专题03 实数（数学竞赛培优专项训练）

专题03 实数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求一个数的平方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题 考点三平方根的实际应用 考点四 求代数式的平方根 考点五 已知一个数的平方根求这个数 考点六 求一个数的立方根 考点七 已知一个数的立方根求这个数 考点八 立方根的实际应用 考点九 平方根和立方根的综合应用 考点十 无理数 考点十一 实数与数轴 考点十二 实数的大小比较 考点十三 实数的运算 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题22道） 考点一 求一个数的平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．已知是整数，若是正整数，则的最小值是（   ） A．31 B．59 C．65 D．124 考点二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知点的坐标满足，那么将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 5．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．14或16 6．若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（    ）． A．1 B．2 C． D． 考点三 平方根的实际应用 7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 8．已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点四 求代数式的平方根 10．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 11．若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 12．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点五 已知一个数的平方根求这个数 13．一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 14．关于，的二元一次方程组的解，满足关系式，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 15．若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 考点六 求一个数的立方根 16．下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 17．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 18．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 考点七 已知一个数的立方根求这个数 19．若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 20．已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 21．已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 考点八 立方根的实际应用 22．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 23．若互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．已知，则a的值为(　　) A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或 考点九 平方根和立方根的综合应用 25．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 26．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 27．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 考点十 无理数 28．在实数0，，，3.1415926，，，，1.3470136…中，无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 30．下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 考点十一 实数与数轴 31．如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 32．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 33．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点．则的表示的数为（　　） A． B． C． D． 考点十二 实数的大小比较 34．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 35．定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 36．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点十三 实数的运算 37．计算： (1) (2) 38．计算： (1) (2) (3) 39．对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 一、单选题 1．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知是有理数，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 4．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．2 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 8．（2024七年级·全国·竞赛）设，则和四个式子中，最大的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024八年级·全国·竞赛）设直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 10．（七年级下·山东泰安·竞赛）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 12．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 13．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）求代数式的最小值 ． 14．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 15．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 16．（2024九年级·全国·竞赛）这一列是是按规律规律排列的，请问前个数之和是 ． 17．（2024八年级·全国·竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如果，那么二次根式的平方根为 ． 三、解答题 19．（2024七年级下·广东广州·竞赛）计算： (1)； (2)． 20．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中． 化简． 21．（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 22．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求一个数的平方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题 考点三平方根的实际应用 考点四 求代数式的平方根 考点五 已知一个数的平方根求这个数 考点六 求一个数的立方根 考点七 已知一个数的立方根求这个数 考点八 立方根的实际应用 考点九 平方根和立方根的综合应用 考点十 无理数 考点十一 实数与数轴 考点十二 实数的大小比较 考点十三 实数的运算 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题22道） 考点一 求一个数的平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：D． 2．若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质化简A的值，再根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解： A的算术平方根是． 故选：C． 3．已知是整数，若是正整数，则的最小值是（   ） A．31 B．59 C．65 D．124 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，算术平方根，将变形为，根据是整数，可得，其中a为大于1的正整数，由此可解． 【详解】解：是整数， 是平方数， 是正整数， ，a为大于1的正整数， 当时，n取最小值， ， 解得， 故选B． 考点二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知点的坐标满足，那么将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的非负性质、二元一次方程组的解法、点在坐标系下的平移；掌握好点平移的计算方式是关键． 根据二次根式的非负性质得关于x、y的二元一次方程组，解出得点M的坐标，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：， ， 即， ， 得，， 与联立得，， 解得， ， 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为即． 故答案为：D． 5．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．14或16 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性应用，算术平方根的非负性应用，三角形的三边关系应用，根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再应用三角形的三边关系判断即可求解，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 当腰长，为底边长时， ∵， ∴不构成三角形， 当底边长，为腰长时， ∵， ∴能构成三角形， ∴三角形的周长， 故选：． 6．若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴，① ∴， ∴， ∴， ∴，② 由①②得， 解得：， ∴， ∴平方根即为4的平方根，为． 故选：D． 考点三 平方根的实际应用 7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 8．已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查数式的操作，涉及一元二次方程，算术平方根，整式，熟练理解题意，并根据题意列式操作是解题的关键．当时，，，可得，，即可判断①；分别判断当时，当时，当时，整式的所有情况，即可判断②；若时，（舍）、、、、、、、、，当整式的值为时，分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程，即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， ∵为整数， ∴，， 故满足条件的有个， 所以①正确； ②由①得当时，，； 当时， ，， ∴， ∵，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 当时， ，， ∴， ∵，，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 综上，为单项式的有：，，，，，，共个， 所以②正确； ③若时，（舍）、、、、、、、、， 当整式的值为时， 分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程， 即、、、（无解）、、、（无解）、（无解）， 解得：、、， 则满足条件的实数的值有个， 所以③正确， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 9．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点． 对于①，由题意，，即，代入得，再分类讨论求解；对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解；对于③，由于为非负整数且，所有可能的组合整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， 代入得， 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去； 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去。 故原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由第二个方程解出， 代入第一个方程得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若和为0：则； 若和为1：则或或； 若和为2：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C. 考点四 求代数式的平方根 10．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 11．若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 12．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 考点五 已知一个数的平方根求这个数 13．一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据一个整数a的两个平方根是和，得到，求得，结合，计算的立方根即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个整数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．关于，的二元一次方程组的解，满足关系式，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考解二元一次方程组，算术平方根，一元一次方程． 将，得，结合可得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 15．若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】先根据平方根的定义得到，即，由点在直角坐标系内的坐标特征得到且，求出的值，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：，即， 点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等， 且， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，平方根的定义，点到坐标轴的距离，解二元一次方程组．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 考点六 求一个数的立方根 16．下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方运算、根式的性质及合并同类项．根据幂的乘方运算法则、根式的性质及合并同类项法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、为幂的乘方，根据法则，应得，但选项结果为，错误； B、中，先计算被开方数，三次根号下的结果为，故等式成立，正确； C、中，被开方数为，故，但右侧在实数范围内无意义，等式不成立，错误； D、为合并同类项，系数相加得，但选项结果为，错误． 故选：B． 17．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 18．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 考点七 已知一个数的立方根求这个数 19．若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 20．已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、绝对值、代数式求值，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 先根据绝对值、立方根的定义求出、的值，再根据代数式求值计算即可． 【详解】解：，， ，， 或， 故选：D． 21．已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的大小估算，实数的大小比较，解题的关键是算出a，b，c的值． 先根据平方根，立方根的概念得出，再根据无理数的大小估算得出，进而即可比较． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 考点八 立方根的实际应用 22．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位． 23．若互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义、整式的混合运算法则解题即可． 【详解】解：∵互为相反数， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查立方根、求代数式的值，熟练掌握立方根、整式的混合运算法则是解决问题的关键． 24．已知，则a的值为(　　) A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或 【答案】D 【分析】根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，﹣1，1三个，求解即可. 【详解】∵，即一个数的立方根是它本身， ∴这样的数有0，﹣1，1三个， ∴，，， ∴或； 故答案为：D 【点睛】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键. 25．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 考点九 平方根和立方根的综合应用 26．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 27．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 考点十 无理数 28．在实数0，，，3.1415926，，，，1.3470136…中，无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是指无限不循环小数，包括π、非完全平方数的平方根、非完全立方数的立方根等，需逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数，可化为无限循环小数，属于有理数； 3.1415926是有限小数，属于有理数； 中5不是完全立方数，其立方根为无限不循环小数，属于无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 1.3470136…中省略号未标注循环节，视为无限不循环小数，属于无理数． 综上，无理数有π、、1.3470136…，一共3个． 故选：B． 29．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 30．下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，根据实数的运算法则、无理数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）有理数与无理数的和一定是无理数，该选项说法正确； （）无理数与无理数的积一定是无理数，该选项说法错误，比如是有理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数，该选项说法正确，表示的数是； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数，该选项说法正确，交点表示的数是和； 综上，表述错误的有个， 故选：． 考点十一 实数与数轴 31．如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．首先求出正方形对角线的长度，再根据点B在数轴上的位置，确定点B表示的数． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴，点表示的数为， ∵以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B， ∴， ∴B点横坐标为：． 故选：D． 32．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 33．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点．则的表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理的应用，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴表示的数为2， ∴， ∴表示的数为：， ∵， ∴表示的数为：， ∴， ∴表示的数为：； 故选：B． 考点十二 实数的大小比较 34．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 35．定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故选项A错误，不符合题意； 例如，，， ∵， ∴， ∴不成立，选项B错误，不符合题； 例如，，， ∴， ∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题； ∵为不超过的最大整数， ∴，选项D正确，符合题意． 故选：D． 36．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 考点十三 实数的运算 37．计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）先计算幂运算、算术平方根、绝对值和立方根，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2） 38．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （3）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 39．对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 一、单选题 1．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，求平方根，代数式求值等知识，解题的关键是将式子正确变形． 首先由变形得到，然后计算，然后求平方根即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或． 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知是有理数，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是将变形为，得出，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算、对称性质，根据数轴上两点间的距离和对称性质求解即可． 【详解】解：由对称性质得， ∴点所表示的实数是， 故选：A． 4．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分． 【详解】解：由题知，， 又， 则的整数部分是， 故选：B． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键． 作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解∶作数轴于点D， 正六边形的外角和为， ，， ，， ， ， ． 即点C表示的数为． 故答案为：B． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：A． 8．（2024七年级·全国·竞赛）设，则和四个式子中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式大小比较；把表示在数轴上，易得均为正，可比较这两个数的大小；易得，均为负，最后可确定最大的式子． 【详解】解：， ∴在数轴上的位置关系如图所示： ， ， ， ， ， ∴最大的是． 9．（2024八年级·全国·竞赛）设直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象及性质，实数运算．根据题意先将一次函数与坐标轴交点求出，再表示出面积的代数式，继而求出本题答案． 【详解】解：∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴令，则， 令，则， ∴， ∴， 故选：D． 10．（七年级下·山东泰安·竞赛）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设，则， 所以，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键． 二、填空题 11．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 12．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根等知识点，将变形为是解题的关键． 先将变形为，进而可得，然后展开，得到，再两边求算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）求代数式的最小值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是关键．根据绝对值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，代数式表示的是在数轴上表示x的点到表示3的点距离与到表示的点的距离的2倍之和， 当时，代数式取最小值，最小值为：． 故答案为：． 14．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴ ∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为5． 故答案为：5． 15．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 16．（2024九年级·全国·竞赛）这一列是是按规律规律排列的，请问前个数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意得可得这列数每个数一循环，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：这列数每个数一循环， ∵ ∴这个数之和为： 故答案为：． 17．（2024八年级·全国·竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值． 【详解】解：令t=， 则， ∴， ∴，； 令p=， 则， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如果，那么二次根式的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，配方法，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先将方程两边同除以x，得到，再将的被开方式配方，即得 ，最后根据平方根的定义，即得答案． 【详解】解：由得， ， 所以二次根式的平方根为． 故答案为：． 三、解答题 19．（2024七年级下·广东广州·竞赛）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可； （2）根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中． 化简． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根与绝对值化简，解题关键是利用数轴确定各式的符号进而化简．由数轴可确定，，，，，，进而结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，，，，，， ∴ ． 21．（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 22．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$