10.3 直角三角形 课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

10.3 直角三角形 素养目标 1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力； 2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法； 3.结合具体例子了解逆命题和逆定理的概念，能够说出一个命题的逆命题，并能判断真假命题和证明。知道原命题成立其逆命题不一定成立。 曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 直角三角形的性质 旧知回顾 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1.在直角三角形中,两锐角互余。 2.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 引入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ A B C 讲授新课 （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 直角三角形的两锐角互余 A B C △ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°. 已知：如图，△ABC是直角三角形 . 求证： ∠A +∠B=90. 证明： 讲授新课 （2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ A B C 已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°. 求证： △ABC是直角三角形. 证明： 在△ABC中， ∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∵∠A +∠B=90°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形. 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。 a c b 勾 弦 股 合作探究1 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理。 勾股定理 讲授新课 c a b c a b c a b c a b c c a c a c b a a b b b 从边的角度研究： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 讲授新课 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 思考：这个命题是真命题吗？如何证明？ 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2. 求证：△ABC 是直角三角形. A B C 证明：如图作 Rt△A'B'C'， A' B' C' 使∠A' = 90°，A'B' = AB，A’C' = AC， 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理） ∵AB2 + AC2 = BC2， ∴BC2 = B'C'2. ∴BC = B'C'. ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. ∴∠A =∠A' = 90°. 因此，△ABC 是直角三角形. A B C 讲授新课 小结 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长. 解：∵AB∥CD， ∴ ∠BAD +∠ADC = 180°， 又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°， ∴∠EAD +∠ ADE = 90°， 根据勾股定理， AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13, ∴ AD = 讲授新课 下面两组定理的条件和结论有什么样的关系？ 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 D M 即时训练 10 4.8 D 12cm 16cm 在上学期我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。那么，你会证明吗？ 勾股定理的证明有很多方法，例如拼图计算、割补法、赵爽的弦图、总统证法、青朱出入图、折纸法等，下面我们来了解一下其中的“总统证法”。 勾股定理 学习探究1 总统证法 a b a b c c 这个证明方法出自一位总统，1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统，在1876年，利用了梯形面积公式。 材料阅读 分析与思考： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 以上两个定理的条件和结论的关系是什么？ 一个三角形是直角三角形 条件是： ，结论是： . 这个三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 条件是： ，结论是： . 一个三角形两边的平方和等于第三边的平方 这个三角形是直角三角形 反过来，如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形吗？如果是，你能证明吗？ 已知：如图，在△ABC中，AC 2+BC 2=AB 2。 求证：△ABC是直角三角形。 a c b A B C 学习探究2 证明：作Rt△A′B′C′使∠C′=90°， A′C′=AC，B′C′=BC（如图2）， 则A′C′2+B′C′2=A′B′2 （勾股定理） ∵AC 2+BC 2=AB 2（已知）， A′C′=AC，B′C′=BC（作图）， ∴AB 2=A′B′2 （等式性质） ∴ AB=A′B′（等式性质） ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS） ∴∠C=∠C′＝90°（全等三角形的对应边） ∴△ABC是直角三角形（直角三角形定义） a c b B′ A′ C′ 图2 图1 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形。 这是判定直角三角形的根据之一. 在△ABC中 ∵AC 2+BC 2=AB 2（已知）， ∴△ABC是直角三角形（如果三角形两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） a c b A B C 几何语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形。 观察上面两个命题，它们的条件与结论之间有怎样的关系？与同伴交流。 思考问题 再观察下面三组命题： 1、如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 2、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎； 3、三角形中相等的边所对的角相等， 三角形中相等的角所对的边相等。 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗？ 思考问题 像上述每组命题我们称为互逆命题， 即一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。 结论 条件 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？ 它们都是真命题吗？ 想一想：一个命题是真命题，它逆命题是真命题还是假命题？ 命题与逆命题 例如：原命题：两直线平行，同位角相等； 逆命题：同位角相等，两直线平行. 一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理。 定理与逆定理 你还能举出一些类似的例子吗？ 想一想：互逆命题与互逆定理有何关系？ 我们已经学习了一些互逆的定理，如： 勾股定理及其逆定理； 两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行。 不成立：对顶角相等 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 当堂检测 巩固新知 2. 已知∠ACB=90°,CD⊥AB，AC=3，BC=4. 求CD的长. A D B C 3 4 当堂检测 巩固新知 课堂小结 这节课我们学习了……我想说…… $$