专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 2 【题型3 指出命题的条件和结论】 3 【题型4 已知命题的真假求参数】 4 【题型5 命题与集合交汇】 4 知识点1 命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高二上·广西桂林·期末）下列语句为命题的是（    ） A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 【变式1-1】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（24-25高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【变式2-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式2-2】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【变式3-2】（2025高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【变式3-3】（2025高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】（24-25高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【变式4-2】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【变式4-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【题型5 命题与集合交汇】 【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【变式5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 3 【题型3 指出命题的条件和结论】 5 【题型4 已知命题的真假求参数】 7 【题型5 命题与集合交汇】 8 知识点1 命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高二上·广西桂林·期末）下列语句为命题的是（    ） A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 【答案】D 【解题思路】根据命题的定义判断即可. 【解答过程】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据命题的定义进行判断. 【解答过程】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【解题思路】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【解答过程】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【解题思路】（1）真命题，设这个自然数为加以说明； （2）假命题，举反例； （3）不是命题，不是陈述句； （4）假命题，举反例； （5）不是命题，是问句； （6）不是命题，不可以判断真假. 【解答过程】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【答案】B 【解题思路】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【解答过程】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【解题思路】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【解答过程】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A. 【变式3-2】（2025高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【解答过程】（1），互为相反数． （2），． （3），． 【变式3-3】（2025高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【解题思路】根据命题的真假列出，解不等式即可求解. 【解答过程】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【解答过程】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 【变式4-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【解答过程】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【题型5 命题与集合交汇】 【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解题思路】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【解答过程】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【解答过程】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）当时，，再根据条件，求集合与集合的交集，即可求解； （2）根据条件，得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）若时，，又， 若为真，则，若为真，则， 因为都为真命题，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 当时，有，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可知，m的取值范围为或. 【变式5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【解答过程】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$