第3章 圆锥曲线与方程综合检测卷（基础篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由抛物线的标准方程可得出其焦点坐标. 【解答过程】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】不妨设一个焦点为，一条渐近线方程为：，即，由点到直线的距离求解． 【解答过程】解：依题意得，，得，得， 不妨设一个焦点为， 一条渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线方程的距离为：． 故选：C. 3．（5分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【解答过程】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 5．（5分）（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时， ，所以水面宽度为． 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【解题思路】根据双曲线的性质直接求解即可. 【解答过程】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 7．（5分）（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高三上·浙江·期末）已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【解题思路】利用椭圆、双曲线方程及位置特征，逐项列式求解判断. 【解答过程】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确； 对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且 ，解得，D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高二上·山西太原·期末）已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【解题思路】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【解答过程】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 所以当即时，它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：AC． 11．（6分）（24-25高二上·河北沧州·期末）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 【解题思路】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【解答过程】如图：    设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以 ，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为 ，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【解题思路】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【解答过程】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·上海金山·期末）双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 【解题思路】由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【解答过程】详根据题意可得， 所以左焦点为，渐近线方程为， 即，所以左焦点到其中一条渐近线的距离为． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 【解题思路】根据抛物线方程的定义即可由焦半径求出的值，可得出抛物线的方程，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【解答过程】抛物线上一点到点的距离为， 由抛物线定义可得，则，所以，抛物线的方程为． 设直线的方程为，设、， 将的方程代入方程整理得， 需满足，解得， 由韦达定理可得， 故，解得，合乎题意， 故直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州六盘水·期末）当为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线． 【解题思路】（1）根据圆的方程的特征求解即可； （2）根据椭圆的标准方程求解即可； （3）根据双曲线的标准方程求解即可. 【解答过程】（1）因为方程表示圆， 所以，解得； （2）因为方程表示椭圆 所以，解得且， 所以的范围为； （3）因为方程表示双曲线， 所以，解得或. 16．（15分）（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【解题思路】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 17．（15分）（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【解题思路】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【解答过程】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 18．（17分）（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【解题思路】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 19．（17分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【解题思路】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程综合检测卷（基础篇） 【苏教版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 3．（5分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 6．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 7．（5分）（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高三上·浙江·期末）已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 10．（6分）（24-25高二上·山西太原·期末）已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 11．（6分）（24-25高二上·河北沧州·期末）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 13．（5分）（24-25高二上·上海金山·期末）双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 14．（5分）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州六盘水·期末）当为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线． 16．（15分）（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 17．（15分）（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 18．（17分）（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 19．（17分）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$