24.2.2 直线和圆的位置关系 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 切线长定理 人教版九年级上册 课时引入 问题1 前面，我们学习了过圆上一点画已知圆的切线， 如果点P是圆外一点，又怎样画该圆的切线呢？ O P 课时引入 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 请欣赏小颖同学的作法！（思考她作法的依据） O P 直径所对的圆周角是直角 感悟新知 切线长的定义: P 经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长叫做切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，是可以度量． 切线长与切线的区别： 感悟新知 O P A B 问题3 切线长PA、PB有何关系？ 问题4 ∠APO和∠BPO有何关系？ 相等 相等 感悟新知 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. O P A B 感悟新知 拓展：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. O P A B C D 例题讲解 例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是AB 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为______， ∠DOE的度数为______． ⌒ 6 60° 跟踪练习 B P O A 1、PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3. （1）若OP=5，则切线长PA= ； （2）若∠BPA=60°，则OP= . 4 6 归纳发现 切线长问题辅助线添加方法： （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； O P A B C D 感悟新知 问题5 右图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 当圆与三角形三边都相切时，截下圆的面积最大. 感悟新知 问题6 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. A B C 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. ⊙O就是所求的圆. O D 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. 归纳发现 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.三角形内切圆的圆心叫做 三角形的内心. ①三角形的内心就是三角形 的三个内角角平分线的交点. ②三角形的内心到三角形的三边的距离相等. A B C O 归纳发现 名称 确定方法 图形 性质 外心 内心 三边 中垂线 的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部． 三条 角平分线 的交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分三个内角； 3.内心在三角形内部． 比一比:三角形的外心和内心 A B C O A B O C 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心 例题讲解 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得 （13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 解： A B C O D E F 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件. 例题讲解 例3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°， 则∠BOC的度数为(　　) A．130° B．100° C．50° D．65° A 解：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ ×(180°－80°)＝50°， ∴∠BOC＝180°－50°＝130°. 跟踪练习 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= ，PB= . B P O A 跟踪练习 2.如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC 的内心，求∠BOC的度数 . A B C O 跟踪练习 3.如图，△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点， 已知AF=3，BD+CE=12，则△ABC的周长是 . A B C F E D O 跟踪练习 4.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l， 求△ABC的面积. A C B E D F O r 典中点、基础训练 布置作业 $$