24.2.2 直线和圆的位置关系 切线的判定与性质 （课件）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 切线的判定与性质 人教版九年级上册 生命之中最快乐的是拼搏，而非成功，生命之中最痛苦的是懒散，而非失败。 课时引入 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 圆心到直线距离 d>r d=r d<r 课时引入 思考1：在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA，则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l 和⊙O有什么位置关系？ O A l 圆心O到直线 l 的距离是⊙O的半径 直线 l 是⊙O的切线 感悟新知 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言 注意事项: 1.切线与圆只有一个公共点 2.“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可 思考2：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 感悟新知 跟踪练习 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 例题讲解 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵OA＝OB，CA＝CB ∴OC是等腰△OAB底边上的中线.　 ∴ OC⊥AB. ∵ OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. 例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 例题讲解 分析：由于AB与⊙O有没有公共点还不确定，所以过点O，作OC ⊥ AB ，只要证明OC是半径，那么AB就是切线. 例2：已知：如图OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：过点O，作OC⊥AB ，垂足为C. ∵OA＝OB ∴OC是等腰△OAB底边上的中线.　 ∴ AC=CB= =4 在Rt△ACO中， OA=5，AC＝4 ∴OC=3 ∴OC是⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线 归纳发现 例2思路：作OC⊥AB ，证明OC是半径 例1思路：连接OC，证明AB⊥OC 跟踪练习 变式1：如图，线段AB是⊙O的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 跟踪练习 变式2：如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线． 感悟新知 活动1：探索切线的性质 问题1：如图,如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ 问题2：你怎么证明这个结论？ l O A 圆的切线垂直于经过切点的半径． 圆的切线的性质定理: 几何语言: ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA 或 OA⊥直线l . 感悟新知 证明：假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M, 则OM < OA=r(垂线段最短) ∴圆心到直线l的距离OM小于⊙O的半径OA ∴l与⊙O相交. 这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. ∴AB⊥l垂直. 切线性质定理的证明（反证法）： 例题讲解 例3：如图，AB是⊙O的直径，直线l1,l2是⊙O的切线，A，B是切点。l1,l2有怎样的位置关系？证明你的结论。 l1 l2 A O B 归纳发现 切线的三条性质及辅助线的作法： 1.三条性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于圆的半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 2.辅助线的作法： 连切点、圆心，得垂直关系. 课堂练习 课堂练习 4.如图，点D在⊙O 的直径AB的延长线上，点C在⊙O 上， AC=CD,∠D=30。 求证：CD 是⊙O 的切线 O A B C D 课堂练习 5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P,PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. 课堂练习 4.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由. A B E D C O F 典中点、基础训练 布置作业 $$