概率密度函数背景及模考题 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、概率密度函数 1、定义 在数学中, 连续型随机变量的概率密度函数 (在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值, 在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候,累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。 【定义】(关注微信公众号: 数学派)对于一维实随机变量 ,设它的累积分布函数是 ,如果存在可测函数 ,满足: ,那么 是一个连续型随机变量,并且 是它的概率密度函数。 2、性质 连续型随机变量 的概率密度函数 具有下列性质: ( 1 )如果概率密度函数 在一点 上连续,那么累积分布函数可导,并且它的导数: (2) (3) (4) (5)由于随机变量 的取值 只取决于概率密度函数的积分,所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说,如果一个函数和 的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个,那么这个函数也可以是 的概率密度函数。 (6)连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论,连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是, 概率 ,但 并不是不可能事件。 3、例子 最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。对于一个取值在区间 上的均匀分布函数 ,它的概率密度函数: 也就是说,当 不在区间 上的时候,函数值等于0; 而在区间 上的时候,函数值等于 图 1 另一个例子, 正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是: 随着参数 和 变化,概率分布也产生变化。 【典例 1】某网络平台每天循环播放电影. 据悉某天将放映某一电影,片长共 150 分钟 . 晚饭后,你随意打开电脑观看,问电影刚开始从头放映不超过 15 分钟的概率? 解析: 这是一个一维几何型概率的问题. 以分钟 (min) 为时间单位,可取 设 “电影刚开始从头放映不超过 15 分钟” 则 则 . 注: 因为该试验的结果本身就是数值,不妨直接定义 ,则 表示为打开电脑观看的时间, 由几何型概率的定义,可计算 的分布函数 图 2 因此, . 注意到, 是一个连续函数,所以对所有的实数 . 这表明,概率为0的事件未必是不可能事件. 三、模考中的新定义题 【典例 2】设随机变量 的概率密度函数为 则 ,若对 的进行三次独立的观测,事件 至少发生一次的概率为 ; (1)对 做 次独立重复的观测,若使得事件 至少发生一次的概率超 过 ,求 的最小值. ( ) (2)为满足广大人民群众对接种疫苗的需求,某地区卫生防疫部门为所辖的甲、 乙、丙三区提供了批号分别为 1、 2、 3、 4、 5 的五批次新冠疫苗以供选择, 要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种. 由于某些原因甲区不能选择 1、2、4 号疫苗,且这三区所选批号互不影响. 记“甲区选择 3 号疫苗”为事件 ,且 ( i )求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； (ii)记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为 ,求 的分布列. 解析: (1) 所以 解得 ,所以 用 表示对 的 次独立重复观察中事件 发生的次数,则 ,则 ,即 解得 对 至少做 11 次独立重复观测; (2) ① 记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件 ② 依题意 的可能取值为3,4,5,则 所以分布列如下 【典例 3】李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间(样本数据),经数据分析得到如下结果: 坐公交车:平均用时 ,方差为 36 骑自行车:平均用时 ,方差为 4 (1)根据以上数据,李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. (2)分别用 和 表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间, 和 的概率密度曲线如图 (a) 所示,如果某天有 可用,你应选择哪种交通方式? 如果仅有 可用,又应该选择哪种交通方式? 试说明理由. (提示:(2)中 和 的概率密度曲线分别反映的是 和 的取值落在某个区间的随机事件的概率,例如,图 (b) 中阴影部分的面积表示的就是 取值不大于 38 min 时的概率.) (a) (b) 解析: (1)李明平时选择骑自行车更稳妥 由已知得坐公交车平均用时 ,骑自行车平均用时 ,差距不大; 但是坐公交车的方差为 36 ,骑自行车的方差为 4 ,由于方差越小,取值越集中,稳定性越高, 波动性越小, 则坐公交车所花费的时间不稳定, 即李明平时选择骑自行车更稳妥. (2)由图 (a) 中可知, 和 的概率密度曲线可知 由此可知,如果某天有 可用,那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率,应选骑自行车； 由图 (a) 中可知, 和 的概率密度曲线可知 由此可知,如果某天有 可用,那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率, 应选坐公交车. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 一、概率密度函数 1、定义 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。 【定义】对于一维实随机变量 ，设它的累积分布函数是 ，如果存在可测函数 ，满足： ，那么 是一个连续型随机变量，并且 是它的概率密度函数。 2、性质 连续型随机变量 的概率密度函数 具有下列性质： （1） 如果概率密度函数 在一点 上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数： （2） （3） （4） （5） 由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个，那么这个函数也可以是X的概率密度函数。 （6） 连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是 。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率 ，但 并不是不可能事件。 3、例子 最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。对于一个取值在区间 上的均匀分布函数 ，它的概率密度函数： 也就是说，当 不在区间 上的时候，函数值等于 ；而在区间 上的时候，函数值等于 图 1 另一个例子，正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是： 随着参数 和 变化，概率分布也产生变化。 【典例1】某网络平台每天循环播放电影 . 据悉某天将放映某一电影，片长共 分钟 . 晚饭后，你随意打开电脑观看，问电影刚开始从头放映不超过 分钟的概率？ 解析： 注： 图 2 三、模考中的新定义题 【典例2】设随机变量 的概率密度函数为 则 ，若对 的进行三次独立的观测，事件 至少发生一次的概率为 ； （1） 对 做 次独立重复的观测，若使得事件 至少发生一次的概率超过 ，求 的最小值．（ ， ） （2） 为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为 、、、、 的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择 、、 号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择 号疫苗”为事件 ，且 （i） 求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； （ii） 记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为 ，求 的分布列． 解析： （1） （2） 【典例3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果： 坐公交车：平均用时 ，方差为 骑自行车：平均用时 ，方差为 （1） 根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. （2） 分别用 和 表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间， 和 的概率密度曲线如图 所示，如果某天有 可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有 可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由. （提示：（2） 中 和 的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图 中阴影部分的面积表示的就是 取值不大于 时的概率.） 解析： （1） （2） 获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派 学科网（北京）股份有限公司 $$