专题09 巧构等腰三角形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题09 巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式1-1】如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【变式1-2】（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【变式2-1】综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【变式2-2】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例3．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例4．【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由． 【变式4-1】问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 一、解答题 1．如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 2．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 3．阅读下列材料回答下列问题： 知二推一模型 在几何图形中，有三种图形往往同时出现在同一图形中，哪三种图形呢？就是平行线、角平分线、等腰三角形，三者关系十分密切，几乎形影不离．在解决问题的过程中平行线、角平分线、等腰三角形这三个条件中只要已知其中任意两个，就能推导出第三个． 例如第一种情况，已知：如图1，，是的平分线，求证：是等腰三角形． 证明： ． 是的平分线 ． 是等腰三角形（依据） 第二种情况：……第三种情况：…… 在解决问题的过程中，我们也可以通过添加辅助线的方法构造知二推一模型来解决问题． (1)以上证明过程中，依据是： ； (2)请你参照上面的第一种情况的证明过程，从其余两种情况中选择一种画出图形，写出已知、求证，并进行证明； (3)根据阅读材料解决下列问题：如图2，在中，是的角平分线，点是边上的一点，连接．若，，，则的长为 ． 4．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 5．数学课上，李老师出示了如框图中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____填“”，“”或“”)． (2)特例启发，解答题目： ①如图，与的大小关系是：____填“”，“”或“． ②解：如图，过点作，交于点请你接着完成图3解答过程 (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为，，则的长为_______请你直接写出结果． 6．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 7．综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．试判断和的关系，并说明理由． 问题解决： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，是线段上一点（不与点，重合），连接，为探究，与之间的数量关系，小颖过点作交于点．请你根据她的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 特例研究： （3）在（2）的基础上，如图3，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 8．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 9．【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】 （2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】 （3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 10．【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式1-1】如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 【变式1-2】（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 【变式2-1】综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 【变式2-2】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例3．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例4．【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由． 【答案】【问题解决】，证明见解析；【方法迁移】，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】问题解决：在线段上截取，连接，由角平分线定义和全等三角形的判定证明，进而证得，结合三角形外角性质可证得，进而证得即可解答； 方法迁移：在的延长线上截取，连接，证明，进而证得，结合等角的补角相等和三角形外角性质可证得，进而证得即可解答． 【详解】解：问题解决：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 方法迁移：． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵为的外角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【变式4-1】问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 一、解答题 1．如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 2．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 3．阅读下列材料回答下列问题： 知二推一模型 在几何图形中，有三种图形往往同时出现在同一图形中，哪三种图形呢？就是平行线、角平分线、等腰三角形，三者关系十分密切，几乎形影不离．在解决问题的过程中平行线、角平分线、等腰三角形这三个条件中只要已知其中任意两个，就能推导出第三个． 例如第一种情况，已知：如图1，，是的平分线，求证：是等腰三角形． 证明： ． 是的平分线 ． 是等腰三角形（依据） 第二种情况：……第三种情况：…… 在解决问题的过程中，我们也可以通过添加辅助线的方法构造知二推一模型来解决问题． (1)以上证明过程中，依据是： ； (2)请你参照上面的第一种情况的证明过程，从其余两种情况中选择一种画出图形，写出已知、求证，并进行证明； (3)根据阅读材料解决下列问题：如图2，在中，是的角平分线，点是边上的一点，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】(1)两底角相等，则两腰相等 (2)选第二种情况，见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． （3）过点作交于点，证明三角形是直角三角形，即可推出结果． 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：． ． 依据是两底角相等，则两腰相等； 故答案为：两底角相等，则两腰相等； （2）第二种情况：已知：如题干图，△是等腰三角形，是 的平分线， 求证：． 证明：△是等腰三角形， ． 是的平分线， ． ． ． 第三种情况：已知：如题干图，△ 是等腰三角形，． 求证：是 的平分线． 证明：， ． △是等腰三角形． ． ， 是 的平分线． （3）如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ， ， ， 故答案为：． 4．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．数学课上，李老师出示了如框图中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____填“”，“”或“”)． (2)特例启发，解答题目： ①如图，与的大小关系是：____填“”，“”或“． ②解：如图，过点作，交于点请你接着完成图3解答过程 (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为，，则的长为_______请你直接写出结果． 【答案】(1)=； (2) =；②见解析； (3)或． 【分析】（1）根据点为的中点时，根据等腰三角形的判定证明即可； （2）根据题目给出的辅助线证明即可得出结论； （3）分类讨论，画出不同的图形，根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：=； 是等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴,， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=． （2）解：①=， ②证明：∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图所示，点D在上， 由（2）可知，， ∵的边长为， ∴； 如图所示，点D在延长线上， 同（2）方法可得，可知，， ∵的边长为， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当构建全等三角形，利用全等三角形的性质证明． 6．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形； （2）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 7．综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．试判断和的关系，并说明理由． 问题解决： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，是线段上一点（不与点，重合），连接，为探究，与之间的数量关系，小颖过点作交于点．请你根据她的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 特例研究： （3）在（2）的基础上，如图3，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，再由角平分线定义得到，等量代换即可得到答案； （2）由，得到，由平行线性质，数形结合即可得到，与之间的数量关系； （3）由三角形全等的判定与性质求解即可得到与的位置关系． 【详解】解：（1）， 理由如下： 在四边形中，，则， 平分， ， ； （2）， 理由如下： ，， ， ,， ， ； （3）， 理由如下： 由（1）知，，则， 平分， ， 在和， , ，则． 【点睛】本题考查由平行线的判定与性质确定角度之间的关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记平行线的性质，灵活运用相关几何性质，数形结合表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 8．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）（3）（4）见解析 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 9．【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】 （2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】 （3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是关键． （1）先证得，得到，进而求出的长度，即可求解； （2）证明，则，根据三角形的外角性质和等角对等边可证得，从而求证； （3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可得到，进而代数即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 平分， ． ， ． 又， ． ． ， ∵，， ∴， ∴ （2）证明：是的角平分线， ． ， ． ． ， ， ， ． （3）解：在上找一点，使得． 是等边三角形，， ． ， ． ． 平分， ． ， 是等边三角形． ， ， ∵， ∴， ∴ 10．【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 【答案】阅读理解：，，，方法运用：（1）．（2）见解析，拓展提升：7． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质与判定等等： 阅读理解：根据已给推理过程，结合线段之间的关系证明即可； 方法运用：（1）根据阅读理解的结论求解即可； （2）延长到点G，使，连接．证明，得到． 连接，再证明，得到，由，即可证明； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，则． 【详解】阅读理解：证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 方法运用：（1）延长至点E，使，连接， 由阅读理解可知， ∴， ∴； （2）证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G， ∵在中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$