专题1：高考必须掌握的不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题1：高考必须掌握的不等式 知识梳理 1． 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）解不含参数的一元二次不等式（具体的） ①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正 ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0） ②解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根） ③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集 2．一次分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0 (<0) 法一：依据符号分类讨论 或 法二：化简成整式不等式 f (x)·g (x) > 0 (<0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： >a 先移项，转化为上述两种形式 【注】分式不等式化为整式不等式时，一定要注意所乘分母的符号，以判定不等号是否变方向 3. 高次分式不等式——“穿根法”/“穿针引线法” 解题步骤： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；“奇穿偶不穿” “奇穿偶不穿”指当不等式中有因式,n是奇数时，曲线在处穿过数轴，当n是偶数时，曲线在处不穿过数轴。 ④大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域； 【注意】不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿x=2点，但x=2满足“=”的条件，不能漏掉． 典例剖析 【考点一 二次、分式、高次不等式的解法（不含参）】 1．（24 山东淄博高一上月考）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 2．（25安徽阜阳高二下月考）解下列不等式： (1)； (2)． (3)； (4)； 3． （24北京高一上期末）解不等式： （1）． （2） 4．解下列不等式： (1)； (2)． 知识梳理 二、绝对值不等式、根式不等式 1. 绝对值不等式的解法 （1）单绝对值不等式 ① ② 或 ① ② 或 【总结】 ∣A∣< B ⇔ -B＜A＜B （B＞0） ∣A∣＞B ⇔ A＜-B 或 A＞B （2）双绝对值不等式 ①无其他项：平方法 ②有其他项：零点分段法讨论 2. 根式不等式的解法 （1） A的符号确定， ①A为负数 → 恒成立 ②A为非负数 → 平方法，转化为 （2）A的符号不确定 → 分类讨论 典例剖析 【考点二 绝对值不等式、根式不等式的解法】 5．（24甘肃高一上期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25湖南岳阳高三下模拟）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24辽宁大连高一上月考）解下列关于x的不等式． （1）； （2） 【变式】（25浙江宁波高二下期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 7．（24安徽亳州高一上月考）解下列不等式： (1) (2)． (3) (4) 知识梳理 三、指数、对数不等式的解法 根本：化为同底后，利用单调性（图象）进行求解 1．指对互化关系 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 2．两个恒等式——整数的指、对变换 ① 指、对底数相同，得余下部分 ② 3． ( 0 1 ) ( 0 1 )指数函数的图象与性质 指数函数 且 对数函数且 1 1 典例剖析 【考点三 指数、对数不等式的解法】 8．（25河南高三下联考）已知集合，则集合A的子集个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 9．（24江苏常州高二上月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（24福建泉州高一上期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24河南新乡高二下期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（24黑龙江高一上期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25湖南长沙高三下月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24天津高一上月考）已知集合，，则 ． 【变式】（25四川江油高二上月考）记全集，已知集合，， (1)求; (2)求. 四、三角不等式的解法知识梳理 根本：先找特殊值，再根据图象判断解集，注意是否要加上周期 1．常用特殊角的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 2．标准三角函数图象 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x 定义域 R 周期性 周期是2kπ，最小正周期为2π (k∈Z且k≠0) 周期是kπ，最小正周期是π 图象 典例剖析 【考点四 三角不等式的解法】 13．方程在上的解集为 ． 14．（23河南南阳高一下月考）函数的定义域为 ． 【变式】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25江西高一下月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1：高考必须掌握的不等式 知识梳理 1． 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）解不含参数的一元二次不等式（具体的） ①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正 ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0） ②解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根） ③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集 2．一次分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0 (<0) 法一：依据符号分类讨论 或 法二：化简成整式不等式 f (x)·g (x) > 0 (<0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： >a 先移项，转化为上述两种形式 【注】分式不等式化为整式不等式时，一定要注意所乘分母的符号，以判定不等号是否变方向 3. 高次分式不等式——“穿根法”/“穿针引线法” 解题步骤： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；“奇穿偶不穿” “奇穿偶不穿”指当不等式中有因式,n是奇数时，曲线在处穿过数轴，当n是偶数时，曲线在处不穿过数轴。 ④大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域； 【注意】不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿x=2点，但x=2满足“=”的条件，不能漏掉． 典例剖析 【考点一 二次、分式、高次不等式的解法（不含参）】 1．（24 山东淄博高一上月考）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1） 或. 所以所求不等式的解集为： （2） . 所以所求不等式的解集为： （3）由 . 所以所求不等式的解集为： （4）因为 . 由， 所以所求不等式的解集为： 2．（25安徽阜阳高二下月考）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． (3)； (4)； 【答案】(3) (4)或； 【分析】（3）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解. （4）由分式不等式解法可得答案； 【详解】（3），故. 所以不等式的解集为. （4） 或； 3． （24北京高一上期末）解不等式： （1）． 【答案】． 【分析】利用穿针引线法，利用数形结合思想得到不等式的解集. 【详解】的零点从左到右依次为， 当时，当时，当时，当时． 所以不等式：为． (2) 【答案】(2)； 【分析】（2）将不等式转化为不等式组求解. 【详解】 （2）不等式化为：或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. 4．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解 （2）对于非标准形式的分式不等式，要通过移项、通分的方法将其化为标准形式再求解. 【详解】（1）原不等式可化为或， 即或．    由图可知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为,即， 即或， 即或．    由图可知，原不等式的解集为． 知识梳理 二、绝对值不等式、根式不等式 1. 绝对值不等式的解法 （1）单绝对值不等式 ① ② 或 ① ② 或 【总结】 ∣A∣< B ⇔ -B＜A＜B （B＞0） ∣A∣＞B ⇔ A＜-B 或 A＞B （2）双绝对值不等式 ①无其他项：平方法 ②有其他项：零点分段法讨论 2. 根式不等式的解法 （1） A的符号确定， ①A为负数 → 恒成立 ②A为非负数 → 平方法，转化为 （2）A的符号不确定 → 分类讨论 典例剖析 【考点二 绝对值不等式、根式不等式的解法】 5．（24甘肃高一上期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 【变式】（25湖南岳阳高三下模拟）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，再求集合交集运算即可. 【详解】等价于，解得：. 所以集合，即. ，需分情况讨论： 当时，不等式变为，解得，此情况无解； 当时，不等式变为，解得，此时，， 综上，集合，即. 所以. 故选：D. 6．（24辽宁大连高一上月考）解下列关于x的不等式． (1)； 【答案】 (1)或； 【分析】 （1）分类讨论去掉绝对值可解不等式； 【详解】 （1）当时，， 结合，则； 当时，， 结合，则； 当时，， 结合，则. 综上：或； （2） 【答案】 【分析】利用分段讨论法来解一元一次不等式组即可. 【详解】由 再由题意可得或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为： 【变式】（25浙江宁波高二下期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】应用分类讨论解绝对值不等式，结合充分、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 综上，不等式的解为或， 所以A为必要不充分条件，B、D为充分不必要条件，C为充要条件. 故选：A. 7．（24安徽亳州高一上月考）解下列不等式： (1) 【答案】(1) 【分析】（1）将不等式两侧平方并化简得，即可求解集，注意根式有意义； 【详解】（1）将两侧平方得，则，可得，经验证满足题设， 所以，不等式解集为. (2)． 【答案】(2) 【分析】（2）不等式变形为，然后由，根式有意义，再平方后求解． 【详解】（2）原不等式化为，所以，解得或，所以． 所以原不等式的解集为． (3) (4) 【答案】(3)或 (4) 【分析】（3）将不等式等价变形，求解即可. （4）将不等式等价变形，求解即可. 【详解】 （3）原不等式等价于不等式组： ，所以， 解不等式得或， 解不等式得， 所以原不等式的解集为或； （4）原不等式等价于不等式组： 或， 分别解两个不等式组得或， 所以原不等式的解集为. 知识梳理 三、指数、对数不等式的解法 根本：化为同底后，利用单调性（图象）进行求解 1．指对互化关系 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 2．两个恒等式——整数的指、对变换 ① 指、对底数相同，得余下部分 ② 3． ( 0 1 ) ( 0 1 )指数函数的图象与性质 指数函数 且 对数函数且 1 1 典例剖析 【考点三 指数、对数不等式的解法】 8．（25河南高三下联考）已知集合，则集合A的子集个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】解不等式，化简集合，根据集合中元素个数得解. 【详解】∵， ∴， 又，∴， ∴的子集有个. 故选：B. 9．（24江苏常州高二上月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解指数不等式求出集合，通过解一元二次不等式求出集合，利用交集的定义即可求出结果． 【详解】由，得，∴ 由得， ∴ 所以. 故选：B. 【变式】（24福建泉州高一上期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解指数不等式求出集合，解一元高次不等式求出集合，最后根据补集的定义计算可得. 【详解】由，即，所以，即， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故选：A 10．（24河南新乡高二下期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得， 所以， 又，则，所以. 故选：D 【变式】（24黑龙江高一上期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解绝对值不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据集合的补集、并集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，所以，解得， 所以，则， 所以. 故选：D 11．（25湖南长沙高三下月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数单调性解集合中不等式，再求集合交集即可. 【详解】由可得，故， 又因为， 所以. 故选：D 12．（24天津高一上月考）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】首先解指数不等式求出集合，解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，所以，解得， 即， 由，即，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为： 【变式】（25四川江油高二上月考）记全集，已知集合，， (1)求; (2)求. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分别求对数型函数的定义域和解对数不等式求得集合，再由并集定义求解； （2）根据指数函数的单调性求得集合，结合（1）的结论，利用交集和补集的定义即可求得. 【详解】（1）对于函数有意义，需使，解得或，故或， 又由可得，解得，故， 故或. （2）由，可得，即得， 则，故或. 四、三角不等式的解法知识梳理 根本：先找特殊值，再根据图象判断解集，注意是否要加上周期 1. 常用特殊角的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 2. 标准三角函数图象 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x 定义域 R 周期性 周期是2kπ，最小正周期为2π (k∈Z且k≠0) 周期是kπ，最小正周期是π 图象 典例剖析 【考点四 三角不等式的解法】 13．方程在上的解集为 ． 【答案】 【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合. 【详解】因为，所以， 所以或，所以或， 因为，所以或， 故答案为：． 14．（23河南南阳高一下月考）函数的定义域为 ． 【答案】，． 【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域. 【详解】要使原函数有意义，必须有即， 解集为, 取交集可得原函数的定义域为 故答案为： 【变式】（24云南昆明高一上期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 15．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，得． 【变式】（25江西高一下月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$