1.2.2 菱形的判定 课件2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第2课 菱形的判定 学习&目标 1.掌握菱形的判定定理 2.经历菱形判定定理的探究过程（重点） 3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算（难点） 探索&交流 　　如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形呢？ 情境&导入 菱形 平行四边形 满足？条件 对角线 边 角 问题1：平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？ 探索&交流 菱形判定 1— 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴OA = OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段 AC 的垂直平分线 ∴BA = BC ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义) 探索&交流 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形 ABCD是菱形。 归纳：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明 对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分. 定理 AC⊥BD A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 例题&解析 例1 已知▱ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD. 其中能使▱ABCD是菱形的有 （填序号）. 【解析】根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有 一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知①③符合，②④不符合.故答案 为①③. ①③　 例题&解析 例2 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF. 求证：四边形AECF是菱形. 例题&解析 例2 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE. ∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EF⊥AC. 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE ，∴OF＝OE， ∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形. 探索&交流 议一议 问题2：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形. 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？ 四边相等的四边形是菱形。 追问：你完成这个定理的证明吗？ 探索&交流 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 探索&交流 四边相等的四边形是菱形. 定理 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 例题&解析 例3. 下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（　B　） A. 一组邻边相等的平行四边形 B. 一条对角线平分一组对角的四边形 C. 四条边都相等的四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形 B 练习&巩固 练1. 如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条 件，能判断▱ADCE是菱形的是（　A　） A. ∠BAC＝90° B. ∠DAE＝90° C. AB＝AC D. AB＝AE A 练习&巩固 练习2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE. （1）求证：△AOE≌△COF； （1）证明：∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF. ∵O是AC的中点，∴AO＝CO. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）. 练习&巩固 （2）试判断四边形AFCE的形状，并证明. （2）解：四边形AFCE为菱形，证明如下： ∵△AOE≌△COF，AE＝CF，又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形.∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形. 练习&巩固 习练习3.已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于 点E，连接DE. （1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC，求 ∠CED的大小. 练习&巩固 （1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； （1）证明：如答图1，设BD与CE相交于点O. ∵DC＝BC，CE⊥BD，∴DO＝BO. ∵DE∥BC，∴∠ODE＝∠OBC，∠OED＝∠OCB， ∴△ODE≌△OBC ，∴DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形. 又∵CE⊥BD，∴四边形BCDE是菱形. 答图1 答图1 练习&巩固 （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC，求 ∠CED的大小. （2）解：如答图2，设BD与CE相交于点O，AC与DE相交于点G. 根据（1）可知，BO＝DO，∴CE垂直平分BD，∴BE＝DE. ∵BO＝DO， CE⊥BD，∴∠BEO＝∠DEO. ∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE. 又∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠DEO， ∴∠AEG＝∠DEO＝∠BEO. ∵∠AEG＋∠DEO＋∠BEO＝180°， ∴∠CED＝ ＝60°. 答图2 答图2 小结&反思 1. 菱形的判定： （1）用定义判定：有一组 ⁠的平行四边形叫菱形； （2）定理：对角线 ⁠的平行四边形是菱形； （3）定理：四边 的四边形是菱形. 2. 判定菱形的一般方法是：首先判定四边形是 ⁠，然后再证 明一组 或对角线 ⁠进行判定；有时也可以直接证 明 来判定菱形. 邻边相等　 互相垂直　 相等　 平行四边形　 邻边相等　 互相垂直　 四边相等　 $$