第21章一元二次方程第12课一元二次方程单元复习 2025-2026学年人教版九年级上册数学暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第12课时二次函数章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1.一元二次方程的概念 1. 若关于x的方程(a2＋1)x2＋2ax－6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是( C ) A. a≠±1 B. a≠0 C. a 为任何实数 D. 不存在,　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 把方程x2＋2x＝5(x－2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为( D ) A.1，－3，2 B.1，7，－10 C.1，－5，12 D.1，－3，10 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2.根的判别式及根与系数的关系 3.一元二次方程x2＋3x－7＝0的根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是( A ) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 5. 若x1，x2是一元二次方程x2＋2x＝3的两根，则x1x2＝　－3　，x1＋x2＝　－2　. 6. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0. (1)若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围； (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x1＋x2＝－x1x2，求k的值. 解：(1)根据题意，得Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3＞0. 解得k＞. (2)∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1＋x2＝－(2k＋1)，x1x2＝k2＋1. ∵x1＋x2＝－x1x2， ∴－(2k＋1)＝－(k2＋1).解得k1＝0，k2＝2. 又∵k>，∴k的值为2. 知识点3. 一元二次方程的解法 7.解方程：(x－5)2－9＝0. 解：移项，得(x－5)2＝9. ∴x－5＝±3. ∴x1＝8，x2＝2. 8. 解方程：6x2－x－2＝0. 解：∵a＝6，b＝－1，c＝－2， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×6×(－2)＝49>0. ∴x＝. ∴x1＝，x2＝－. 知识点4. 一元二次方程的应用 9. 足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛.设该小组有x支球队，则可列方程为　x(x－1)＝6　 . 10. 如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551 m2.设修建的路宽为x m，则可列方程为　(30－x)(20－x)＝551　.　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.下列方程无实数根的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程因式分解法，属于基础题． 根据一元二次方程的解法因式分解法即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 或， 故选：． 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  二、填空题： 6.关于的方程是一元二次方程，则          ． 【答案】  7.一元二次方程的解是          ． 【答案】，  【解析】解：， 或， 所以，． 故答案为：，． 利用因式分解法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程． 8.已知关于的方程有一个根为，则方程的另一个根为___． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系可设方程另一个根为，由题意及方程根与系数的关系列方程即可解答． 【解答】 解：设方程的另一个根为， 根据韦达定理得， 解得． 故答案为． 9.某大型超市连锁集团元月份销售额为万元，三月份达到了万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为，则根据题意列出方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率问题，解决此类变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是变化后的量，表示平均每次的增长率，为变化的次数． 如果二，三月份平均每月的增长率为，根据“元月份销售额为万元，三月份达到万元”，可得答案． 【解答】 解：设二，三月份平均每月的增长率为， 已知“元月份销售额为万元，三月份达到万元”， 根据题意可得出：． 故答案为：． 10.已知，是关于的方程的两个实数根，则           ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝1，  (2)x1＝1，  (3)x1＝4，x2＝－2  (4)y1＝1，  12.已知、是关于的方程的两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若，且、、都是整数，求的值． 【答案】(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＝（-2k）2-4×1×（k2-k＋1）＝4k2-4k2＋4k-4＝4k-4＞0，解得k＞1　  (2)∵1＜k＜5，∴整数k的值为2或3或4．当k＝2时，方程为x2-4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，符合题意．当k＝3时，方程为x2-6x＋7＝0，解得或，不符合题意，舍去．当k＝4时，方程为x2-8x＋13＝0，解得或，不符合题意，舍去．综上所述，k的值为2  13.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)解：，，，， 方程总有两个不相等的实数根；   (2)由题意，得解得 ，，.   14.在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地．要使耕地面积为，道路的宽应为多少？ 【答案】解：设道路的宽为，根据题意可列方程，解得另一根不符合题意，舍去  答：道路宽为．  15.中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用元购买笔，元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多元，且购买笔的数量是圆规的倍． 求商家购买笔和圆规的进价； 商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个元时，平均每天可卖出个圆规据统计，圆规的售价每降低元平均每天可多卖出个，且降价幅度不超过在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】解：设商家购买笔的进价是元支，圆规的进价是元个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元个． 答：商家购买笔的进价是元支，圆规的进价是元个； 设每个圆规的售价为元，则每个圆规的销售利润为元，平均每天可卖出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每个圆规的售价为元．  【解析】设商家购买笔的进价是元支，圆规的进价是元个，利用数量总价单价，结合元购买笔的数量是用元购买圆规数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出商家购买笔的进价，再将其代入中，即可求出商家购买圆规的进价； 设每个圆规的售价为元，则每个圆规的销售利润为元，平均每天可卖出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第12课时二次函数章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1.一元二次方程的概念 1. 若关于x的方程(a2＋1)x2＋2ax－6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a≠±1 B. a≠0 C. a 为任何实数 D. 不存在,　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 把方程x2＋2x＝5(x－2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为( ) A.1，－3，2 B.1，7，－10 C.1，－5，12 D.1，－3，10 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2.根的判别式及根与系数的关系 3.一元二次方程x2＋3x－7＝0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是( ) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 5. 若x1，x2是一元二次方程x2＋2x＝3的两根，则x1x2＝　 　，x1＋x2＝　 　. 6. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0. (1)若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围； (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x1＋x2＝－x1x2，求k的值. 知识点3. 一元二次方程的解法 7.解方程：(x－5)2－9＝0. 8. 解方程：6x2－x－2＝0. 知识点4. 一元二次方程的应用 9. 足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛.设该小组有x支球队，则可列方程为　　　　　　　　　　　　 . 10. 如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551 m2.设修建的路宽为x m，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　.　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列方程无实数根的是(    ) A. B. C. D. 3.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.关于的方程是一元二次方程，则          ． 7.一元二次方程的解是          ． 8.已知关于的方程有一个根为，则方程的另一个根为___． 9.某大型超市连锁集团元月份销售额为万元，三月份达到了万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为，则根据题意列出方程是          ． 10.已知，是关于的方程的两个实数根，则           ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 12.已知、是关于的方程的两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若，且、、都是整数，求的值． 13.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．   14.在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地．要使耕地面积为，道路的宽应为多少？ 15.中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用元购买笔，元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多元，且购买笔的数量是圆规的倍． 求商家购买笔和圆规的进价； 商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个元时，平均每天可卖出个圆规据统计，圆规的售价每降低元平均每天可多卖出个，且降价幅度不超过在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为元，则每个圆规的售价为多少元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$