直线与圆 练习题-2026届高三数学一轮复习

直线的方程 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 (2)直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 题型二　求直线的方程 例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　) A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示 C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线 D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 (2)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3 B.过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0 C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线 D.经过点(－1，1)且倾斜角是直线y＝2x＋3的倾斜角的两倍的直线方程为4x＋3y＋1＝0 题型三　直线方程的综合应用 例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 两条直线的位置关系 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)(多选)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法正确的是(　　) A.若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线 B.直线l1可以表示任意一条直线 C.若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2 D.若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2 (2)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0 C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0 题型二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为(　　) A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0 C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0 (2)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　) A.；3x＋2y－5＝0 B.；3x＋2y－5＝0 C.；2x－3y＋1＝0 D.；2x－3y＋1＝0 题型三　对称问题 例3　已知直线l：x＋2y－2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； (3)直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程. 圆的方程 题型一　圆的方程 例1　设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　.  题型二　与圆有关的轨迹问题 例2　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　) A.8 B.8 C.4 D. 例3　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0 C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x 例4　(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.＝1(y>0) B.＝1(y>0) C.＝1(y>0) D.＝1(y>0) 典例　(1)设A，B是平面上两点，则满足＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(，0)，B，且k＝，则点P所在圆M的方程为　　　　　　.  (2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝2sin B，acos B＋bcos A＝2，则△ABC面积的最大值为　　　　　　.  题型三　与圆有关的最值问题 例5　(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A.当x≠0时，的最小值是－ B.x2＋y2的最小值是1 C.y－x的最小值是2－ D.|x＋y＋3|的最小值为2 例6　已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是　　　　　　.  例7　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为　　　　.  直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一　直线与圆的位置关系 例1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离 例2　已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于(　　) A.－ B. C. D.－ 例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　) A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0 C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0 例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2恒过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a< D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线的方程 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1<k3<k2. (2)直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　设(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角为α∈[0，π)， 由题意可知，直线的斜率k＝a2－1≥－1， 即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪. 题型二　求直线的方程 例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　) A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示 C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线 D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 答案　BC 解析　经过定点P0(x0，y0)的直线，当斜率存在时，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，当斜率不存在时，用方程x＝x0表示，A错误； 经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正确； 两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C正确； 经过定点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y＝kx＋b表示，D错误. (2)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3 B.过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0 C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线 D.经过点(－1，1)且倾斜角是直线y＝2x＋3的倾斜角的两倍的直线方程为4x＋3y＋1＝0 答案　ACD 解析　直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3，故A正确； 当在x轴、y轴上的截距都为0时，直线方程为4x－3y＝0；当在x轴、y轴上的截距都不为0时，设直线方程为x－y＝m，则m＝3－4＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0，故B错误； 因为kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线，故C正确； 设直线y＝2x＋3的倾斜角为α，则tan α＝2，显然α是锐角，因此所求直线的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直线方程为y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正确. 题型三　直线方程的综合应用 例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 解　方法一　设直线l的方程为 y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)· ＝ ≥ ＝×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－且k<0， 即k＝－时，等号成立. 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l的方程为＝1， 且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)，所以＝1， 则1＝≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为ab＝×8＝4， 当且仅当，即a＝4，b＝2时，等号成立， 故直线l的方程为＝1， 即x＋2y－4＝0. 两条直线的位置关系 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)(多选)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法正确的是(　　) A.若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线 B.直线l1可以表示任意一条直线 C.若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2 D.若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2 答案　ABD 解析　当A2＝0时，l2的斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确； 当B1＝0时，l1的斜率不存在，当B1≠0时，l1的斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，则l1∥l2，故C错误； 若B1B2≠0，则由A1A2＋B1B2＝0可得斜率之积为－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此时满足A1A2＋B1B2＝0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D正确. (2)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0 C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0 答案　C 解析　因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)， 所以△ABC的重心为G， 因为kAB＝2，kAC＝－， 所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC， 所以△ABC的外心为BC的中点D， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD， 所以△ABC的欧拉线方程为，即4x＋3y－6＝0. 题型二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为(　　) A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0 C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0 答案　A 解析　由得 设与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则3×2－1＋m＝0，得m＝－5， 所以所求直线方程为3x－y－5＝0. (2)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　) A.；3x＋2y－5＝0 B.；3x＋2y－5＝0 C.；2x－3y＋1＝0 D.；2x－3y＋1＝0 答案　A 解析　将直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0， 由解得因此直线l过定点A(1，1)， 当AP⊥l时，点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大， 最大值为|AP|＝， 又直线AP的斜率kAP＝， 则直线l的斜率为－， 所以此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0. 题型三　对称问题 例3　已知直线l：x＋2y－2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； (3)直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程. 解　(1)设点P(－2，－1)关于直线l的对称点为Q(x，y)， 则解得 所以对称点Q的坐标为. (2)由解得即直线l与l1的交点为A(2，0)， 点E(0，－2)是直线l1上的点，设它关于直线l的对称点为B(x1，y1)， 则解得 即B， kAB＝＝7， 所以直线l2的方程为y＝7(x－2)， 即7x－y－14＝0. (3)方法一　在直线l：x＋2y－2＝0上任取两点， 如A(2，0)，C(0，1)，则A，C关于点M(1，1)的对称点A'，C'均在直线l'上， 易得A'(0，2)，C'(2，1)， 所以直线l'的方程为y－2＝x， 即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程为x＋2y＋m＝0，m≠－2， 由，解得m＝－2(舍去)或m＝－4，所以直线l'的方程为x＋2y－4＝0. 圆的方程 题型一　圆的方程 例1　设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析　方法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则解得 ∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r， 则kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为， ∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝3， 即3x－y－4＝0. 联立解得∴M(1，－1)， ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 题型二　与圆有关的轨迹问题 例2　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　) A.8 B.8 C.4 D. 答案　A 解析　以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)， 由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2， 化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，半径r＝4， 如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8. 所以△MAB面积的最大值为8. 例3　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0 C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x 答案　B 解析　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 例4　(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.＝1(y>0) B.＝1(y>0) C.＝1(y>0) D.＝1(y>0) 答案　A 解析　设点M(x，y)， 则P(x，y0)，P'(x，0)， 因为M为PP'的中点， 所以y0＝2y，即P(x，2y)， 又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上， 所以x2＋4y2＝16(y>0)， 即＝1(y>0)， 即点M的轨迹方程为＝1(y>0). 典例　(1)设A，B是平面上两点，则满足＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(，0)，B，且k＝，则点P所在圆M的方程为　　　　　　.  答案　x2＋y2＝3 解析　设P(x，y)，由题意可得，， 即|PA|＝|PB|， 则＋y2＝2， 整理得x2＋y2＝3. (2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝2sin B，acos B＋bcos A＝2，则△ABC面积的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　依题意，由sin A＝2sin B， 得|BC|＝2|AC|，acos B＋bcos A ＝＝c＝2， 即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0， 由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为＋y2＝，x≠0， 边AB上的高的最大值为， 所以()max＝. 题型三　与圆有关的最值问题 例5　(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A.当x≠0时，的最小值是－ B.x2＋y2的最小值是1 C.y－x的最小值是2－ D.|x＋y＋3|的最小值为2 答案　BC 解析　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆. 设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1， 解得k≥或k≤－，故A错误； 因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上， 所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确； 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距， 则≤1， 解得2－≤b≤2＋， 即y－x的最小值是2－，故C正确； |x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍， 圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝， 则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误. 例6　已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是　　　　　　.  答案　2 解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5， 所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r＝的圆. 设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'(m，n)， 所以 解得故A'(－4，－2). 连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x＋y＋2＝0于P，此时，|PA'|＋|PQ|取得最小值， 由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|PA'|＋|PQ|＝|A'Q|＝|A'C|－r＝2. 例7　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为　　　　.  答案　12 解析　方法一　由题意，得＝(2－x，－y)， ＝(－2－x，－y)， 所以·＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1， 所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4 ＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 方法二　(极化恒等式) 由题意知线段AB的中点为O(0，0)，＝(4，0)， ·[()2－()2] ＝＝||2－4， 易知||2的最大值为[＋1]2＝16， 所以·的最大值为12. 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一　直线与圆的位置关系 例1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离 答案　AC 解析　圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1)，显然<4＝r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确. 例2　已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，r＝2， 所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3的距离 d＝， 而d＝＝1， 所以d＝＝1，解得k＝－. 例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　) A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0 C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0 答案　AB 解析　由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3， 则圆心到切线的距离d＝＝1，可得k＝－， 所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0； 当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切， 综上，切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  答案　2 解析　圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 如图，连接PC， 因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝， 所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3， 所以四边形PACB面积的最小值为＝2. 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2恒过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a< D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 答案　ABD 解析　由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R， 可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确； 圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R， 圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5， |PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B正确； 若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，又|C1C2|＝， 则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<<5，解得－<a<，C错误； 当a＝时，两圆相交， 圆C1：(x－1)2＋＝9， 圆C2：(x－4)2＋＝4， 将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－＝0，则C1到直线6x－2y－＝0的距离为 ， 则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$