第10讲 等式与方程 （知识清单+6大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第10讲 等式与方程 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 等式的性质1 题型三 等式的性质2 题型四 列方程 题型五 判断是否是方程的解 题型六 已知方程的解，求参数 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 题型练习 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型二】等式的性质1 【例2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如果，那么下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．如果，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 【题型三】等式的性质2 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 3．（七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 【题型四】列方程 【例4】（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 【题型五】判断是否是方程的解 【例5】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【题型六】已知方程的解，求参数 【例6】若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【举一反三】 1．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 好题必刷 一、单选题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　） ①；②；③④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 5．根据“的2倍与4的和比的一半少1”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如果关于的方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（    ） A．0 B．1 C． D．－3 8．已知是方程的解，则的值为（    ） A．0 B．6 C． D． 9．由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 10．若关于的方程（，为常数）的解是，则（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．方程的解是 二、填空题 11．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 12． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 13．解方程：，则 ． 14．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 15．由方程可得到用x表示y的式子是 ． 16．方程从到变形的依据是 ． 17．1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水；或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满 个大杯和 个小杯后，没有剩余． 18．下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 三、解答题 19．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解方程 (1) (2) 21．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 22．判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 23．用等式的基本性质将方程3x﹣9=0转化为x=a的形式． 24．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 25．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 26．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等式与方程 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 等式的性质1 题型三 等式的性质2 题型四 列方程 题型五 判断是否是方程的解 题型六 已知方程的解，求参数 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 题型练习 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【知识点】方程的解、判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【题型二】等式的性质1 【例2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如果，那么下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】A、如果，那么故本选项不正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项不正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项正确，符合题意； D、如果，那么，故本选项不正确，不符合题意； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质解答判断即可． 【详解】解：A、的两边都加上或减去m，得到，故该项不符合题意； B、的两边都乘以m，得到，故该项不符合题意； C、如果，在等式两边都除以，得到，当时，分式无意义，故该项符合题意； D、如果，在等式两边都除以，得到，故该项不符合题意； 故选：C． 2．如果，则 ． 【答案】 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．据此解答即可． 【详解】解：在等式两边同时加，得：． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 【答案】(1)①；②；③ (2)①；②；③ (3) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】题目主要考查根据等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是解题关键 （1）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （2）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （3）根据等式的性质求解即可 【详解】（1）① ； 解：两边加2，得， 即； ②； 解：两边减，得， 即； ③； 解：两边加，得， 两边减1，得； （2）①； 解：两边乘2，得； ②， 解：两边除以5，得； ③， 解：两边除以，得； （3）， 解：两边减，得， 两边加8，得， 两边除以2，得 【题型三】等式的性质2 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立； 等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A、两边同时加，，一定成立； B、两边同时减，，一定成立； C、两边同时乘，，一定成立； D、两边同时除以，需，若，式子无意义，因此不一定成立； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等式的性质的知识，逐选项进行作答，即可求解； 【详解】解：A、∵， ∴，选项A不符合题意； B、∵， ∴，选项B不符合题意； C、∵， ∴，选项C不符合题意； D、∵， ∴不成立，可能为0；选项D符合题意； 故选：D； 2．利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 【答案】 乘以 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质 2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等式的性质可以解答题目中的问题． 【详解】解：利用等式的性质解方程，在等式的两边都乘以，得， 故答案为：乘以，． 3．（七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 【答案】 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【题型四】列方程 【例4】（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列方程 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 【举一反三】 1．（七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】由题意列方程得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 【答案】2 【知识点】列方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：2． 【题型五】判断是否是方程的解 【例5】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，理解一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把分别代入各个选项方程中的左右两边进行计算即可． 【详解】解：A、将代入的左边可得：，方程左边等于右边，所以是该方程的解． B、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． C、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． D、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【题型六】已知方程的解，求参数 【例6】若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值． 【详解】解：依题意，得： ， 解得． 故选：B． 【举一反三】 1．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】9 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解的定义是解题关键．把代入得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入得， ， ， ； 故答案为：9． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式加减中的无关型问题、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． 好题必刷 一、单选题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：一元一次方程应同时满足三个条件:①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③整式方程．根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、只含有一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程 ，是一元一次方程，故该选项符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得， 故选：C 【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键． 3．下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　） ①；②；③④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据等式的性质一一判断即可． 【详解】解： ，故①正确，②错误； 当时，， ，故④错误； ，等式的左右两边同时除以2 ，故③正确； 故选：C． 4．“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 【详解】解：由题意，得 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 5．根据“的2倍与4的和比的一半少1”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据等式基本性质列出一元一次方程，根据等量关系列出方程是解题的关键． 根据已知表示出等式两边，左边表示x的2倍，然后在加上4,右边表示x的减1，然后依据等式基本性质整理判断即可. 【详解】解根据题意列方程得：， A、，表示的2倍与4的差，故不符合题意； B、，是根据等式基本性质方程两边同时加1，故符合题意； C、，表示的一半多1，故不符合题意； D、，表示的2倍与4的差比的一半多1，故不符合题意； 故选：B 6．如果关于的方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据已知方程的解为，将代入方程求出的值即可． 【详解】解：将代入可得： 解得： 故选：A 7．下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（    ） A．0 B．1 C． D．－3 【答案】A 【分析】把x的值代入方程ax+4=1，求出所得方程的解，再得出选项即可． 【详解】A．当x=0时，a•0+4=1，即4=1，此时不成立，即x=0不是方程ax+4=1的解，故本选项符合题意； B．当x=1时，a•1+4=1，解得：a=-3，即x=1可以是方程的解，故本选项不符合题意； C．当x=时，a•+4=1，解得：a=-2，即x=可以是方程的解，故本选项不符合题意； D．当x=-3时，a•（-3）+4=1，解得：a=1，即x=-3可以是方程的解，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 8．已知是方程的解，则的值为（    ） A．0 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】此题可先把x=-2代入方程然后求出a的值，再把a的值代入a2-a-6求解即可． 【详解】解：将x=-2代入方程 得：-10+12=-1-a； 解得：a=-3； ∴a2-a-6=9-(-3)-6=6． 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，先将x的值代入方程求出a的值，再将a的值代入a2-a-6即可解出此题． 9．由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，利用等式的基本性质得出时，由等式能得到，即可得出答案，正确把握等式的基本性质是解题关键． 【详解】由等式能得到， ∴，则， 故选：． 10．若关于的方程（，为常数）的解是，则（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．方程的解是 【答案】C 【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是， ∴，b为任意数 A.当时，方程无解，故此选项不正确； B当b=0时，方程无解，故此选项不正确； C. 方程的解是，正确； D. 当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确； 故选：C 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 二、填空题 11．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 12． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 13．解方程：，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式基本性质两边同时除以2即可得出结论． 【详解】解：， ， 故答案为：4． 14．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是4个， 故答案为：4． 15．由方程可得到用x表示y的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 根据等式的性质计算判断即可． 【详解】解：由方程可得到， 放答案为：． 16．方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 【详解】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 17．1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水；或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满 个大杯和 个小杯后，没有剩余． 【答案】 10 3 【分析】由题意可得3瓶水可以倒满27个大杯和12个小杯，余30克的水，相减后求出2瓶水可以倒满 20个大杯和6个小杯，没有剩余，即可得出答案． 【详解】解：∵1瓶水倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水， ∴3瓶水可以倒满27个大杯和12个小杯，余30克的水， 又∵1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水， ∴相减后可得：2瓶水可以倒满 20个大杯和6个小杯，没有剩余， ∴1瓶水可以倒满10个大杯和3个小杯，没有剩余， 故答案为：10，3． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是求出3瓶水可以倒满27个大杯和12个小杯，余30克的水，然后整体相减进行求解． 18．下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 三、解答题 19．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同时减去8，得， 所以； （2）解：方程两边同时乘以，得， 所以； （3）解：方程两边同时减去7，得， 化简，得， 方程两边同时除以，得； （4）解：方程两边同时加，得， 化简，得， 方程两边都乘12，得，整理得， 方程两边都除以5，得． 【点睛】本题运用了等式的基本性质．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 20．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是熟练掌握分数混合运算法则和等式的性质． （1）根据等式的性质和分数运算法则解方程即可； （2）根据等式的性质和分数运算法则解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 21．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 22．判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)不是原方程的解． (2)不是原方程的解． (3)是原方程的解． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．先求出方程的解，再根据方程的解的定义逐个判断即可（也可以把的值代入方程，看看方程的两边是否相等）． 【详解】（1）解：当时，，， ， 不是方程的解； （2）解：当时，，， ， 不是方程的解； （3）解：当时，，， ， 是方程的解． 23．用等式的基本性质将方程3x﹣9=0转化为x=a的形式． 【答案】x=3 【分析】把所解的方程移项，系数化成1即可． 【详解】解：移项得 3x=9， 系数化成1得 x=3． 【点睛】本题考查了等式的性质,熟练掌握等式的性质是解题的关键． 24．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质进行计算，即可解答； （2）根据等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：正确， 理由：∵， ∴， ∴； （2）不正确， 理由：∵， ∴， ∴， ． ∴不正确． 25．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 26．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$