三角函数和解三角形 专项训练-2026届高三数学一轮复习

三角函数和解三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 知识点 正弦 定理 定理 （为外接圆半径） 变形 类型 三角形两角与一边；三角形两边和一边对角 结论 内角和 互补的两个角正弦值相等即sin(B+C)=sinA 余弦值互为相反数cos(B+C)=-cosA 同一个三角形大边对大角等 余弦 定理 定理 。 变形 等 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）； 三边 面积 公式 基本 公式 导出 公式 （外接圆半径）；（内切圆半径） 二、填空题 1．函数，的值域是 ． 三、解答题-问答题 2．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若且，求的值． 3．已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； (2)若，，求的值； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求；(2)为边上一点，若，且，求的面积. 5．四边形中，． (1)求；(2)若，求四边形的面积． 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A；(2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 7．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 8．在中，角的对边分别为.已知，且. (1)若，垂足为，求BD的长; (2)若，求的长. 四、解答题-证明题 9．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)若的平分线交于，，，求的值. 10．在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 三角函数和解三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 知识点 二、填空题 1．函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 三、解答题-问答题 2．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若且，求的值． 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； （2）由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 3．已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； (2)若，，求的值； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，； 时，. (2) (3) 【分析】（1）利用整体法结合三角函数性质求最值即可； （2）先化简求值得出，再应用两角和差公式得出三角函数值； （3）利用换元法结合参变分离可求参数的取值范围. 【详解】（1）， ∵，∴， 当，即时，； 当，即时，. （2）∵， ∴，∵，∴， ∴， （3）当时，，故，故， 设，则在上有解， 故在上有解， 而当时，，故， 所以. 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，先根据正弦定理把边化角，再根据三角形中，利用和角正弦公式展开，化简得到，再结合角的范围即可求出角；方法二，根据余弦定理把角化边，再次利用余弦定理即可求出的值，再结合角的范围，即可求出角； （2）方法一，在，中，根据正弦定理分别列出关系式，整理可得，在中，由余弦定理得到，再由三角形的面积公式求解即可；方法二，过作，垂足为，得到，通过和相似，得到，后同方法一；方法三，分别利用底高和，得到与的面积比，从而得到，后同方法一. 【详解】（1）方法一：因为， 所以由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 由于，所以， 所以，因为，所以； 方法二：因为， 所以由余弦定理可得， 整理可得， 所以， 因为，所以； （2）方法一：由（1）及题设知，，，. 在中，由正弦定理得，. 在中，由正弦定理得，. 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理可得，即 所以的面积； 方法二：如图所示，过作，垂足为. 在中，，所以. 由于，所以， 所以，即， 得，后同方法一； 方法三：由（1）及题设知，，. 因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于， 又因为与的面积之比还等于， 所以，，后同方法一. 5．四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 7．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小; （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即 即， 所以， 在三角形中，， 所以， 即，因为，则 可得，则. （2）因为边上的高， 所以① 又② 由①②可得， 由正弦定理可得， 结合（1）中可得， 因为， 所以. 8．在中，角的对边分别为.已知，且. (1)若，垂足为，求BD的长; (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理结合三角形的面积公式即可得到结果； （2）根据题意，由数量积的定义以及三角形面积公式可得，即可得到的值，从而得到结果. 【详解】（1）由及余弦定理，得 由及正弦定理， 得， 因为的面积， 所以. （2）由得①. 因为， 所以②， 由①②得， 又，故. 从而. 得， 所以. 四、解答题-证明题 9．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)若的平分线交于，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角可得，由内角和定理和两角和与差的正弦公式，结合角的范围即可求解； （2）由，为锐角，可得，由结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 可得， 因为， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递增， 所以，即； （2）因为，为锐角， 所以，， 依题意有， 由（1）可知， 所以， 又因为，所以， 化简得， 两边同除以可得， 所以. 10．在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法1:应用正弦定理求出角相等即可证明；方法2：应用角平分线结合余弦定理计算结合全等证明； （2）结合角平分线和面积公式计算得出即可得出边长范围. 【详解】（1）方法1:因为，平分，所以，， 又，所以，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，所以， 且，所以，则， 所以． 方法2：因为，平分，所以，， 又，由余弦定理得， 则，所以，即，且， 则，故． （2）因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，故． 11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果. （2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$