第08讲：统计和概率【十二大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第08讲：统计和概率 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1　全面调查(普查)、抽样调查 1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. 总体：调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. 2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 样本：从总体中抽取的那部分个体. 样本量：样本中包含的个体数. 知识点2　简单随机抽样 1.定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2.方法：抽签法和随机数法. 知识点3　抽签法、随机数法 1.抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. 2.随机数法 (1)用随机试验生成随机数 (2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. 知识点4、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 4.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 5、百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 知识点5：随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 知识点6：事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点7：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点8：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 知识点9、古典概型 1、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 2、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 知识点10　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一、简单随机抽样与分层随机抽样 1．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 题型二：随机数表 4．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（   ） 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 题型三:统计图表的应用 7．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 8．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图．根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法错误的是（    ） A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C．甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 9．（22-23高一下·河北衡水·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项不正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 题型四：频率分布直方图 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）    A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 11．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 12．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ）    A．这100名学生中成绩在内的频率为0.012 B．这100名学生中成绩在内的人数为14 C．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这100名学生成绩的中位数为75 题型五：众数、平均分与中位数 13．（24-25高一下·天津河西·期末）已知一组数据为92，93，90，87，91，89，90，94，则这组数据的（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第分位数为92 D．平均数为90.25 14．（2025高三·全国·专题练习）体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为15 D．第85百分位数为16 15．（2025·江西·二模）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、平均数和方差的和差乘除性质 16．（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则（    ） A．3 B．－3 C．1或3 D．－1或3 17．（24-25高一下·湖南·期末）已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 18．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（    ） A．的值为 B．乙组样本数据的方差为45 C．两组样本数据的样本极差不同 D．两组样本数据的样本中位数一定相同 题型七：百分位数 19．（24-25高二下·广西南宁·期末）某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（  ） A．136 B．135 C．116 D．125 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）为庆祝中华全国总工会成立100周年，某单位举行工会知识竞赛，进入决赛的8名选手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90.则这组数据的80%分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．90.5 21．（24-25高一下·福建龙岩·期末）某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B．第60百分位数估计值为71 C．众数的估计值为75 D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 题型八：事件的关系与运算 22．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）对空中移动的目标连续射击三次，设事件“三次都击中目标”，“三次都没击中目标”，“恰有两次击中目标”，“至少有两次击中目标”，下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·天津·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 题型九、互斥事件与对立事件、独立事件 25．（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 26．（24-25高一下·陕西西安·期末）某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 27．（24-25高一下·天津滨海新·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 题型十、古典概型 28．（24-25高一下·广东广州·期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（     ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·广东汕头·期末）从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·天津南开·期末）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （    ） A． B． C． D． 题型十一、几何概型 31．（21-22高一下·青海海东·期末）在区间上任取一个数x，则的概率为 ． 32．（21-22高一下·西藏拉萨·期末）某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为 ． 33．（21-22高一下·陕西渭南·期末）对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为4的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有250个点，据此可估计黑色部分的面积为 ． 题型十二、统计与概率综合 34．（24-25高一下·天津西青·期末） 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； (2)采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取的人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 35．（24-25高一下·山东青岛·期末）2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 36．（24-25高一下·广东清远·期末）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【专项训练】 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  10  9  8  8  6 乙：9  10  7  8  7  7  8 则下列判断正确的是（   ） A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 2．（24-25高一下·贵州黔南·期末）为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 3．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 4．（24-25高一下·天津和平·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 5．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 6．（24-25高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 7．（24-25高一下·天津和平·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·河南新乡·期末）连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（  ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 11．（24-25高一下·四川乐山·期末）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生进行测量．已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别为45，11，则（   ） A．抽取的男生有50人 B．抽取的女生有50人 C．估计该校高三年级学生体重的平均数为50 D．估计该校高三年级学生体重的方差为36 12．（24-25高一下·广东潮州·期末）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（） A．这10天的日均值逐日增大 B．这10天中日均值的平均值是48.8 C．从日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差 D．这10天日均值超标的有3天 三、填空题 13．（24-25高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，6，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，第三四分位数为b，则 ． 14．（24-25高一下·天津和平·期末）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 15．（2026高三·全国·专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为 ． 16．（24-25高一下·湖南长沙·期末）甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 四、解答题 17．（24-25高一下·广东广州·期末）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； (3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 18．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． (1)求甲第二次答题通过面试的概率； (2)求乙最终通过面试的概率； (3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 19．（24-25高一下·山西临汾·期末）2025年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于2025年5月～11月主办的赛事，赛事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”.苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和分位数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (3)在参赛成绩在和的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的参赛成绩都在内的概率. 20．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.    (1)求频率分布直方图中的x的值： (2)估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） (3)若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 21．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）甲、乙、丙三人相约下围棋，共下4局，规则如下：每局由两人上场对弈，第三人轮空，一局结束后，原轮空者上场与胜者对弈下一局，败者轮空，按此规则循环下去.第一局由三人中随机选择两人进行对弈. (1)求第一局由乙、丙两人进行对弈的概率； (2)若甲、乙、丙三人每局对弈中战胜对手的概率均为，每局对弈相互独立且没有平局，第一局由乙、丙两人进行对弈. （ⅰ）丙提出用掷骰子来决定谁先落子：连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记骰子朝上的点数分别为和，若，则由乙先落子，否则由丙先落子.请你运用所学知识判断这个方法公平吗？说明理由； （ⅱ）求在4局对弈中甲轮空2局的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：统计和概率 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1　全面调查(普查)、抽样调查 1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. 总体：调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. 2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 样本：从总体中抽取的那部分个体. 样本量：样本中包含的个体数. 知识点2　简单随机抽样 1.定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2.方法：抽签法和随机数法. 知识点3　抽签法、随机数法 1.抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. 2.随机数法 (1)用随机试验生成随机数 (2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. 知识点4、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 4.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 5、百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 知识点5：随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 知识点6：事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点7：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点8：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 知识点9、古典概型 1、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 2、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 知识点10　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一、简单随机抽样与分层随机抽样 1．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】按照分层比例抽取，列式求解. 【详解】由条件可知高一年级应抽取的人数是人. 故选：B. 3．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 【答案】B 【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案． 【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生， 根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误． C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体． B：样本的容量是100正确． 故选:B． 题型二：随机数表 4．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 【答案】B 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50. 故选：B. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 【答案】A 【分析】根据随机数表的读法，注意除去重复的，得到第5组符合要求的编码. 【详解】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09. 09为第5个样本编号， 故选：A 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（   ） 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 【答案】A 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解. 【详解】依次选出的编号为：01，17，09，08，06，14； 则选出来的第6支水笔的编号为14. 故选：A. 题型三:统计图表的应用 7．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 8．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图．根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法错误的是（    ） A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C．甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 【答案】D 【分析】根据折线图分别判断信息及计算平均数进而判断各个选项即可. 【详解】对于A，由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为，乙景点的7，8，9月份的总游客人数为，，A正确； 对于B，根据乙景点的游客人数折线图可知，乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确； 对于C，甲景点游客人数的平均值为，，C正确； 对于D，由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误． 故选：D． 9．（22-23高一下·河北衡水·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项不正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 【答案】C 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误； 对D：由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确． 故选：C． 题型四：频率分布直方图 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）    A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 【答案】D 【分析】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可；对C，根据频率分布直方图的众数判断即可；对D，计算区间的频率，进而可得人数. 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故B正确； 对C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确； 对D，由直方图可得的频率为， 故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误. 故选：D 11．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 12．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ）    A．这100名学生中成绩在内的频率为0.012 B．这100名学生中成绩在内的人数为14 C．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这100名学生成绩的中位数为75 【答案】C 【分析】由概率之和为1可判断A；结合频率与频数的关系可判断B；结合平均数的公式可判断C；由中位数的公式可判断D. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以成绩在内的频率为，故A不正确； 这100名学生中成绩在内的频率为， 所以成绩在内的人数为32，故B不正确； 根据频率分布直方图平均数的计算公式可得 ，故C正确； 根据频率分布直方图可得，中位数在之间，故D不正确. 故选：C. 题型五：众数、平均分与中位数 13．（24-25高一下·天津河西·期末）已知一组数据为92，93，90，87，91，89，90，94，则这组数据的（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第分位数为92 D．平均数为90.25 【答案】C 【分析】将数据按升序排列，根据极差、中位数、百分位数以及平均数的定义运算求解. 【详解】将数据按升序排列可得：87，89，90，90，91，92，93 ，94， 对于选项A：极差为，故A错误； 对于选项B：中位数为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以第分位数为第6位数92，故C正确； 对于选项D：平均数，故D错误. 故选：C. 14．（2025高三·全国·专题练习）体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为15 D．第85百分位数为16 【答案】B 【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可. 【详解】成绩从小到大排列为：， 对于A，出现次数最多的数为，故A错误； 对于B，平均数，故B正确； 对于C，中位数为，故C错误； 对于D，第85百分位数为第， 即第位，为，故D错误. 故选：B. 15．（2025·江西·二模）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断. 【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 故选：C 题型六、平均数和方差的和差乘除性质 16．（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则（    ） A．3 B．－3 C．1或3 D．－1或3 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的计算公式计算即可. 【详解】因为样本数据，，，，的平均数为，方差为， 则样本数据，，，的平均数为，方差为， 所以，解得或. 故选：C. 17．（24-25高一下·湖南·期末）已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 【答案】C 【分析】设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D. 【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误； 对于B：，，…，的方差为，故B错误； 对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确； 对于D：，，…，的极差为，故D错误. 故选：C. 18．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（    ） A．的值为 B．乙组样本数据的方差为45 C．两组样本数据的样本极差不同 D．两组样本数据的样本中位数一定相同 【答案】D 【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定A、B正确，根据极差的概念，可判定C正确，根据中位数的计算方法，可得判定D正确. 【详解】由甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为，方差为， 乙组样本数据，，…，的平均数为5， 可得，即，解得，所以A正确； 设乙组样本数据的方差为，可得，所以B正确； 不妨设，则甲组数据的极差为， 乙组数据的极差为， 因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，所以C正确； 设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为， 若，可得，所以两组样本数据的中位数可能相同，所以D不正确. 故选：D. 题型七：百分位数 19．（24-25高二下·广西南宁·期末）某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（  ） A．136 B．135 C．116 D．125 【答案】B 【分析】先利用概率和为1，求出 【详解】因为，所以. 设这些观众观看时长的分位数为，因为，， 所以这些观众观看时长的35%分位数在内.由，得. 故选:B 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）为庆祝中华全国总工会成立100周年，某单位举行工会知识竞赛，进入决赛的8名选手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90.则这组数据的80%分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．90.5 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】进入决赛的8名选手得分按照从小到大排列如下：， 因为，所以这组数据的80%分位数为90. 故选：C. 21．（24-25高一下·福建龙岩·期末）某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B．第60百分位数估计值为71 C．众数的估计值为75 D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中的数据，结合平均数，百分位数，众数和频率的计算方法，逐项计算求解，即可得到答案. 【详解】对于A中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的平均数为： ，所以A不正确； 对于B中，由前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以数据的60百分位数落在第4个矩形，设为，则，所以B错误； 对于C中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的众数为，所以C正确； 对于D中，根据频率分布直方图，可得位于的频率为， 则，所以随机选取这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分，所以D错误. 故选：C. 题型八：事件的关系与运算 22．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 23．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）对空中移动的目标连续射击三次，设事件“三次都击中目标”，“三次都没击中目标”，“恰有两次击中目标”，“至少有两次击中目标”，下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合集合的包含关系及交集及并集运算检验各选项即可判断． 【详解】对空中移动的目标连续射击三次， 则样本空间为三次都击中目标，恰有两次击中目标，恰有一次击中目标，三次都没击中目标， “至少有两次击中目标”包含：恰有两次击中目标和三次都击中目标， 由题意可得，，选项A正确；，选项B正确；，选项C正确； 包含：三次都击中目标，恰有两次击中目标，三次都没击中目标， 故，选项D错误． 故选：D 24．（23-24高一下·天津·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 题型九、互斥事件与对立事件、独立事件 25．（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 26．（24-25高一下·陕西西安·期末）某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 【答案】C 【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得. 【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 27．（24-25高一下·天津滨海新·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 【答案】A 【分析】由事件的关系逐一判断各个选项即可得解. 【详解】与事件“取出的两个球同为红色”对立的事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”， 故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”的子事件，且不能等同于该事件， 对于A，由以上分析可知A正确； 对于BD，由于取出的两个球可能都为红色，故不互斥，故BD不正确； 对于C，由以上分析可知，C选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件，故C不正确. 故选：A. 题型十、古典概型 28．（24-25高一下·广东广州·期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求，最后由古典概型计算公式即可求解. 【详解】设4道甲类题为，2道乙类题为，则共有15种情况， 令事件表示所取的2道题都是同一类题，所以共有7种情况，所以， 故选：D. 29．（24-25高一下·广东汕头·期末）从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举样本空间，即可由古典概型公式求解. 【详解】从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，构成的样本空间有共有10个样本点， 能构成三角形的样本点有共有4个， 故概率为， 故选：A 30．（24-25高一下·天津南开·期末）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出所有情况种数后计算出符合要求的情况种数即可得. 【详解】设这 5 个项目对应的编号分别为、、、、， 则从五个项目中选三个的情况有：、、、、、、 、、、，共种情况； 其中有“整地做畦”或者有“旱地播种”有、、、、、 、、、，共种情况； 则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为. 故选：D. 题型十一、几何概型 31．（21-22高一下·青海海东·期末）在区间上任取一个数x，则的概率为 ． 【答案】 【分析】根据几何概型求概率公式进行求解. 【详解】由题意得：当时，满足， 故概率为. 故答案为：. 32．（21-22高一下·西藏拉萨·期末）某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意出租车司机等待时间不超过5分钟，则出租车司机打开收音机的时间点是在整点前5分钟内，根据几何概率的计算公式可求得. 【详解】由于电台的整点报时，报时之间的间隔为60分钟， 若要出租车司机等待时间不超过5分钟，则需其打开收音机的时间点是在整点前5分钟内， 故概率为 故答案为： 33．（21-22高一下·陕西渭南·期末）对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为4的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有250个点，据此可估计黑色部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】由几何概型中的面积型概率计算公式即可求解. 【详解】记正方形和黑色部分的面积分别为，则由几何概型可得：，故， 故答案为：10 题型十二、统计与概率综合 34．（24-25高一下·天津西青·期末） 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； (2)采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取的人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 【答案】(1)，70分钟 (2)①4人；②答案见解析；③． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得，再求出频率分布直方图频率对应的时长即为中位数； （2）①根据分层抽样的概率确定人数；②用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率；③同样用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率 【详解】（1），解得, 由图可知中位数在内，设中位数为x， 则有， 故，即中位数估计为70分钟. （2）①成绩在内的有人， 年龄在内的有人， 由分层随机抽样可知，在区间应抽取3人，在区间应抽取4人. ②设在区间抽取样本记为a，b，c， 在区间抽取样本，记为A，B，D，E， 从中任取2人，试验的样本空间为： ， （也可这样表示） 共21个样本点. ③设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数” ， （也可这样表示） 共15个样本点. ∴， ∴随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝人数的概率为. 35．（24-25高一下·山东青岛·期末）2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1)0.04；200 (2)32.25；37.5 (3) 【分析】（1）依次计算出频率分布直方图中每一组的频率，利用频率之和为1，解方程即可得到的值，利用第一组的人数和第一组的频率，即可得到的值； （2）直接根据频率分布直方图求解平均年龄和第80百分位数； （3）根据分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少有一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得： 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为， 第五组的频率为， 因为频率之和为1，所以，， 解得； 因为第一组的频率为，且第一组有10人， 所以， 解得. （2）设平均年龄为， 则， 设第80百分位数为， 根据每一组频率得：，， 因此第80百分位数出现在第四组， 可列出方程：，，， 解得， 综上，平均年龄为32.25，第80百分位数为37.5. （3）根据题意，进行分层抽样，则第四组抽了人，记为，，，甲， 第五组抽了人，记为，乙， 从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点， 甲、乙两人至少有一人被选上，对应的样本空间为：，，，，，，，，，共9个样本点， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 36．（24-25高一下·广东清远·期末）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】(1) (2) (3)小明谁更有机会进入面试环节. 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分， 第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”. 则, ; . （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红晋级复赛的概率分别为： ； 小红晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更有机会进入面试环节. 【专项训练】 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  10  9  8  8  6 乙：9  10  7  8  7  7  8 则下列判断正确的是（   ） A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 【答案】D 【分析】利用平均数、众数、中位数的定义分别求出甲乙两人射击环数的平均数、众数、中位数，然后比大小即可. 【详解】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为8，中位数为8； 乙射击的平均成绩为，众数为7，中位数为8； 故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，故A B错误； 甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误； 甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故D正确； 故选：D． 2．（24-25高一下·贵州黔南·期末）为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 【答案】C 【分析】由面积和为1可得A错误；由频率分布直方图中众数，百分位数的计算可判断B，C；对数据的估计可得D. 【详解】对于A，，解得，故A错误； 对于B，由图可得的频率最大，所以众数的估计值为75，故B错误； 对于C，由频率分布直方图得从第一组到第，七组的频率依次是0.02,0.04,0.06,0.08,0.08,0.12,0.16，所以第60百分位数估计值在之间， 所以， 解得，故C正确； 对于D，若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的估计有人，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 【答案】C 【分析】利用中位数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差． 【详解】因为数据的中位数为2，方差为3， 所以数据的中位数为， 方差为. 故选：C. 4．（24-25高一下·天津和平·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】D 【分析】利用是否同时发生来判断互斥事件和对立事件，即可判断AB，利用古典概型来求相应事件的概率，然后利用独立事件概率乘法公式来判断是否独立，即可判断CD． 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 5．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 6．（24-25高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 7．（24-25高一下·天津和平·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共3种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故选：A. 二、多选题 8．（24-25高一下·河南新乡·期末）连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（  ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BD 【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得. 【详解】，，，， 对A：，， 故与不相互独立，故A错误； 对B：，，有， 故与相互独立，故B正确； 对C：， 故与不相互独立，故C错误； 对D：，，有，’ 故与相互独立，故D正确； 故选：BD. 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 【答案】ABD 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】记红球为1,2，白球为3,4， 不放回依次取出两个，则样本空间，共12种， 事件，共6种； 事件，共4种 事件，共8种； A选项，，故A正确； B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确； C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误； D选项，因为事件，共4种，所以， 因为，由A可知，因为 所以与相互独立，所以D选项正确． 故选：ABD 11．（24-25高一下·四川乐山·期末）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生进行测量．已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别为45，11，则（   ） A．抽取的男生有50人 B．抽取的女生有50人 C．估计该校高三年级学生体重的平均数为50 D．估计该校高三年级学生体重的方差为36 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样确定抽取的男生及女生判断A，B，再应用分层抽样得出平均数及方差计算求解判断C，D. 【详解】按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生抽取的男生有人，抽取的女生有人，故A正确，B错误； 由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式，故C正确，D正确. 故选：ACD. 12．（24-25高一下·广东潮州·期末）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（） A．这10天的日均值逐日增大 B．这10天中日均值的平均值是48.8 C．从日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差 D．这10天日均值超标的有3天 【答案】BC 【分析】由图可判断A；根据平均数计算公式可判断B；分别求出前5天的日均值的标准差及后5天的日均值的标准差可判断C；结合图中数据可判断D. 【详解】对于A，由图可知这10天的日均值有增有减，故A错误； 对于B，这10天中日均值的平均值，故B正确； 对于C，前5天平均值为，后5天平均值为， 所以前5天的日均值的方差， 后5天日均值的方差 因为，所以前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差， 故前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差，故C正确； 对于D，由图可知12月6、7这两天的大于，故D错误. 故选：BC． 三、填空题 13．（24-25高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，6，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，第三四分位数为b，则 ． 【答案】14 【分析】根据给定条件，求出众数及第三四分位数即可. 【详解】这组数据的众数是6，即； 由，因此这组数据的第三四分位数为8，即， 所以. 故答案为：14 14．（24-25高一下·天津和平·期末）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 【答案】 0.03 85 【分析】根据频率分布直方图的面积和为1可得，确定第三四分位数所在的区间，根据概念计算即可. 【详解】由频率分布直方图可得，可得； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以满意度计分的第三四分位数， 所以，即满意度计分的第三四分位数约为85. 故答案为：0.03；85. 15．（2026高三·全国·专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件“从甲箱中摸出的1个球是红球”，“从乙箱中摸出的1个球是红球”，“顾客抽奖1次获一等奖”，“顾客抽奖1次获二等奖”，“顾客抽奖1次能获奖”，由题意相互独立，与互斥，与互斥，.利用概率的加法公式和独立事件的乘法公式，结合对立事件概率公式求解即可. 【详解】记事件“从甲箱中摸出的1个球是红球”，“从乙箱中摸出的1个球是红球”， “顾客抽奖1次获一等奖”，“顾客抽奖1次获二等奖”， “顾客抽奖1次能获奖”．由题意知与相互独立，与互斥， 与互斥，且， 因为， 所以， ． 故所求概率为． 故答案为： 16．（24-25高一下·湖南长沙·期末）甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 【答案】 /0.6 /0.6075 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，是甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求的值；事件“梦队在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“梦队在比赛中得分不低于6分”，“甲在自主投篮环节得k分”（），“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立， 则， 且事件，，，，两两互斥，则 . 故答案为：；. 四、解答题 17．（24-25高一下·广东广州·期末）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； (3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积之和为1即可求解； （2）根据百分位数的定义和频率分布直方图估计平均数的公式即可求解； （3）先计算和应抽取的人数，最后利用古典概型公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，解得； （2）设第75百分位数为，则，解得， 由， 所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为； （3）由题意有的人数为：人，的人数为：人， 根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人， 设抽取2人为，抽取3人为， 从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况， 令事件表示两人分别来自于观展时间在和， 则共有6种情况，所以. 18．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． (1)求甲第二次答题通过面试的概率； (2)求乙最终通过面试的概率； (3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意甲第二次答题通过为，从而可求解； （2）乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况讨论，即可求解； （3）甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试，从而可求解. 【详解】（1）由题意得：甲第二次通过面试的概率为：， 故甲第二次答题通过面试的概率为. （2）乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况： 第一次答题通过的概率为； 第二次答题通过的概率为， 第三次答题通过的概率为， 则乙最终通过面试的概率为. （3）甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试， 则甲、乙两人都没有通过面试的概率为， 所以甲、乙两人至少有一人通过面试的概率为. 故甲、乙两人至少有一人通过面试的概为. 19．（24-25高一下·山西临汾·期末）2025年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于2025年5月～11月主办的赛事，赛事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”.苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和分位数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (3)在参赛成绩在和的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的参赛成绩都在内的概率. 【答案】(1) (2)平均数为，分位数为 (3) 【分析】（1）借助众数定义计算即可得； （2）借助平均数与百分位数定义计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名学生中参赛成绩在与的人数，再借助列举法即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，参赛学生的成绩位于中的人数最多， 故学生参赛成绩的众数为； （2） ； 设本次学生参赛成绩的分位数为， 则由， ， 故分位数位于之间， 则有，解得； （3），， 则这6名学生中参赛成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名学生中参赛成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名学生的参赛成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名学生的参赛成绩都在内的概率为. 20．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.    (1)求频率分布直方图中的x的值： (2)估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） (3)若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 【答案】(1)0.03 (2)平均数为74；中位数为 (3) 【分析】（1）由面积和为1可解； （2）将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数；根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数的值； （3）分析可知后三组中所抽取的人数分别为3,2,1，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由直方图可得，解得； （2）平均数； 由图可得前两组的频率为0.4，前三组为0.7，所以中位数在之间，设为， 则，解得； （3）易得后三组学生人数分别为30,20,10，所以抽取人数分别3,2,1， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取3人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种， 其中至少有2人被抽到包含10种结果，故所求概率为. 21．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）甲、乙、丙三人相约下围棋，共下4局，规则如下：每局由两人上场对弈，第三人轮空，一局结束后，原轮空者上场与胜者对弈下一局，败者轮空，按此规则循环下去.第一局由三人中随机选择两人进行对弈. (1)求第一局由乙、丙两人进行对弈的概率； (2)若甲、乙、丙三人每局对弈中战胜对手的概率均为，每局对弈相互独立且没有平局，第一局由乙、丙两人进行对弈. （ⅰ）丙提出用掷骰子来决定谁先落子：连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记骰子朝上的点数分别为和，若，则由乙先落子，否则由丙先落子.请你运用所学知识判断这个方法公平吗？说明理由； （ⅱ）求在4局对弈中甲轮空2局的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）这个方法不公平，理由见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由古典概型概率公式计算即可得解； （2）（ⅰ）利用列举法，结合古典概型即可得解； （ⅱ）利用列表法，结合古典概型即可得解； 【详解】（1）第一局共有3种对弈方式：（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），所以由乙、丙两人进行对弈的概率为. （2）（i）连续掷骰子两次的样本空间共有36个样本点. 设事件，则 共有16个样本点，故乙先落子的概率为， 因为，所以这个方法不公平 （ii）轮空情况如下表所示： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲 乙 甲 乙 丙 丙 甲 乙 丙 甲 乙 丙 乙 甲 丙 其中甲轮空2局的可能有6种，所以在四局比赛中甲轮空2局的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$