10.3《直角三角形》（HL定理）课件2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

10.3 直角三角形 ——“HL定理” 素养目标 1.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等。 2.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”。 3.已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形. 两数的平方和等于第三个数的平方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 具体做法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成（拉直绳子）一个三角形，其中一个便是直角。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 情景引入 实践观察 用尺规作出三边长度分别为下列数据（单位：cm）的三角形，并观察其形状是什么样的三角形. ① a=3cm、b=4cm、c=5cm ② a=5cm、b=6cm、c=7cm ③ a=6cm、b=7cm、c=10cm ④ a=5cm、b=12cm、c=13cm 比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系并指出最长边所对的角是什么角。 实践结果 （1）较短的两条边的平方和 ______最长边的平方，最长边所对的角是______ （2）较短的两条边的平方和_____最长边的平方，最长边所对的角是________ 大于 锐角 等于 直角 3cm 4cm 5cm 6cm 5cm 7cm 实践结果 （4）较短的两条边的平方和_____最长 边的平方最长边所对的角是________ 直角 等于 （3）较短的两条边的平方和_______最长 边的平方，最长边所对的角是______ 小于 钝角 12cm 5cm 13cm 6cm 7cm 10cm 条件 三角形形状 实践结果 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=8cm,斜边AB=10cm. 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？ A B C 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 8cm 8cm 8cm 8cm 8cm A′ B ′ C ′ 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 8cm 8cm 8cm 8cm 8cm Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ 你发现了什么？ 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=A′C ′,AB=A′B′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ . B C A B′ C′ A′ 合作探究1 定理：斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简称：斜边、直角边（HL） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简述为：“斜边、直角边”或“HL” 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 探索新知 直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 指出范围 摆齐根据 写出结论 A C B A' C' B' ∵在Rt△ABC和Rt△DCB中， AC=DB，（已知） BC=CB，（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△DCB.（HL ） ∴ AB = DC. （全等三角形的对应边相等） 新课讲解 例 已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC=DB . 求证：(1)AB=DC；（2）OB=OC. 证明：（1）∵ ∠A＝∠D＝90°，（已知） ∴ △BAC，△CDB都是直角三角形. A B D C O 新课讲解 例 已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC=DB . 求证：(1)AB=DC；（2）OB=OC. O ∠AOB=∠DOC , ∠A＝∠D, AB=DC， ∴△ABO≌△DCO(AAS). 在△ABO和△DCO中， ∴ OB=OC 证明：（2）由（1）得AB=DC 4、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ） 有两条直角边对应相等； 有两个锐角对应相等； 有斜边和一条直角边对应相等； 有一条直角边和一个锐角对应相等； 有斜边和一个锐角对应相等； A.5个 B. 4个 C.3个 D.2个 D E F A B C （SAS) （AAA) （HL) （ASA/AAS) （AAS) B 直角三角形有两条边相等就全等吗？ 归纳小结 判定两个三角形全等的方法总结： SAS ASA AAS SSS 判定一般三角形全等的方法： SAS ASA AAS HL SSS 判定直角三角形全等的方法： 注意:“HL”是仅适用于判定直角三角形全等 1.已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. A B D C 即时训练 2.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？ C D A B 解：在Rt△ACB和 Rt△ADB中,有 AB=AB, AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD(全等三角形对应边相等). 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 如图，AB⊥BD，垂足为B，ED⊥CD，垂足为D,AB=CD,AC=CE， 求证：∠A=∠ECD 证明：∵ AB⊥BD， ED⊥CD， ∴∠B=∠D=90° ∴△ABC和△CDE是直角三角形 在 Rt△ABC 和Rt△CDE 中， AC=CE（已知） AB=CD （已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△CDE (HL). ∴ ∠A=∠ECD 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 利用全等证明两个角相等，这是常见的思路. 典型例题2 3.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE。说明△EBC≌△DCB的理由。 A B C ∟ ∟ E D 即时训练 4.如图,AB=CD,DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，DE=BF. 求证:(1)AE=CF，(2)AB∥CD. A B C D E F ∟ ∟ 当堂检测 1. 如图∠C= ∠D=90° ，要证明△ACB≌△BDA ，至少再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来。 A B C D 2.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，那么下列条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是（ ） A C B A' C' B' B 3.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形. A B C E F D 4.如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线。 O N B P M A 课堂小结 一般三角形全等的识别 直角三角形全等的识别 灵活运用各种方法证明直角三角形全等 S.S.S S.A.S A.S.A A.A.S H.L S.A.S A.S.A A.A.S Lavf57.62.100 $$