专题08 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题08 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例1．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【变式1-1】如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 【变式1-2】如图，在中，，点P为边的中点，于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式1-3】【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 例2．如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【变式2-1】（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 【变式2-2】如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【变式2-3】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 一、单选题 1．如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 3．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 4．如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ． 5．如图，在中，，，，，则 ． 6．如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 三、解答题 7．如图，在中，，点在的外部，．求证． 8．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 10．（1）如图，在中，，在线段上方作等腰直角三角形，，，过点作于，请直接写出线段、的数量关系为__________； （2）如图，在中，，在线段上方作等腰直角三角形，，；在线段的下方作等腰直角三角形，，，过点作于G，探究线段、、的数量关系，并说明理由． 11．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 12．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例1．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 【变式1-1】如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理： （1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，点P为边的中点，于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可； （2）连接，根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：连接，则， 由（1）知，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1-3】【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 【答案】【探究1】；【探究2】；【探究3】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， [探究1]根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； [探究2]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； [探究3]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：[探究1]∵， ∴， ∴， ∵是中线，则是的角平分线 ∴， 故答案为：． [探究2]，，、分别为和的中线， ，， ， ； 故答案为：． [探究3]∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 例2．如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于，   ， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，由题意得和，利用等角对等边可得，利用三线合一的性质得，结合含角的直角三角形性质得，可证明，即可证得结论； （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，根据题意得，利用等腰三角形两腰上的高相等得，结合含角的直角三角形性质得，由题意得，即可求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ． （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，如图， 平分，， ，， ， ， 即是等腰三角形， 作，则（等腰三角形两腰上的高相等）， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系． 【变式2-2】如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明； （2）过作于点，易证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式2-3】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，结合图形得出四边形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴四边形的面积， ∵的长为8， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 3．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 二、填空题 4．如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：中，， 是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 【详解】解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 三、解答题 7．如图，在中，，点在的外部，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，，，再证明，即可得到结论，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，过作于，而， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)当点在的中点时，；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当点在的中点时，，根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线的性质即可得到结论； （2）由题意得，进而得出，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在的中点时，，理由如下， 如图，连接， 是的中点， 平分， ，， ； （2）解：是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（1）如图，在中，，在线段上方作等腰直角三角形，，，过点作于，请直接写出线段、的数量关系为__________； （2）如图，在中，，在线段上方作等腰直角三角形，，；在线段的下方作等腰直角三角形，，，过点作于G，探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（），理由见解析． 【分析】（）过作于点，由同角的余角相等得，证明，则，然后由等腰三角形的性质得，从而求解； （）过作于点，分别证明，，然后根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由， 如图，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论； （2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可； （3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ； （2）如图，过作于， ， ． 等边的边长为6， ， ， ， ， ， ． ． ； （3）证明：如图2，过作交于点． ， 又， 是等边三角形． ， ， ， 又， ， ． 由（1）得，， 又． ． ． ， ； （4）（3）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，过作交的延长线于，则， ， 是等边三角形． ，． ， ， ， ∴， ， ∴， ． 又，， ， ． ． ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键． 12．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$