专题22.3 实践与探索（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题22.3 实践与探索 1.建立一元二次方程模型解应用题的步骤的完整掌握和规范应用（重点） 2.从实际问题中准确找出等量关系（重点） 3.“检验” 步骤的双重性（重点） 4.在 “审题” 环节中，如何快速从冗长、复杂的实际问题中剥离无关信息，抓住核心数量关系（难点） 5.“找等量关系” 时，难以将实际问题中的文字描述转化为数学式子（难点） 6.“检验” 环节中，容易忽略解的实际意义（难点） 建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为 审、设、列、解、检、答. 审—审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系 特别解读 第一步“审”一般不写出来但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程, 设—设未知数. 列—根据题目中的等量关系，列出方程 解—解方程，求出未知数的值. 检—检验方程的解能否保证实际问题有意义 答—写出答案，应遵循“问什么，答什么;怎么问，怎么答”的原则。 列方程，是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程 2.列一元二次方程解应用题的注意事项 (1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系将其他几个量用含x的代数式表示出来 (2)设未知数时必须写清单位、用对单位,列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位 (3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义 题型一、换元法解一元二次方程 例1（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，则的值为 ． 1-1（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 1-2（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为： ． 1-3（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 1-4（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 题型二、传播问题(一元二次方程的应用) 例2（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 2-1（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2-2（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 2-3（24-25九年级上·河南驻马店·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 2-4（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 题型三、增长率问题(一元二次方程的应用) 例3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 3-1（24-25九年级上·天津滨海新·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3-2（24-25九年级上·广东深圳·期中）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 3-3（24-25九年级上·山东济宁·期中）某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 3-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 题型四、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 例4（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4-1（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 4-2（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 4-3（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 4-4（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 题型五、数字问题(一元二次方程的应用) 例5（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 5-1（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 5-2（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 5-3（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 5-4（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 题型六、营销问题(一元二次方程的应用) 例6（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 6-1（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 6-2（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 6-3（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 6-4（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某超市购进一批进价为10元/个的水杯，当售价为25元/个时，该超市平均每天可售出50个水杯，后来经过市场调查发现，水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．如果要使每天获得的利润为960元，同时让顾客得到更多的优惠，那么水杯的单价应定为多少元？ 题型七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 例7（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 7-1（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 7-2（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 7-3（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 7-4（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 题型八、其他问题(一元二次方程的应用) 例8（24-25九年级上·福建厦门·期中）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 8-1（24-25九年级上·广东佛山·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 8-2（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 8-3（24-25九年级上·山西忻州·期中）为丰富学生的课余活动，某校九年级组织进行一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（参赛的每两队之间都比赛一场），共需安排场比赛，则九年级班级的个数为 ． 8-4（24-25九年级上·陕西西安·期中）某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九、握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 例9（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 9-1（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 9-2（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 9-3（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请 个球队参加比赛． 9-4（24-25九年级上·广西南宁·期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 易错点 等量关系建立错误，导致方程列错 例 某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m， ， 解得， (舍去)． 答∶该商品平均每月的价格增长率为 （2）解：依题意，得， 解得∶， ∵商家尽快将这批商品售出， ∴取60， 答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元． 1．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 4．有若干支队伍参加了女子冰壶单循环比赛，比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（   ） A．8支 B．9支 C．10支 D．11支 5．国内生产总值（）是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．2021年太原市地区生产总值为亿元，2023年太原市地区生产总值为亿元．假设太原市地区这两年生产总值的年平均增长率相同，若设太原市地区这两年生产总值的年平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 7．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 8．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 9．某厂一月份生产空调机1440台，三月份生产空调机1690台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是 ． 10．《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 11．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 13．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.3 实践与探索 1.建立一元二次方程模型解应用题的步骤的完整掌握和规范应用（重点） 2.从实际问题中准确找出等量关系（重点） 3.“检验” 步骤的双重性（重点） 4.在 “审题” 环节中，如何快速从冗长、复杂的实际问题中剥离无关信息，抓住核心数量关系（难点） 5.“找等量关系” 时，难以将实际问题中的文字描述转化为数学式子（难点） 6.“检验” 环节中，容易忽略解的实际意义（难点） 建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为 审、设、列、解、检、答. 审—审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系 特别解读 第一步“审”一般不写出来但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程, 设—设未知数. 列—根据题目中的等量关系，列出方程 解—解方程，求出未知数的值. 检—检验方程的解能否保证实际问题有意义 答—写出答案，应遵循“问什么，答什么;怎么问，怎么答”的原则。 列方程，是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程 2.列一元二次方程解应用题的注意事项 (1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系将其他几个量用含x的代数式表示出来 (2)设未知数时必须写清单位、用对单位,列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位 (3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义 题型一、换元法解一元二次方程 例1（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 1-1（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 1-2（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键． 设，得到，解方程得或，即可得到答案． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ， 或， 或， 或 故答案为：或 ． 1-3（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 1-4（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 设可得，再根据方程的解的定义可得，最后确定方程的两根即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵关于x的方程的两根为， ∴关于t的方程的两根为， ∵， ∴， ∴程的两根分别是0或1． 故答案为：0或1． 题型二、传播问题(一元二次方程的应用) 例2（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 2-1（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 2-2（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 2-3（24-25九年级上·河南驻马店·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 2-4（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 题型三、增长率问题(一元二次方程的应用) 例3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：A． 3-1（24-25九年级上·天津滨海新·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选C． 3-2（24-25九年级上·广东深圳·期中）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：，三月份的产值为：， 根据题意得：． 故选：B． 3-3（24-25九年级上·山东济宁·期中）某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该种植基地2022年及2024年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x， 则， 故选：C． 3-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【答案】小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为，根据“第一天签了100单，第三天签了169单，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 题型四、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 例4（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 4-1（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 【答案】5m 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设通道的宽为，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的列出方程，求出解即可. 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以通道的宽为. 故答案为：. 4-2（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握以上知识是解题的关键； 设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故答案为1． 4-3（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的应用，若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 4-4（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形 (2)他的说法对，见解析 【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可； （2）利用正方形的性质表示出边长进而得出方程，进而利用根的判别式求出即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为． ∴， 即． ∴，． ∴小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形． （2）他的说法对． 假定两个正方形的面积之和能等于． 根据（1）中的方法，可得． 即， ，方程无解． 所以两个正方形的面积之和不可能等于． 题型五、数字问题(一元二次方程的应用) 例5（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 5-1（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 5-2（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 5-3（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 设这个数为，列方程解方程即可求解； 【详解】解：设这个数为， 根据题意可得：， 解得：，， 故答案为：或 5-4（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 【答案】或6，7 【分析】本题考查一元二次方程的应用；表示出两个连续整数的积的等量关系是解决本题的关键． 连续整数相差1，等量关系为：较小的数较小的数，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设较小的数为x． 根据题意，得， 解得 则或7， 故答案为：或6，7． 题型六、营销问题(一元二次方程的应用) 例6（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 6-1（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 【答案】平均每天就能多售出4台 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，再根据“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”列方程即可． 【详解】解：设每台冰箱定价元， 由题意得： ， 故答案为：平均每天就能多售出4台． 6-2（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得： 故选：D． 6-3（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得， ，即 故选：D． 6-4（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某超市购进一批进价为10元/个的水杯，当售价为25元/个时，该超市平均每天可售出50个水杯，后来经过市场调查发现，水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．如果要使每天获得的利润为960元，同时让顾客得到更多的优惠，那么水杯的单价应定为多少元？ 【答案】18元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每个水杯降价x元，则每个水杯的销售利润为元，每天可销售个，根据“总利润=每个水杯的销售利润×日销售量”可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个水杯降价x元， 根据题意，得 解得，， ∴要使每天获得的利润为960元并让顾客得到实惠，则每件商品应降价7元，此时水杯的单价为元． 题型七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 例7（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 7-1（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 7-2（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)2秒或者3秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 7-3（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 7-4（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 题型八、其他问题(一元二次方程的应用) 例8（24-25九年级上·福建厦门·期中）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可． 【详解】解：设全班有名同学， 由题意得， 故答案为：． 8-1（24-25九年级上·广东佛山·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 8-2（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1640个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 8-3（24-25九年级上·山西忻州·期中）为丰富学生的课余活动，某校九年级组织进行一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（参赛的每两队之间都比赛一场），共需安排场比赛，则九年级班级的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级班级的个数为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设九年级班级的个数为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴九年级班级的个数为， 故答案为：． 8-4（24-25九年级上·陕西西安·期中）某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支”，可得出共长出个小分支，结合1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：B． 题型九、握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 例9（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 9-1（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 9-2（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 9-3（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请 个球队参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 9-4（24-25九年级上·广西南宁·期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球队要和除自己以外的个球队进行次比赛，所以个球队进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排 21场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 易错点 等量关系建立错误，导致方程列错 例 某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m， ， 解得， (舍去)． 答∶该商品平均每月的价格增长率为 （2）解：依题意，得， 解得∶， ∵商家尽快将这批商品售出， ∴取60， 答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元． 1．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应邀请个队参赛， 根据题意得，， 即， 故选：． 2．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：D． 3．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解∶方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积∶， 其边长为7因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选∶D． 4．有若干支队伍参加了女子冰壶单循环比赛，比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（   ） A．8支 B．9支 C．10支 D．11支 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得 ， 解方程，得 ， （舍去） 故选：C． 5．国内生产总值（）是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．2021年太原市地区生产总值为亿元，2023年太原市地区生产总值为亿元．假设太原市地区这两年生产总值的年平均增长率相同，若设太原市地区这两年生产总值的年平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程——增长率问题，准确掌握等量关系是解题的关键．根据题意列出等量关系即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选B． 6．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 7．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 8．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 9．某厂一月份生产空调机1440台，三月份生产空调机1690台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式． 由于一月份生产空调1440台，三月份生产空调1690台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产吨、，由此即可列出方程． 【详解】解：依题意得 故答案为：． 10．《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合和均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴门高为8尺，门宽为6尺， ∴门的对角线长为（尺）． 故答案为：10． 11．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 12．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 13．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； (2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$