第06讲 解三角形【十大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第06讲 解三角形 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识点03.三角形常用面积公式 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r. (1)S＝ah(h为BC边上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)； (4)S＝. 知识点04:测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 2．（24-25高一下·江西·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 . 题型二、正弦定理解三角形 4．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则 . 5．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则 . 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（2026高三·全国·专题练习）的内角的对边分别为，若，则的面积为 . 8．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为 ． 9．（24-25高三下·海南·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则 . 题型四、边角互化判断三角形形状 10．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 11．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 12．（22-23高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型五、三角形解的个数问题 13．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、正、余弦定理的实际应用 16．（24-25高一下·天津西青·期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 17．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 18．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 题型七、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 19．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、利用基本不等式求周长、面积范围问题 22．（22-23高一下·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 题型九、正、余弦定理在几何图形中的计算 25．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，已知在平面四边形中，． (1)设，若，求； (2)若平分，求的长． 26．（24-25高一下·四川成都·期末）已知内角的对边分别为，点是的内心，若,. (1)求角； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 题型十：解三角形和三角形的交汇问题 28．（24-25高一下·湖南·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若且的面积为，求的周长. 29．（24-25高一下·湖北黄石·期末）在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且. (1)求B的大小； (2)设，且，求的面积. 30．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)若的角的外角平分线交直线于点，且，求长. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山西·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·云南文山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若△ABC为锐角三角形，则 C．若，，，则满足条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 11．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 12．（24-25高一下·江西·期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 三、填空题 14．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面四边形中，，，，，则的值为 . 15．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 16．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则 ． 17．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为 . 四、解答题 18．（24-25高一下·海南·阶段练习）在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求A的值； (2)若点D在AC上，且，求的面积． 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 19．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 20．（24-25高一下·广东云浮·期末）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解三角形 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识点03.三角形常用面积公式 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r. (1)S＝ah(h为BC边上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)； (4)S＝. 知识点04:测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】因为，，，由正弦定理， 可得，即，可得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B． 2．（24-25高一下·江西·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理列出方程，再解方程即可. 【详解】由，得，解得． 故选：A. 3．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理求出的值，结合的取值范围即可求解. 【详解】利用余弦定理可得， 又因为，所以． 故答案为：. 题型二、正弦定理解三角形 4．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理可求边. 【详解】因为，且为三角形的内角，所以. 由正弦定理，得：. 故答案为： 5．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则 . 【答案】 【分析】明智同角公式及正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理，得. 故答案为： 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（2026高三·全国·专题练习）的内角的对边分别为，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合题目已知条件，运用余弦定理，之后将数据代入三角形面积公式即可 【详解】由余弦定理的推论得， 因为，所以（负值舍去），， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】由余弦定理求出，进而求出面积. 【详解】由余弦定理得， 即，，解得（负值舍去）， 故. 故答案为：2 9．（24-25高三下·海南·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由面积公式求出，由余弦定理求出，最后由完全平方公式求出. 【详解】因为，由正弦定理得，即，又，所以． 由的面积为，得，可得． 在中，由余弦定理可得， 又，，代入可得，所以， 所以． 故答案为：. 题型四、边角互化判断三角形形状 10．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 11．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 12．（22-23高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由， 得， 整理得， 则， 因为，所以， 又由及正弦定理得： ，化简得， 所以为等边三角形， 故选：C. 题型五、三角形解的个数问题 13．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 14．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，解不等式组，即可得答案. 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 题型六、正、余弦定理的实际应用 16．（24-25高一下·天津西青·期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得． 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 17．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解. 【详解】在中，，则， ， 由正弦定理，得， 过作垂直于直线的直线，为垂足，此时， 因此游轮不改变航向继续前进，游轮到该岛的最短距离为（海里）. 故选：A 18．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理得，进而得，即可得，利用两角和的正弦公式得，最后由正弦定理即可求解. 【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：， 又，所以， 所以， 所以， 又， 在中，由正弦定理有：，所以. 故选：A. 题型七、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 19．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 20．（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【详解】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B 21．（22-23高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，可得，由正弦定理得的周长为，再求出，进而可得答案. 【详解】因为 所以， ∵，∴， ，∵，∴，， ∴，∴，由正弦定理得 ∴，， 所以的周长为 ∵， ∴的周长为， 故选：B. 题型八、利用基本不等式求周长、面积范围问题 22．（22-23高一下·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：， 于是得，，解得，又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：C 23．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理化简题中条件，得到，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 24．（21-22高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可 【详解】由，， 所以，即， 所以，因为，所以． 因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以． 故选：B． 题型九、正、余弦定理在几何图形中的计算 25．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，已知在平面四边形中，． (1)设，若，求； (2)若平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，即可求解； （2）由平分，可得，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得， 可得， 在中，因为，可得， 因为，所以． （2）解：因为平分，可得， 由余弦定理，可得，解得， 所以. 26．（24-25高一下·四川成都·期末）已知内角的对边分别为，点是的内心，若,. (1)求角； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将原式化成，即得，结合角的范围即可求出角. （2）利用点是的内心，由三角形面积公式和等面积替换可得，再根据余弦定理，两者联立代入可得，解方程即得的值，即得答案. 【详解】（1）由可得，由正弦定理可得 ， 故可得，即，而，故 （2）因为点是的内心，，， 因，，则 从而，. 又，所以，即. 由余弦定理可得. 将代入上式化简得. 解得，因为，所以. 所以的周长为. 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用勾股定理逆定理可得，根据已知并利用勾股定理进一步得到有关线段长度值，得到的正弦值余弦值，结合余弦定理以求得的长度正好等于，从而得到为等腰三角形，最后利用余弦的和角求的值. 【详解】（1）在中，用余弦定理，， 得，. （2）由（1）得，， ∴，∴， 又∵，∴，. ， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴， ∴为等腰三角形，. 又∵，， . 题型十：解三角形和三角形的交汇问题 28．（24-25高一下·湖南·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，最后由余弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式得，由余弦定理得，进而得，化简即可求解. 【详解】（1）由题意：， 由正弦定理有： ，即， 由余弦定理有：， 又，所以； （2）由，所以， 由余弦定理有：， 所以，即， 所以， 所以的周长为. 29．（24-25高一下·湖北黄石·期末）在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且. (1)求B的大小； (2)设，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，求得，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，分别求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得 由正弦定理，可得， 则， 整理得， 因为，可得，所以，可得， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由题意，可得，即. （i）当时，，，可得，， 所以的面积. （ii）当时，可得，由正弦定理得， 联立方程组，解得，且. 所以的面积. 综上可得，的面积为. 30．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)若的角的外角平分线交直线于点，且，求长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量平行得到等式，再通过正弦定理和三角函数的性质求出角； （2）根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值； （3）利用等面积法即可求解. 【详解】（1）由，得，即 利用正弦定理，代入化简： 又，代入后得： 因，两边除以，得，即 又，故 （2）由余弦定理，代入得： 由均值不等式，得，即 面积，故最大值为 （3）由题意，， 所以，即， 所以， 因此，. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理来求边，再由正切函数可求出塔高. 【详解】在中，由，，可得， 结合已知和正弦定理可得：，解得， 因为在点C测得塔顶A的仰角为， 所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可. 【详解】设的三个内角对应的边分别为 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：A 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，得到，最后根据基本不等式求最值的可求得结果. 【详解】由余弦定理，即， 由正弦定理知，， 即，即， 在中，且、同号，故， 所以.当且仅当时，等号成立 故. ∵， ∴，时.取得最小值. 故选：B. 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【详解】在中， 又∵，∴ 故， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 8．（24-25高一下·山西·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式化简可得，由余弦函数性质可得，再利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意得， 即， 因为，，则，且余弦函数在上单调递减， 所以，即， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·云南文山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若△ABC为锐角三角形，则 C．若，，，则满足条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的单调性及三角形中大角对大边可判断选项A；先根据△ABC为锐角三角形得出，再根据正弦函数的单调性和诱导公式可判断选项B；先利用正弦定理得出，再根据大边对大角及正弦函数的性质可判断选项C；先根据正弦定理得出，再根据二倍角正弦公式及正弦函数的性质即可判断选项D. 【详解】对于选项A：∵在上单调递减且， ∴， 则，故选项A不正确； 对于选项B：∵△ABC为锐角三角形， ∴，且，， 即. 又∵函数在上单调递增， ∴， ∴，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 所以由正弦定理：可得. 又因为， 则，且， 所以满足条件的角C有两个，故选项C正确； 对于选项D，∵， 则由正弦定理可得， ∴，即， ∴或，即或， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项D不正确， 故选：BC． 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【答案】ACD 【分析】根据有两个解，可得，解不等式即可得解. 【详解】在中，，， 因为有两个解，所以， 即，故，结合选项可知ACD符合题意． 故选：ACD 11．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 【答案】BD 【分析】根据数量积只能得出B为锐角，故A错误；根据条件可得或，故B正确；根据正弦定理角化边只能得出为锐角，故C错误；根据可得选项D正确. 【详解】对于A：因为，与的夹角为B的补角，所以B为锐角，不能确定的形状，A错误； 对于B：因为，，，， 所以或， 当时，，为等腰三角形， 当时，，，为钝角三角形， 所以为等腰三角形或钝角三角形，B正确； 对于C：因为，所以， 所以，故为锐角，但无法判断角A，B的范围，C错误； 对于D：因为， 所以，故符合条件的有两个，D正确. 故选：BD. 12．（24-25高一下·江西·期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据余弦定理以及数量积可得即，从而可对A项判断求解；利用正弦定理及余弦的两角和公式可得，再结合题意可得，从而可对B、C项判断求解，再利用三角形面积公式可得，可对D项判断求解. 【详解】A：由，结合余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以，则，故A项正确； B：，由正弦定理得， 即 ， 再结合，可得，即，从而得，故B项错误； C：由，，可得，故C项错误； D：由三角形面积公式可得，故D项正确. 故选：AD. 13．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，可判断A，利用基本不等式来推理可判断B，利用举反例可判断C，利用中线向量来求中线长可求解取值范围来判断D. 【详解】由，结合正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，故A正确； 再由，因为，所以， 又因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，此时，故B正确； 在直角中，，，斜边，故C错误； 由中线平方可得：， 即，利用可得： ，因为， 所以，当且仅当取等号， 因为，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 14．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面四边形中，，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用向量减法的法则和定义法求解数量积可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 15．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 【答案】 【分析】由余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 16．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 即， 因为，所以， 即，所以, 所以， 故答案为： 17．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由余弦定理结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，由余弦定理， 由基本不等式可知：，即， 当且仅当时等号成立. 当时，，满足为锐角三角形，由可知. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一下·海南·阶段练习）在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求A的值； (2)若点D在AC上，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角A； （2）利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出，然后再根据正弦的和差角公式求解，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由三角形内角和定理可知：， 再由，利用正弦定理边化角得： ， 因为，所以有，则； （2） 由，在中，可得， 再由正弦定理得：， ， 所以的面积. 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 【答案】(1)3 (2)1或2 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得，设，再利用列方程即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得：． 所以 则． 因为，所以. （2）由题意，，则， 由余弦定理得，则，解得， 则，设，， 由， 则， 则，解得或2，即或2. 19．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. （2）（i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 20．（24-25高一下·广东云浮·期末）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由化简得，整理化简得，即可求解； （2）因为为的平分线且与交于点，可得，则得，再结合基本不等式得，即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，则. 又，所以， 由，得. （2）因为为的平分线且与交于点， 所以，整理得. 由，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$