天津市燕京高级中学2024-2025学年高一数学暑假作业（1）

2024-2025学年天津市燕京高中高一暑假作业（1） 数 学 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1．设x，y∈R，向量（x，1），（1，y），（2，﹣4），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C． D．10 2．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40、50），[50、60），[60、70），[70、80），[80、90），[90、100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　） A．588 B．480 C．450 D．120 3．如图，在△ABC中，，，则（　　） A． B． C． D．2 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝1，b，B，则A＝（　　） A． B． C． D．或 5．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为（　　） A．32 B．16 C． D． 6．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题中错误的是（　　） A．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β 7．向量（，1）在向量方向上的投影向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（　　） A．3 B． C．1 D． 9．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥BE； ②三棱锥A﹣BEF的体积为定值； ③△AEF的面积与△BEF的面积相等； ④二面角A﹣EF﹣A1的正切值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10．已知复数z满足z（1﹣i）＝4+2i，则z的虚部为 　 　． 11．某中学共有高一学生120人，高二学生150人，高三学生330人申请报名做志愿者．现用分层抽样方法从中抽取高一学生4人，则该中学抽取的志愿者总人数为 　 　人． 12．与的夹角为锐角，λ的取值范围为 　 　． 13．如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为2，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为 　 　． 14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足的点P组成，则W的面积是 　 　；四面体P﹣A1BC的体积的取值范围 　 　． 15．在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，λ，•3，则实数λ的值为 　 　，若M，N是线段BC上的动点，且||＝2，则•的最小值为 　 　． 一、选择答案 姓名 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答 案 二、填空：10 11 12 13 14 15 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 16．已知向量，满足2，3，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 17．已知复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R）． （1）若复数z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA，b＝1． （1）求a的值（2）若c，求△ABC外接圆的面积． 19．（10分）如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，SD⊥CD． （1）证明：BC∥平面SDE； （2）求直线SE与平面ABC所成角的正切值． 20．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为S，2a+b＝4，． （1）求C的值； （2）求的最小值． 假期作业（1）参考答案与试题解析 一、选择题 1．B．2．B．3．A．4．A．5．C．6．D．7．B．8．C．9．C． 二、填空题 10．3． 11．20．12．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．13．．14．π，．15．． 三、解答题 16．已知向量，满足2，3，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 解：（Ⅰ）2，3，与的夹角为，则， 故，所以； （2）若， 则（k﹣2）×（﹣3）＝5k﹣3＝0，解得k． 17．已知复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R）． （1）若复数z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 解：（1）若复数z是纯虚数， 则，得m＝3，则z＝4i，所以； （2）由复数的几何意义可知， ，得﹣1＜m＜2，故m的取值范围为（﹣1，2）． 18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA，b＝1． （1）求a的值（2）若c，求△ABC外接圆的面积． 解：（1）由已知得，即sinA（1﹣2cosC）＝2cosAsinC， ∴sinA＝2sinAcosC+2cosAsinC＝2sin（A+C），∵A+C＝π﹣B，∴sinA＝2sinB， 由正弦定理得a＝2b，∵b＝1，∴a＝2； （2）由余弦定理得c2＝a2+b2+﹣2abcosC，∴（）2＝12+22﹣2×1×2×cosC，即cosC， ∵0＜C＜π，∴C，设△ABC外接圆的半径为R，则2R，解得R， ∴△ABC外接圆的面积πR2． 19．如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，SD⊥CD． （1）证明：BC∥平面SDE； （2）求直线SE与平面ABC所成角的正切值． 解：（1）因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC， DE⊂平面SDE，BC⊄平面SDE，所以BC∥平面SDE； （2）因为△SAB是等边三角形，点D是AB中点，所以SD⊥AB， 又SD⊥CD，AB∩CD＝D，且AB，CD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC， 所以直线SE与平面ABC所成角为∠SED，即， 所以直线SE与平面ABC所成角的正切值为． 20．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为S，2a+b＝4，． （1）求C的值； （2）求的最小值． 解：（1）因为， 则c（a+b﹣c）（sinA+sinB+sinC）＝6S＝3bcsinA，由正弦定理可得：（a+b﹣c）（a+b+c）＝3ab， 整理得a2+b2﹣c2＝ab，所以，又C∈（0，π），所以； （2）由，可得，即b2+4a2+4abcosC ＝b2+4a2+2ab，故，当且仅当b＝2a时，等号成立， 联立，得a＝1，b＝2，所以的最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/7 16:11:49；用户：徐天光；邮箱：13839773707；学号：38232091 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$