第13讲 直线与双曲线的位置关系（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第13讲 直线与双曲线的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 讨论直线与双曲线的位置关系】 【例1】（24-25高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1.2】（24-25高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.3】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（24-25高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.3】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【变式3.2】（2025·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【变式3.3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【变式4.3】（24-25高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式5.1】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2025·辽宁·一模）已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的4倍，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式5.3】（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 双曲线中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 【变式6.3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【题型7 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（2025·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【变式7.1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【变式7.2】（24-25高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式7.3】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 一、单选题 1．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．14 D． 8．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 二、多选题 9．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（    ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 10．（24-25高二上·广东广州·期末）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（     ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（     ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 13．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 16．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 17．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 19．（24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 直线与双曲线的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 讨论直线与双曲线的位置关系】 【例1】（24-25高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断 【解答过程】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0. 故选：A. 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1.2】（24-25高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【解答过程】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断. 【解答过程】的斜率分别是； 对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误； 对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误； 对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确； 对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误. 故选：C. 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得的值，从而可进行判断. 【解答过程】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【解答过程】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.3】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把直线的方程和双曲线的方程联立，由于直线与双曲线的右支相交于不同的两点，根据韦达定理即可求得实数的取值范围. 【解答过程】联立直线方程和双曲线方程， 化简得， 因为直线与双曲线的右支交于不同两点， 所以,不妨设两交点的横坐标为，则, 则，解得； 所以实数的取值范围为. 故选：D. 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【解答过程】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式3.1】（24-25高二上·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【解题思路】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【解答过程】由得，即， 所以. 故选：A. 【变式3.2】（2025·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【解题思路】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【解答过程】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 【变式3.3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【解答过程】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解答过程】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【解题思路】利用点差法计算即可. 【解答过程】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法求解. 【解答过程】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A. 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【解题思路】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积. 【解答过程】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 【变式5.2】（2025·辽宁·一模）已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的4倍，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】根据三角形面积比转化为焦点到直线的距离之比即可得解. 【解答过程】由可知，， 联立，消元得：， 则，即， 由面积是面积的4倍可知，到直线的距离是到直线距离的4倍，即， 化简可得，即， 解得或（舍去）， 故选：D. 【变式5.3】（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，联立消元，求出及点到直线的距离，进而得到面积与的函数关系,利用函数的单调性即可得面积的取值范围. 【解答过程】由题意设， 联立消去得，，所以， 又，所以， 设，则，， 由，得，所以 设到的距离为，所以， 所以的面积 ． 故选：D. 【题型6 双曲线中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解. 【解答过程】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 【解题思路】首先设点的坐标，再根据三点共线，表示坐标间的关系，再结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为， 设，，由向量可知三点共线，即， 则，化简得，即， ，， 所以 （当且仅当时取等）. 故答案为：. 【变式6.3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【解题思路】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【解答过程】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 【题型7 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（2025·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【解题思路】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【解答过程】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 【变式7.1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【解答过程】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 【变式7.2】（24-25高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【解题思路】（1）由可得，即可求出，然后由可求出，即可得到答案； （2）设，然后可得，结合双曲线的方程可证明. 【解答过程】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 【变式7.3】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【解题思路】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【解答过程】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得，故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与联立得. 设、，由题意，得，解得. （i）因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】联立方程得，由题意该方程无解，进而可得. 【解答过程】直线方程与双曲线方程联立：，得， 由题意无解， 当时，即时，方程有一个解，直线方程与双曲线有一个公共点，舍去； 当时，则，即或，无公共点. 综上所述：或， 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    3．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法来求得正确答案. 【解答过程】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B. 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【解答过程】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 6．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【解答过程】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B. 7．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．14 D． 【解题思路】根据渐近线方程求得，利用双曲线的定义，通过求的最小值来求得的最小值. 【解答过程】双曲线，对应， 渐近线方程为，所以， 所以双曲线的标准方程为，， 根据双曲线的定义有， 两式相加得， ， 依题意可知直线与轴不重合，双曲线的左焦点为， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由，解得， 由于直线与双曲线左支相交于两点，所以， 设，则， 所以 ， ，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. 8．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解题思路】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【解答过程】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    二、多选题 9．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（    ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【解题思路】联立直线与双曲线得到关于x的一元二次方程，应用判别式并结合双曲线性质判断不同参数范围对应直线与双曲线的交点个数，即可得答案. 【解答过程】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC. 10．（24-25高二上·广东广州·期末）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】考虑直线斜率不存在时，中点在上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及验证B,C,D即可. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，设为， 依题知或，此时线段的中点为， 则选项A中点满足题意，则A正确； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 由题知①，， 化简为②， 设，的中点为， 则， 所以， 即， 对于B,可得，不满足条件①，故B错误； 对于C,可得，满足条件①②故C正确； 对于D，可得不满足条件②，故D错误； 故选：AC. 11．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（     ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 【解题思路】对于A，根据弦长大于通径长和实轴长可得符合题意的切线有四条；对于B，利用点差法求得直线方程，再根据右焦点不在所求直线上，即可判断；对于C，根据题意，设双曲线方程为，，将点代入即可求解；对于D，设直线方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理列不等式，求解即可. 【解答过程】对于A，通径，实轴，则有四条直线l，使，故A错误； 对于B，假设存在直线l，使得弦AB的中点为， 设，，则， 两式相减得， 又，则，故直线的斜率， 此时直线方程为，即，由于右焦点不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误； 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立，得， 则，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，解得，又斜率， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【解题思路】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【解答过程】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为：. 13．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 【解题思路】设弦所在直线与双曲线交点分别为，显然，应用点差法及弦中点坐标求弦所在直线斜率，应用点斜式写出直线方程. 【解答过程】令弦所在直线与双曲线交点分别为，显然， 则，两式作差，有，故， 所以弦所在的直线的斜率为，故所求直线为，整理得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【解题思路】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【解题思路】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【解答过程】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 16．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【解题思路】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【解答过程】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得， ，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 17．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【解题思路】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【解答过程】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【解题思路】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【解答过程】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 19．（24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【解题思路】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联合直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【解答过程】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设，则， 联立 消去整理得， 所以， 所以， 又直线的斜率， 所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$