精品解析：江苏省常州市前黄实验中学2024-2025学年上学期九年级期中数学测试卷

九年级单元练习数学试题 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．请将正确答案填涂在答题卡对应的位置） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 7. 甲、乙两家公司年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（ ） A. 甲始终比乙快 B. 甲先比乙慢，后比乙快 C. 甲始终比乙慢 D. 甲先比乙快，后比乙慢 8. 如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将正确答案填写在答题卡对应的位置） 9. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 10. 方程的根为__________ 11. 若，，则代数式的值是________． 12. 若关于的一元二次方程有一根为，则k的值为________． 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 14. 在中，若，则__． 15. 某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 16. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 17. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 18. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．根据提议写出具体的答题过程，并将正确答案填写在答题卡对应的位置） 19. 解方程： （1） （2） 20. （1）计算：； （2）化简：． 21. 随着新能源的发展，新能源车企也迎来了更多的关注，下图是2022年1月至12，年1月至12月新能源乘用车零售销量情况． 新能源乘用车零售销量 （1）根据图中数据，下列说法正确的有 (填序号)； ①2023 年 1月以来，每月新能源乘用车零售销量都在不断增加； ②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是6月； ③除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高． （2）2023年新能源乘用车零售销量的中位数是 万辆； （3）请结合图中数据，谈谈新能源汽车在市场的发展前景． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的球，其中红球个，白球若干，若从中任意摸出个球是红球的概率为． （1）不透明的盒子中有______个白球； （2）若从中一次性摸出个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率． 23. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在处测得灯塔在北偏东方向上距离海里处，继续航行一段距离后在点处测得灯塔在北偏东方向． （1）若继续向东航行一段距离后到达点，当最小时，在图上标出点的位置，并求出其最小值； （2）求的值（结果保留根号）． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，与y轴相交于点B． （1）求k、b的值； （2）点C是x轴上一点，若的面积为24，求点C的坐标． 25. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中线； （2）在图2中的边上找到一点F，使；； （3）______． 26. 已知，在中，，，，点D、E分别在边上，且均不与顶点B重合，（如图1所示），设，． （1）当点E与点C重合时（如图2所示），求线段AD的长； （2）在图1中当点E不与点C重合时，求y关于x的函数解析式； （3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形，请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 27. 如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． （1）求m、n的值； （2）设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． （3）设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 28. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级单元练习数学试题 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．请将正确答案填涂在答题卡对应的位置） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的， ∴它最终停留在黑砖上的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 4. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 5. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 7. 甲、乙两家公司年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（ ） A. 甲始终比乙快 B. 甲先比乙慢，后比乙快 C. 甲始终比乙慢 D. 甲先比乙快，后比乙慢 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，根据折线统计图即可判断求解，看懂折线统计图是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知，甲公司年利润增长万元，年利润增长万元，乙公司年利润增长万元，年利润增长万元， ∴甲始终比乙快， 故选：． 8. 如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将正确答案填写在答题卡对应的位置） 9. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：数据45000用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11. 若，，则代数式的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 12. 若关于的一元二次方程有一根为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】设上升的高度为米， ∵上山直道的坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：，解得：或（舍去）， 故答案为：． 14. 在中，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ，， 则． 故答案为：． 15. 某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，理解和掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 小林的体育期末成绩为：（分）． 故答案为：． 16. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 17. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据相似三角形的性质得出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 又∵是的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．根据提议写出具体的答题过程，并将正确答案填写在答题卡对应的位置） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程． （1）观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以， 得， 解得， 经检验：是原方程的解； 【小问2详解】 解：，，， ， ∴， 解得，． 20. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21. 随着新能源的发展，新能源车企也迎来了更多的关注，下图是2022年1月至12，年1月至12月新能源乘用车零售销量情况． 新能源乘用车零售销量 （1）根据图中数据，下列说法正确的有 (填序号)； ①2023 年 1月以来，每月新能源乘用车零售销量都在不断增加； ②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是6月； ③除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高． （2）2023年新能源乘用车零售销量的中位数是 万辆； （3）请结合图中数据，谈谈新能源汽车在市场的发展前景． 【答案】（1）③ （2）65.3 （3）新能源汽车逐渐受大众的认可，预计未来零销售量还会增加（言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查了折现统计图，中位数，读懂统计图是解题的关键． （1）根据折线图求解即可； （2）根据中位数的概念求解即可； （3）根据折线图求解即可． 【小问1详解】 由折线图可得， ①3月至4月和6月至7月零售销量下降，故错误； ②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是2月，故错误； ③正确； 【小问2详解】 2023年新能源乘用车零售销量的中位数是万辆； 【小问3详解】 2023 年 1月以来，每月新能源乘用车零售销量大体呈现上升趋势， ∴新能源汽车逐渐受大众的认可，预计未来零销售量还会增加． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的球，其中红球个，白球若干，若从中任意摸出个球是红球的概率为． （1）不透明的盒子中有______个白球； （2）若从中一次性摸出个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）设该袋子中白球的个数为，根据概率公式列得，求解即可； （）列表格表示所有可能出现的情况，确定摸出的两个球颜色不同的情况，根据概率公式计算即可； 本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 设该袋子中白球的个数为， 依题意，得， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴袋子中白球的个数是个， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意，可以画出如下的树状图： 红 红 白 红 红红 白红 红 红红 白红 白 红白 红白 共有种等可能的情况，其中摸出的两个球颜色不同的有种， ∴摸出的两个球颜色不同的概率为． 23. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在处测得灯塔在北偏东方向上距离海里处，继续航行一段距离后在点处测得灯塔在北偏东方向． （1）若继续向东航行一段距离后到达点，当最小时，在图上标出点的位置，并求出其最小值； （2）求的值（结果保留根号）． 【答案】（1） 根据“垂线段最短”可知，点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（）根据“垂线段最短”即可求解； （）利用含角的直角三角形的性质和勾股即可求解； 本题考查了勾股定理，垂线段最短和含角的直角三角形的性质，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 中， ∵， ∴， 中， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，与y轴相交于点B． （1）求k、b的值； （2）点C是x轴上一点，若的面积为24，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）分别将点代入和之中可求得和的值； （2）先求出点，与轴的交点，设点，过点作轴，然后分两种情况讨论如下：①当点在轴的正半轴上时，则，，然后根据列出关于的方程，解方程求出即可；②当点在轴的负半轴上时，则，，然后根据列出关于的方程，解方程求出即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， 将点代入，得：， 解得：． 【小问2详解】 对于，当时，，当时，， 点的坐标为，与轴的交点的坐标为， 过点作轴， 点，点， ，，，， 点是轴上的一点，设点的坐标为． 分两种情况讨论如下： ①当点在轴的正半轴上时， 则，， ， ， 即：， 解得：， 点的坐标为； ②当点在轴的负半轴上时， 则，， ， 即：， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（2）时进行分类讨论是难点之一，也是易错点． 25. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中线； （2）在图2中的边上找到一点F，使；； （3）______． 【答案】（1） 如图①，线段即为所求； （2） 如图②，点E即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于点D，连接，线段即为所求； （2）取格点P，Q，连接交于点F，连接，点F即为所求； （3）作边上的高，根据等积法求的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴点D是的中点， ∴是的中线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作交于点E， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用网格作三角作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正切的定义，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 26. 已知，在中，，，，点D、E分别在边上，且均不与顶点B重合，（如图1所示），设，． （1）当点E与点C重合时（如图2所示），求线段AD的长； （2）在图1中当点E不与点C重合时，求y关于x的函数解析式； （3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形，请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或或5 【解析】 【分析】（1）过C作，交于F，根据勾股定理求出，设为m，根据等腰三角形得到 ，再根据 即可得到答案； （2）过E作交于H，根据， 即可得关于的函数解析式及其定义域； （3）根据等邻角四边形定义分类讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过C作，交于F， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ , 设为m，则 ，， ∵， ∴，则 ， 解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：过E作交于H， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ，， ∵，， , ，， ∴，， ， ∵ ∴ ； 【小问3详解】 解：根据题意可得： 当时，由（2）可得， ， 则， ∴； 当 时，如图所示， ∵，， ∴ ， ∴ ∵，，， ∴ ； 当时，如图所示， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴； 综上所述的长是或或5． 【点睛】本题考查三角函数解直角三角形综合题及相似三角形性质及判定、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线和分类讨论思想的运用． 27. 如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． （1）求m、n的值； （2）设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． （3）设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值； （2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标； （3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把点A、B的坐标分别代入中，得：， 解得：， 即，； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由A、B的坐标知，，，， ∴，即， ∴， 当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为； 当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（1）知，直线解析式为：， 上式中，令，得， 则，； 因点Q在直线上，故设点， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点． 28. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：变化量分别为，；；；； 任务2：； 任务3：（1）， （2）； 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【解析】 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：略 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $