专题08 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题08 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【变式1-1】等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【变式1-2】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 3．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．（2025·河南焦作·模拟预测）在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点为点（点在下方）连接．当与重叠的部分为等腰三角形时， ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为 ． 11．（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 12．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s． 三、解答题 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 15．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等腰，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为7两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长分别为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为， 故答案为：． 【变式1-1】等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查了等腰三角形周长．熟练掌握等腰三角形定义，三角形三边关系，三角形周长，分类讨论，是解题的关键． 当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形不存在；当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形存在，即 得周长． 【详解】解：当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形不存在， 当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形存在， ∴周长为（）． 故答案为：． 【变式1-2】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 分类讨论，根据勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ， 设，则， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ； 当时， ∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ， ∵，， ， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时， 过点作交于点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ∴； 综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得：或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ①当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：①当时，则底边为，此时符合题意；②当时，，此时符合题意，从而可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义． 先解方程组求出和的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论可能的边长组合，验证是否满足三角形三边关系，最后计算周长即可． 【详解】解：解方程组得：， 因此，等腰三角形的两边长为2和1． 若腰长为2，底边为1，则三边为2、2、1． 验证三角形三边关系：，，均成立．此时周长为． 若腰长为1，底边为2，则三边为1、1、2． 验证三角形三边关系：，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上所述，周长为5， 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，理解相关知识是解答关键． 根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，确定第三边的可能值并验证是否满足条件． 【详解】解：A．若第三条边长为2，则三边为2、2、4，此时两边之和，等于第三边4，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； B．若第三条边的长是3，则，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； C．若第三条边的长为4，则三边为4、4、2，此时：，，故此项符合题意，此项正确； D．若第三条边的长为2或4，则三边为4、4、2或2、2、4，当三边长为2、2、4时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】如图所示，中，． 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． 这样的直线最多可画4条． 故选：B． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，度的角所对的直角边是斜边的一半．根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是， ∴ 是边长的等边三角形 当时 ，即得， 当时 ，即得 故当或时，是直角三角形． 故选：B． 二、填空题 7．（2025·河南焦作·模拟预测）在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，分类讨论，即分为当在线段上时和当在线段延长线上时，两种情况，逐一解答即可，正确画出图形，寻找图中全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，当在线段上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 如图，当在线段延长线上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， , 根据对称可得， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点为点（点在下方）连接．当与重叠的部分为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，三角形外角性质，等边对等角，分当时，当时，当时三种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， ∵，， ∴， 由折叠性质可知，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，设交于点，当时， 由折叠性质可知，， 设， ∵， ∴， 由上得， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图，设交于点，当时， 由折叠性质可知，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或或． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为 ． 【答案】5或3 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．分两种情况讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在线段上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当点D在线段延长线上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 综上分析可知：的长为5或3． 故答案为：5或3． 11．（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义， 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，再根据直角三角形的性质得，然后根据题意可知，进而求出，则答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵与互为“完美关联角”， ∴， 即或， 解得或． 在中，或． 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s． 【答案】或19或 【分析】根据勾股定理，得到，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时构成等腰三角形，根据题意，得， 故， 解得； 当时，点P在上运动，此时不存在， 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 若，则构成等腰三角形，符合题意， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∴, 解得； 若，则构成等腰三角形，符合题意， 根据题意，运动总路程长为，此时， 取的中点D，连接，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得； 故当或或时，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或19或． 三、解答题 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由此即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，根据角度间的关系求出结果即可； （3）先根据周角的定义和等边三角形的性质求出，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用等边对等角和三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“角差三角形”的定义即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“角差三角形”，分三种情况，或，，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”； 故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 15．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$