10.2《等腰三角形》课件 2024—2025学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

10.2 等腰三角形 素养目标 1.掌握等腰三角形的性质定理：“等边对等角”及“三线合一”；掌握等腰三角形的判定定理：“等角对等边”，并会证明它们； 2.借助辅助线来证明等腰三角形的性质和判定。 知识唤醒： A B C 腰 腰 底 底角 顶角 等腰三角形的概念 导入新课： A C 动手折一折 你发现了什么？ 已知： 求证： A B C 发现：等腰三角形的两个底角相等 你能想到哪些证明思路？组内交流 条件和结论？ 在△ABC中，AB=AC ∠B=∠C 探究新知： AB=AC BD ＝ CD AD=AD A B C 已知：如图，在△ABC中，AB=AC； 求证：∠B＝∠C D (SSS) ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等） 在△ABD和△ACD中 证法1：取底边的中点D，连接AD，则BD＝CD. 探究新知： AB=AC ∠BAD ＝ ∠CAD AD=AD A B C 证法2：作顶角的平分线AD，则∠BAD ＝ ∠CAD. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC； 求证：∠B＝∠C D (SAS) ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等） 在△ABD和△ACD中 探究新知： 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。 → → D C B A D C B A D （C） B A 等腰三角形的性质 你能利用已有的公理和定理证明这个结论吗? 推进新课 (1)△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形 折痕所在的直线是它的对称轴 找发现 把你剪出的△ABC沿折痕AD对折 找出其中重合的线段或重合的角，填入下表： 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C AD=AD ∠BAD=∠CAD BD=DC ∠BDA=∠CDA A B C D 等腰三角形的两个底角相等 AD是顶角的平分线 AD是底边上的高 AD是底边上的中线 找发现 A B C D 猜想1:等腰三角形的两个底角相等 猜想2:等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C. 猜想1:等腰三角形的两个底角相等 分析： 1、如何证明两个角相等？ 2、如何构造全等三角形？ A B C 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C. 证明： 作底边高线AD，则∠BDA=∠ADC=90°. ∴ △BAD ≌ △CAD (HL) ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边) 在Rt△BAD和Rt△CAD中 A B C D 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C. 证明： 作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) AB=AC ( 已知 ) ∠BAD=∠CAD ( 已作 ) AD=AD (公共边) 在△BAD和△CAD中 A B C D 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C. 证明： 作底边中线AD，则BD=CD ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边) 在△BAD和△CAD中 A B C D 等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）. 性质一 必须是在同一个三角形中 符合语言： 如图，在△ABC中， 若AB=AC，则∠B=∠C. 1.求下列各等腰三角形中未知角的度数。 2.已知等腰三角形的一个角为50°，则另两个角为多少度？ 如果把50°的角改为100°呢？ 72° 72° 30° 即时训练 2.已知等腰三角形的一个角为50°，则另两个角为多少度？ 如果把50°的角改为100°呢？ 3.若等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为___________。 3或5 4.若等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是________ 17 5.如图,在△ABC中,AB=AC。 （1）若∠A= 40°,则∠C等于多少度？ （2）若∠B= 72°,则∠A等于多少度？ A B C 解：（1）∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠A +∠B+∠C = 180°, ∠A= 40° ∴∠B+∠C = 140° ∴∠C=70° （2）∵∠B=72° ∴∠C =72° ∴∠B+∠C = 144° ∵∠A +∠B+∠C = 180° ∴∠A= 36° 想一想 在右图中,线段AD还具有怎样的性质? 为什么?由此你能得到什么结论? AD是顶角的平分线 AD是底边上的中线 AD是底边上的高线 合作探究2 想一想 定理: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。 (三线合一) 1 2 符号语言： ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知） ∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC，BD=CD（已知） ∴ ∠BAD=∠CAD ，AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC，AD⊥BC（已知） ∴BD=CD， ∠BAD=∠CAD （三线合一） 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗？即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 等腰三角形的判定 合作探究3 已知:如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证:AB=AC. ∵ ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC AD=AD 证明： ∴△ABD≌△ACD (ASA) ∴AB=AC （全等三角形对应边相等） 证法一： 在△ABD和△ACD中 过点A作△ABC的高， 则∠ADB=∠ADC=90° 已知:如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证:AB=AC. ∵ ∠B=∠C ∠BAD=∠CAD AD=AD 证明： ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC （全等三角形对应边相等） 证法二： 在△ABD和△ACD中 作顶角的平分线AD， 则∠DAB=∠CAD 1 2 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 符号语言： 如图：在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知） ∴AB=AC（等角对等边） 1.两个等腰三角形的顶角和底边对应相等，那么这两个三角形全等吗？请证明你的结论。 A B C A′ B′ C′ 即时训练 2、 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，AC⊥BD，AC=BC=CD， （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求∠BAD的度数。 A B C D 即时训练 3.下列说法中，正确的有（ ） ①等腰三角形的底角一定是锐角； ②等腰三角形的角平分线、中线和高都相等； ③等腰三角形的两腰相等； ④等腰三角形的两底角相等； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 4.如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点， CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ） A.30° B.36° C.40° D.45° B 6.已知等腰三角形的一个外角为70°，则这个三角形的三个内角分别为____________________ 110°、35°、35° 6.已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角分别为___________ 70°、70°或40°、100° 即时训练 7.如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，AD与BE相交于点H，且已知AE=BE。 求证：AH=2BD 分析：由三线合一知BC=2BD，只须证AH=BC即可.要证AH=BC只须证△AEH≌△BEC. ∴AH=BC ∵AB=AC，AD是高 ∴BC=2BD（三线合一） ∴AH=2BD 即时训练 $$