第12讲 直线与椭圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第12讲 直线与椭圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 判断直线与椭圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1.1】（24-25高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式1.3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式2.1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【变式2.3】（24-25高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式3.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4.2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5.2】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 【变式5.3】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型6 椭圆中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与椭圆相交于A，B，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知是椭圆上的两个动点，为坐标原点，，过点作，垂足为点，若分别为椭圆的左､右顶点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点. 【变式7.1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值. 【变式7.2】（24-25高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【变式7.3】（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【变式8.1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式8.2】（24-25高三上·黑龙江黑河·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． (1)求C的方程； (2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 【变式8.3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北保定·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知直线与椭圆，则以下选项正确的是（    ） A．直线与椭圆有交点 B．椭圆长轴长为 C．直线与椭圆相切 D．椭圆过点 10．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 11．（24-25高二上·湖北·期中）已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．C的焦点坐标为， B．C的长轴长为 C．直线l的方程为 D． 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 13．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 . 14．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 16．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 17．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 18．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 19．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线与椭圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 判断直线与椭圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解题思路】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案. 【解答过程】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A． 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【解题思路】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【解答过程】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解题思路】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【解答过程】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【解答过程】由可得， 故，故或， 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【解题思路】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【解答过程】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 【变式2.3】（24-25高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】出及的图像，结合图像即可求解. 【解答过程】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 故选：A. 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果. 【解答过程】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以， 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【解题思路】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【变式3.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【解答过程】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解. 【解答过程】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【解答过程】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【解题思路】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【解答过程】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法可求出直线的斜率. 【解答过程】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【解答过程】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知，直线，进而与椭圆方程联立得，，进而根据计算即可. 【解答过程】解：由题意可得，，则直线. 联立，整理得， 设，， 则，， 从而. 因为， 所以的面积是. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】先联立方程组得出判别式大于0，得,再根据点到直线距离得出参数. 【解答过程】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 【解题思路】判断出四边形为矩形，根据将椭圆与联立，解出点P,Q的坐标，进而即得. 【解答过程】由题意可知四边形为矩形， P,Q可看作是椭圆：与圆关于坐标原点对称的两个交点， 不妨设P,Q位置如图所示分别位于一、三象限. 由得， 所以， 因为，所以. 所以. 故选：D. 【变式5.3】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【解题思路】将所求面积比转化为的比，再利用点线距离公式即可得解. 【解答过程】根据题意可得，， 又直线可化为， 设到直线为的距离分别为， 则. 故选：B. 【题型6 椭圆中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解答过程】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 【变式6.1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与椭圆相交于A，B，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线方程并与椭圆联立，解出两交点坐标得出面积表达式即可求得面积的最大值. 【解答过程】根据椭圆方程可得， 设直线的方程为，； 联立，整理可得，解得； 易知的面积为， 当时，面积的最大值为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知是椭圆上的两个动点，为坐标原点，，过点作，垂足为点，若分别为椭圆的左､右顶点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意知为椭圆上两点，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率存在时，设直线为，联立直线与椭圆，整理方程，写出韦达定理，又由已知条件，得，将韦达定理代入可得与的关系式，最后根据三角形三边关系求得的最小值. 【解答过程】当直线斜率不存在时，要想求得的最小值，则为轴左侧两点，又由已知条件，易得，那么. 当直线斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去整理得： ，， 所以 由，得 整理得 又因为，所以. 又. 综上可知，的最小值为 故选：C. 【变式6.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【解题思路】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【解答过程】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点. 【解题思路】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【解答过程】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【变式7.1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值. 【解题思路】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【解答过程】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 【变式7.2】（24-25高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解题思路】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【解答过程】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【变式7.3】（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【解题思路】（1）由离心率，椭圆的性质列方程组计算即可； （2）设点，由斜率的定义表示出，，再结合点在椭圆上化简即可. 【解答过程】（1）根据题意得，解得， 的标准方程为； （2）证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【解题思路】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论. 【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 【变式8.1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【解题思路】（1）设椭圆方程，将点的坐标代入椭圆方程，建立方程组，解之即可求解； （2）设直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示和两点表示斜率可得，则直线的方程为，联立直线与直线计算即可下结论. 【解答过程】（1）设椭圆的方程为， 将，代入粗圆方程，得，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）由（1）得，， 设直线的方程为（，且）， ，，，则． 由，得， 则 ， ，，故． 易知直线与直线的斜率存在且不为0， 由，，三点共线得，即．① 由，，三点共线得，即．② ①+②得． 所以，所以直线的方程为． 由得，得， 故直线与直线的交点在定直线上． 【变式8.2】（24-25高三上·黑龙江黑河·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． (1)求C的方程； (2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 【解题思路】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程. （2）设则，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及、关于k的表达式，再联立直线与求交点坐标，即可证结论并确定直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 因为C过点，所以，解得． 所以C的方程为． （2）由题意，设，则，． 由，整理得，则， 解得且，，． 由得： ， 所以点G在定直线上． 【变式8.3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【解答过程】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据通径长的计算公式直接求解. 【解答过程】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【解答过程】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 6．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【解答过程】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 7．（24-25高二上·河北保定·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意利用椭圆定义结合，可求出；又直线，可得直线的方程为，联立求出P点坐标，代入椭圆方程可求出，即得答案. 【解答过程】由题意知P在椭圆上，则， 故，即， 又，故，则， 结合，得； 又直线，故直线的方程为， 联立，解得，即， 代入，得，结合， 整理得，解得， 故椭圆的方程为， 故选：B. 8．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可. 【解答过程】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以 的面积为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知直线与椭圆，则以下选项正确的是（    ） A．直线与椭圆有交点 B．椭圆长轴长为 C．直线与椭圆相切 D．椭圆过点 【解题思路】联立方程，利用韦达定理即可判断AC；将椭圆方程化为标准方程，再根据长轴的定义即可判断B；将点代入椭圆方程即可判断D. 【解答过程】对于AC，联立， 消得， 则，所以直线与椭圆相交，故A正确，C错误； 对于B，将椭圆方程化为标准方程为，则， 所以椭圆长轴长为，故B正确； 对于D，因为， 所以椭圆不过点，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 【解题思路】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【解答过程】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD. 11．（24-25高二上·湖北·期中）已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．C的焦点坐标为， B．C的长轴长为 C．直线l的方程为 D． 【解题思路】由椭圆标准方程确定，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确. 【解答过程】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 则，，， 所以椭圆的焦点坐标为，，长轴长为，故选项A、B错误； 设，，则，， 两式作差得， 因为为线段的中点，所以，， 所以， 所以直线的方程为，即，所以选项C正确； 由，得，则，， 所以，所以选项D正确． 故选：AB． 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【解题思路】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围. 【解答过程】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 . 【解题思路】结合两点式斜率公式，利用设而不求点差法求解直线斜率即可. 【解答过程】设，，直线的斜率为，则. 因为为线段的中点，所以，. 联立两式相减得， 即，所以，解得，经验证此时直线与椭圆有两交点， 故答案为：. 14．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【解题思路】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【解答过程】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解题思路】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【解答过程】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 16．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 【解题思路】（1）由题意列出方程组求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）由题先求出所在直线方程为，联立椭圆方程与直线方程，由韦达定理和弦长公式即可求得的值. 【解答过程】（1）由题得，解得. ∴椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为，∴所在直线方程为. 联立方程组，消去并整理得. 设，，则，， . 17．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【解题思路】（1）根据离心率以及即可求解，进而可得得解. （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据垂直关系求解，根据弦长公式以及三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）由已知得，，解得， 故， 即椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得  ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 18．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【解题思路】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【解答过程】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 19．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【解题思路】（1）由，再由点在椭圆上即可求解； （2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，由，求得，即可求解； 【解答过程】（1）由题意，得， 所以离心率． 椭圆的方程为．因为椭圆经过点， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2） 易知，设，，直线的方程为，且． 联立，消去得． 由，得． 所以，． 因为， 所以． 化简得． 所以，又， 化简得，解得，即直线恒过定点． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$