y＝3； 　　当y＝0时，x2－2x＋3＝0无实数根． 　　∴抛物线与x轴无交点，与y轴的交点坐标为(0，3)． 　　①Δ 0； 　　②一元二次方程x2－2x＋3＝0 ⁠实数根； 　　③抛物线y＝x2－2x＋3与x轴有 ⁠个交点． ＜ 无 0 　　 二次函数与一元二次方程的关系 　　(1) Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) Δ＞0 有两个不相等的实数根 与x轴有 ⁠个交点 Δ＝0 有 ⁠的实数根 与x轴有1个交点 Δ＜0 无实数根 与x轴有 ⁠个交点 2 两个相等 0 　　(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标为(m，0)，(n，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝ ，x2＝ ⁠． 　　(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有1个交点： ⁠ ⁠． m n (0，C) 　　知识点2 根据抛物线与x轴的交点个数求字母的取值范围 　　2． 【例2】若抛物线y＝x2＋6x＋m－1与x轴有2个交点，求m的 取值范围． 　　解：依题意，得Δ＝b2－4ac＝62－4×1×(m－1)＞0. 　　解得m＜10. 　　3． (北师九下P53习题T2变式)若抛物线y＝x2＋4x＋m与x轴有交 点，求m的取值范围． 　　解：依题意，得Δ＝b2－4ac＝42－4×1·m≥0． 　　解得m≤4. 　　知识点3 抛物线与一元二次方程的解 　　4． 【例3】若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(－1，0)， (2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为 ⁠． x1＝－1，x2＝2 　　5． 若一元二次方程ax2＋bx＝0的解为x1＝－2，x2＝0，则抛物线y ＝ax2＋bx与x轴的交点坐标为 ⁠． (－2，0)，(0，0) 　　1． 抛物线y＝2x2＋6x与x轴的交点坐标是 ⁠， 与y轴的交点坐标是 ⁠． (－3，0)，(0，0) (0，0) 　　2． 二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋1＝ 0的根的情况是(　B　) A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法判断 B 　　3． (1)已知抛物线y＝－2x2＋x＋c与x轴没有交点，求c的取值范 围． 　　解：∵抛物线y＝－2x2＋x＋c与x轴没有交点， 　　∴Δ＜0，即12－4×(－2)·c＜0. 　　解得c＜－ . 　　(2)已知二次函数y＝x2－mx＋m的图象与x轴只有一个交点，则m 的值为 ⁠． 　　(3)(易错题)已知二次函数y＝ax2－2x＋3的图象与x轴有两个交点， 则a的取值范围为 ⁠． 0或4 A＜ 且A≠0 　　4． 若二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与坐标轴有3个交点，则m的 取值范围是(　D　) A． m＞1 B． m＜1 C． m＞1且m≠0 D． m＜1且m≠0 D 　　5． 如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于点A，B(点A在点B的 左边)，与y轴交于点C. 　　(1)求A，B，C三点的坐标； 　　解：(1)令y＝0，则－x2＋x＋2＝0. 　　解得x1＝－1，x2＝2. 　　∵点A在点B的左边， 　　∴A(－1，0)，B(2，0)． 　　令x＝0，则y＝2. 　　∴C(0，2)． 　　(2)若在x轴上方的抛物线上存在点P，满足S△ABP＝3S△AOC，求点P 的坐标． 　　(2)∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)， 　　∴S△AOC＝ OA·OC＝ ×1×2＝1. 　　∵S△ABP＝3S△AOC，∴S△ABP＝3. 　　设P(x，－x2＋x＋2)． 　　∴S△ABP＝ AB·|yP|＝ ×|－1－2|×|－x2＋x＋2|＝3. 　　∴|－x2＋x＋2|＝2. 　　∵点P在x轴上方的抛物线上， 　　∴－x2＋x＋2＝2. 　　解得x1＝0，x2＝1. 　　∴点P的坐标为(0，2)或(1，2)． 　　 抛物线的对称轴 　　方法指导：确定抛物线对称轴的3种常见方法：(1)对于顶点式y＝ a(x－h)2＋k，对称轴为x＝h； (2)对于一般式y＝ax2＋bx＋c，对称轴为x＝－ ； (3)若抛物线与直线y＝m的交点坐标为(x1，m)，(x2，m)，则抛物线的对称轴为x＝ . 　　6． (人教九上P47习题T4改编)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点 是(－1，0)，(3，0)，则这条抛物线的对称轴为 ⁠． x＝1 　　7． 抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)的对称轴是 ⁠. x＝1 　　8． 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y 5 1 －1 1 　　则该二次函数图象的对称轴为(　D　) A． y轴 B． x＝ C． x＝2 D． x＝ D 　　9． 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，则抛物线与x轴的另 一交点坐标是 ⁠. (5，0) 　　10． 若二次函数y＝2x2－bx－1的图象经过点(3，y0)和(9，y0)，则 b的值为(　D　) A． －24 B． －12 C． 12 D． 24 D 　　11． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是x＝1，且经过 点P(3，0)，则a－b＋c的值为 ⁠． 0 　　 抛物线与直线的交点 　　方法指导：求直线y1＝kx＋m(k≠0)与抛物线y2＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的交点问题可转化为求直线与抛物线联立成的一元二次方程根的问 题．(类比抛物线与x轴的交点情况) Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝kx＋m(a≠0，k≠0) 抛物线y2＝ax2＋bx＋c(a≠0) Δ＞0 有两个不相等的实数根 与直线y1＝kx＋m有2个交点 Δ＝0 有两个相等的实数根 与直线y1＝kx＋m有1个交点 Δ＜0 无实数根 与直线y1＝kx＋m有0个交点(无交点) 　　12． (北师九下P53习题T4)二次函数y＝－x2＋3x＋4的图象与一次函 数y＝2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标． 　　解：相交． 　　联立 消去y，得x2－x－5＝0.解得x＝ . 　　∴当x＝ 时，y＝ .当x＝ 时，y＝－ . 　　∴它们的交点坐标为()和(，- ). $$