第24讲 三角函数的应用（五大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第24讲 三角函数的应用 【人教A版2019】 模块一 三角函数的简单应用 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【解题思路】根据题意，当时求出即可. 【解答过程】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点的纵坐标为，根据题意可求，与，从而可求解. 【解答过程】设点的纵坐标为， 由题意可得，得. 因为起始点在第四象限，所以初相， 由图可知， 所以. 所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是. 故选:A. 【变式1.2】（24-25高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【解答过程】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则， 周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A. 【变式1.3】（2025高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【解题思路】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置； 对于B,由解析式可得振幅，即为所求； 对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解； 对于D,由频率与周期的关系即可求解． 【解答过程】对于A,由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 ； 故B正确； 对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 故选：D． 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【解题思路】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【解答过程】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【解答过程】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可. 【解答过程】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系. 【解答过程】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 风车上翼片端点P所在位置可由函数，来刻画，而且， 又设P的初始位置在最低点，即， 在中，，所以， 又，，， 则. 故选：A. 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度（单位：英寸）关于时间（单位：秒）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立合适的坐标系，求出关于的函数解析式； 【解答过程】以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为轴， 垂直于地面的所在直线为轴建立平面直角坐标系，可设， 由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以， 当时，将代入解得，又轴承每秒转动2圈， 则轴承的角速度为，则． 故选：. 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解. 【解答过程】由题图可得，则， 当时，y取得最小值，为，得， ∵函数的图象过点， ∴，即，又，∴，∴. 当时，. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【解题思路】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【解答过程】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【解题思路】由三角函数的性质结合条件即得. 【解答过程】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B. 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【解题思路】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【解答过程】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值 ，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 【变式4.1】（24-25高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【解题思路】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【解答过程】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高三上·河北保定·期末）如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程的射线对应的角度为，得到答案. 【解答过程】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故， 故选：C. 【变式4.3】（2025·山西·二模）三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，从而可得，给等式两边平方化简后得，从而可求出，而 ，进而可求得答案. 【解答过程】由题意得，因为， ， 所以，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 故选：D. 模块二 拟合法建立三角函数模型 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【解题思路】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【解答过程】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 【变式5.1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【解题思路】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）令，得到，解得，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：由的图象，可得，解得， 又由，解得，所以， 因为时，可得，即，解得， 即，所以， 又因为，解得，所以. （2）解：令，即，可得， 解得，解得， 又因为，所以当 时，可得， 所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售． 【变式5.2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示： 设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：， 再由，得， ； （2）． ∵， ∴， ∴，或 解得，或， 所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． 【变式5.3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 【解题思路】（1）根据数据，，可得，，由，可求，从而可求函数的表达式； （2）由题意，水深，即，从而可求，或，进而可得答案. 【解答过程】（1）根据数据，， ，， ， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，，1， ，或，； 所以，该船在至或至能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 【解题思路】最小值和最大值之间的横坐标相差周期，由此可以知道答案. 【解答过程】因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期， 而乙在最低点， 所以经过周期后，乙点与丁点相同. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某城市在某天的气温变化（单位：℃）与时间（单位：h）的关系可以近似表示为，则下列说法中错误的是（    ） A．当日最大温差为16℃ B．中午十二点时达到当日最高温 C．午夜两点之后温度开始逐步上升 D．早晚八点时温度相同 【解题思路】结合函数解析式，由正弦型函数性质逐个判断即可. 【解答过程】最高温度为，最低温度为， 所以当日最大温差为，A正确； 将代入，解得，B错误； 令，解得时，即， 所以函数在上单调递增，C正确； 将分别代入原函数中解得，即早晚八点时温度相同，D正确． 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 【解题思路】依题意建系，设，理解题意可得的值，代入点，求出，结合选项即得. 【解答过程】以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系． 由题意可得点作匀速圆周运动的角速度为， 可得秒后点旋转过的弧度为， 设函数，由题可得， 所以，当时，， 代入可得，则得， 则. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD. 【解答过程】由题意知，表示距离为非负数，A，C错误； 粒子从起始位置开始运动，到轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小， 中，当时，，函数单调递增，满足题意，B正确； 中，当时，，函数单调递减，D错误． 故选；B. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标. 【解答过程】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 6．（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【解答过程】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【解题思路】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A. 【解答过程】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 8．（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中相应系数，即可得解. 【解答过程】根据题意可设，则．旋转一周， ． 最大值与最小值分别为14，2， ，解得． ． 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 【解题思路】利用简谐运动中振幅、周期、位移等概念一一分析即可. 【解答过程】由题意知振幅的2倍为，则振幅为10cm，故A正确； 0.5s振子首次到达C点，即，所以，故B正确； 所以5s内振子通过的路程为，故D正确； 5s对应5个周期，所以振子又回到B点，位移为0cm，故C错误. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·湖北·期中）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（    ）    A．经过12分钟，点首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 【解题思路】由题意结合诱导公式可得，根据题意结合余弦函数性质逐项分析判断即可. 【解答过程】设为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟， 则. 对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 因为，则，令，解得， 所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确； 对于B选项，因为， 即，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确； 对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟， 根据A选项可知，经过12分钟，点P首次到达最低点， 所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C选项错误； 对于D选项，由，则， 其中，即， 则或，解得或， 故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于80米， D选项正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案. 【解答过程】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅且，可得，所以A、B正确； 又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误； 根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 4 m． 【解题思路】由表中的数据可得，可求出，由最大值和最小值可求出，从而可求出函数关系式，然后将代入可求得答案. 【解答过程】由题意得函数（其中）的周期为， 所以，得， 由表中数据可知最大值为7，最小值为3，则，解得， 所以， 所以该港口在11:00的水深为． 故答案为：4. 13．（24-25高一上·贵州黔南·期末）“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 38.5 m. 【解题思路】根据给定条件，求出开始转动tmin后距离地面的高度为Hm的函数关系，再求出目标值. 【解答过程】令开始转动tmin后距离地面的高度为Hm， 依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘直径为46m，得， 由最高点距离地面高度为50m，得，解得， 由转一周大约需要15min，得，解得， 又当时，，即，而，解得， 因此，当时，， 所以游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为. 故答案为：38.5. 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为 km．    【解题思路】过点O作CD的垂线，连接OC，设，分别求得，，且，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】如图所示，过点O作CD的垂线，垂足为F，连接OC， 设（），则，， 又， 所以， 因为，所以，当，即时，CD取到最大值． 故答案为：.    四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，设点的坐标为，可得，设，可得，由周期可得，进而求解即可； （2）根据函数表达式画出图象即可. 【解答过程】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系. 过点作轴的垂线段，垂足为，连接. 设点的坐标为，则. 设，则，所以. 又，即，所以， 则. （2）函数的大致图象如图所示. 16．（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【解题思路】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【解答过程】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 17．（24-25高一上·全国·单元测试）将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【解题思路】1）作出辅助线，结合初相为得到函数解析式，并利用求出运动的周期； （2），在的图象基础上，平移得到函数图象. 【解答过程】（1）过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值, 又初相为，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为， 因此P的运动周期. （2）当，时，， 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到，如图所示： 18．（24-25高一上·全国·课后作业）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【解题思路】（1）在坐标系中画出散点图，选择合适的函数，再由最大值与最小值求出的值，由周期可得出，代入最大值点可得出的值. （2）在指定区间内角正弦函数不等式即可得答案. 【解答过程】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. （2）令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 19．（24-25高一上·吉林延边·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？ 【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出，，，，从而得解； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得． 【解答过程】（1）因为（其中，，， 由题意知：， ，故， ，， 又， ， ， 故解析式为：，,； （2）令，则，即， 因为,，则， 所以或，解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，游客距离地面的高度恰好为30米. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 三角函数的应用 【人教A版2019】 模块一 三角函数的简单应用 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【变式1.1】（24-25高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2025高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【变式2.3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度（单位：英寸）关于时间（单位：秒）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【变式3.3】（24-25高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【变式4.1】（24-25高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【变式4.2】（24-25高三上·河北保定·期末）如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（2025·山西·二模）三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 模块二 拟合法建立三角函数模型 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【变式5.1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【变式5.2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【变式5.3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某城市在某天的气温变化（单位：℃）与时间（单位：h）的关系可以近似表示为，则下列说法中错误的是（    ） A．当日最大温差为16℃ B．中午十二点时达到当日最高温 C．午夜两点之后温度开始逐步上升 D．早晚八点时温度相同 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   8．（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 10．（24-25高一下·湖北·期中）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（    ）    A．经过12分钟，点首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 11．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 13．（24-25高一上·贵州黔南·期末）“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 m. 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为 km．    四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 16．（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 17．（24-25高一上·全国·单元测试）将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 19．（24-25高一上·吉林延边·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$