第十三章三角形 暑期提升训练题2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 暑期提升训练题 一、单选题 1．以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形的面积是60，若三角形的底是10 m，该底上的高是x m，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 7．某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 8．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 9．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 10．如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）个 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 11．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 12．将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 13．如图，在中，过点A作于点H，，，点D是边上靠近点C的三等分点，连接，在上取中点F，连接并延长交于点E，取中点G，连接，则△的面积为 ． 14．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 15．如图，在中，，，垂足为，若的面积是，，那么斜边上的中线长是 ． 三、解答题 16．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 18．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 19．如图，，，， (1)求证． (2)若，，求的度数． 20．【尝试应用】 （1）如图1，在四边形中，，点是线段上一点，，，求的度数： 【拓展提高】 （2）如图2，在四边形中，，点是线段上一点．若平分， ． ①试求出的度数； ②已知，，点是直线上的一个动点，连接并延长． Ⅰ．若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，______； Ⅱ．如图3，若是的平分线与的延长线交于点，与交于点，且，则______（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 暑期提升训练题2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B D A A A A 1．D 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中较短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确得到方程是解题的关键． 根据三角形面积公式直接列方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是的边上的高，故符合题意； C．是的边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 5．B 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、中线的定义，熟练掌握这些线段的定义是解题的关键．依据三角形的高、角平分线、中线的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：选项A： ∵ 是边上的高，只有当时，，题中未提及， ∴ 与不一定相等，A选项错误． 选项B： ∵ 是的角平分线，根据角平分线定义，角平分线将一个角分成两个相等的角， ∴ ，B选项正确． 选项C： ∵ 是边上的中线，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，与角的平分无关， ∴ 与不一定相等，C选项错误． 选项D： ∵ 是角平分线分出的角，是高与边形成的角，无必然相等关系（除非满足特殊条件，题中未给出 ）， ∴ 与不一定相等，D选项错误． 故选： ． 6．D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 【详解】解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 7．A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查直角三角形的性质的应用，根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 10．A 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵平分 ， 设， ， ， ， ，， ∴， ，, ，即， ， ，故①正确； ∵平分， ∴，故②正确； ∵， ∴，即故③正确； ，， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选A． 11． 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长为，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为，底为，，不能构成三角形； 当腰长为，底为，周长． 故答案为：． 12．/75度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得的度数，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，由题意知， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了三角形的面积，中线等分面积，熟练掌握共高三角形面积比等于底之比是解题的关键． 连接，由三角形中线等分面积，设，，由点D是边上靠近点C的三等分点，得到，则，,那么，解得，，再求出的面积即可． 【详解】解：连接， ∵点为中点， ∴，， 设，， ∵点D是边上靠近点C的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∴， 解得：， ∴， ∵于点H，，， ∴， ∴ ∵中点G， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 15．4 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，解题关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 由三角形面积公式求出，由直角三角形斜边中线的性质得到斜边上的中线长是即可． 【详解】解：∵，的面积是， ∴ ∵， ∴， ∵ 在中 斜边上的中线长是， 故答案为∶4． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握平行线的性质和三线八角是解题的关键． （1）根据同位角相等得到，从而利用两直线平行同位角相等得到，继而等量代换证明，即可利用内错角相等两直线平行得到； （2）利用三角形的外角的性质先求出，再利用平行线的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∠， ∴． 17．，证明见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【详解】解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）先证明，可得，再证明，可得，可得，结合垂直的定义可得答案． （2）根据题意得出，再由三角形内角和定理及邻补角求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2） 在三角形中， 由邻补角定义得：． 20．（1）；（2）①；②Ⅰ．或或；Ⅱ． 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确作出辅助线，分情况讨论进行求解解题关键． （1）过点作，交于，可知，再结合两直线平行内错角相等可得，进而可求得的度数； （2）①由，可知，再由平分，可得，再由，可得结论； ②Ⅰ．根据三角形内角和，求得，由得到，进而可得，再分和所在直线垂直、和所在直线垂直于、和所在直线垂直三种情况计算求值即可； Ⅱ． 利用三角形外角的性质求得，进而可得，再由计算角度差即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作，交于， ，， ， ∴，， ∴， ，， ； （2）解：①，， 平分，， 又，， ； ②Ⅰ．，， ， ， ， ， 恰好平分， ， 如图，当或时，； 如图，当时， ， ； 如图，当时， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或； Ⅱ．是的平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$