10.4《角平分线》课件2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

10.5 角平分线 1.经历探索、操作、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性。 2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。 素养目标 1.角平分线的定义是什么？请你结合图1用几何符号语言表示出来。 ∵OC平分∠AOB ∴∠1=∠2 （角平分线定义） A B C O 1 2 图1 2.什么是点到直线的距离？ 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做点到直线的距离。 A B O P 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线 复习回顾 折一折 量一量 把纸片的其中一个角∠AOB对折使OA和OB边重合，然后展开，这条折痕所在的射线为这个角的 角平分线 量一量这两条折痕的长度和这两条折痕分别与∠AOB两边OA、OB形成的夹角的度数。 重合后，再将纸片折叠，使O点落在OA边上，再展开，得到两条折痕。 A B C O 1 2 图1 P E D 探究新知 ？ ？ 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 D E A O B C P 你能用什么方法来证明你所猜想的结论？大家交流讨论，完成证明过程。 证一证 已知：在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证：PD=PE. 证明： A B C O 1 2 图1 P E D 探究新知 结论 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言 ∵OC平分∠_____,PD⊥_____,PE⊥______ ∴_____=____. 识记 一个平分，两个垂直 一个相等 AOB OA OB PD PE （角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 归纳小结 小试牛刀 1.如左图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠CBE=∠ABE,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的　 ,AE+DE= cm. C A B E D 角平分线 6 O M A B C P D 2.如右图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC, AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4cm,则点O到△ABC三边的距离之和为 cm. N E 温馨提示:只有一条垂线段—构造应用 12 例3如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD. E D A B C 在等腰直角三角形BDE中, 例题讲解 (1)解: ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=CD=4cm, ∵AC=BC,∠C=90°, ∴∠B=∠BAC=45°, ∴∠BDE=90°-45°=45°, ∴BE=DE=4(等角对等边), 例3如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD. E D A B C 例题讲解 (2)证明: 由(1)知DC=DE,∠C=∠AED=90°, 又∵AD=AD, ∴Rt△ACD≌Rt△ADE(HL), ∴AE=AC, 又∵BE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 针 对 练 习 (1)应用角平分线的性质时,“点在角平分线上”“点到角两边的距离”两个条件缺一不可,不能错用为角的平分线上的点到角两边上任意点的距离相等. (2)由角平分线的性质不用说明三角形全等便可以直接得到线段相等,这是说明线段相等的一个简便方法. 应用角平分线的性质的两点注意 思 考 如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线？ A O B 假设∠AOB 的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征? (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流. 需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作. 解：（1）这条射线到角两边的距离相等. 典 例 精 析 作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. D E C 例2 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线. 你能说明这样作的道理吗？ 3.作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线. 针 对 练 习 2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 D 2.如图所示,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点, OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB与CD之间的距离为(　　) A.3 B.3.5 C.4 D.6 随 堂 检 测 D A 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DB=5，BC=8，则DE的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　） A. mn B. 5mn C. 7mn D. 6mn 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG， △ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　） A. 25 B. 5.5 C. 7.5 D. 12.5 当堂检测 3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A、1处　　 B、2处　　 C、3处　　　D、4处 D A D 4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F是垂足，且BC = CD。 求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）DF = EB。 5．如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于P， 求证：点P在∠BAC的平分线上． 6.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线. 课堂小结 三角形三个内角的平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。 角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理的逆定理： 在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 $$