专题10 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题10 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则其腰长是 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．等腰三角形中有一个角等于，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【变式3-1】如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形， ． 【变式3-3】已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（  ） A． B． C．或 D．或 2．等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 4．已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 5．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 6．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（    ） A． B． C．或 D．或 7．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 9．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 10．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 11．已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 12．如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ． 13．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 14．在中，，，，为射线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ． 三、解答题 15．如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 16．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 【答案】14 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论是解题关键．分当腰长为6和当腰长为2两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为6时，周长； ②当腰长为2时，三角形三边分别为6，2，2，不能组成三角形； 故答案为：14． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则其腰长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形性质，构成三角形三边关系．根据题意分两种情况讨论，再利用三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为18，一边长为4， ∴当腰长为4时，即底边长为10， ∵，无法构成三角形，故舍去， ∴当4为底边时，腰长为， 故答案为：7． 【变式1-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．等腰三角形中有一个角等于，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：：①是底角，则顶角为：； ②为顶角，则底角为：； ∴顶角的度数为或． 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式3-1】如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形， ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理．熟练掌握等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 等腰三角形两腰相等，所以需要分三种情况讨论：，，．同时，因为已知三角形三边长度，可先判断的形状，为后续计算提供便利． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，． 情况一：当时， ， 在中，，， ， 当点在线段上时，（不合题意，舍去）， 当点在的延长线上时，， 此时秒； 情况二：当时， ，此时秒； 情况三：当时， 设，则， 在中， ， 即：， 解得：， ，此时秒． 故答案为：或或． 【变式3-3】已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】或或 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时；    ②当时：如图，    则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图：    此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得：或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ①当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：①当时，则底边为，此时符合题意；②当时，，此时符合题意，从而可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．解题时，注意分类讨论． 先确定一个内角为，根据的角是顶角和底角分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其邻补角为， 即等腰三角形有一个内角为， 当为顶角时，则， 当为底角时，符合题意， ∴它的底角度数为或， 故选：D． 2．等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当为顶角时：底角度数为 ； 当为底角时：另一底角也为，顶角为 ， 综上，底角可能为或， 故选：C． 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分两种情况讨论：当为腰长或底边长，分别计算另一边的长度并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时： 另一腰长也为，底边长为周长减去两腰之和，即： 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 当为底边长时： 两腰之和为周长减去底边，即： 每边腰长为：， 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 综上，腰长可能为或，对应选项C； 故选：C 4．已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 5．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 6．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：为顶角或为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值． 【详解】解：当为顶角时， ∵等腰中，， ∴底角， ∴特征值； 当为底角时， ∵等腰中，， ∴顶角为：， ∴特征值． ∴它的特征值等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 7．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论：如图所示，，，延长，交于点；如图所示，，，延长，交于点；根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是“等对角四边形”， ①如图所示，，，延长，交于点，    ∵，， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，即， ∴； ②如图所示，，，延长，交于点，    ∵，， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴； 综上所述，边的长是或， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角的三角形的性质的综合，掌握构造直角三角形，含角的直角的三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 8．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 9．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键． 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况： 当腰和腰的一半的和为6时，则， 解得， 此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去； 当腰和腰的一半的和为12时，则， 解得， 此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形； 所以三角形的底边长是2； 故答案为：2． 10．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 11．已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】解：，是边上的中线， 平分，（等腰三角形三线合一）． ， ，． 情况一：当时 ，， ． ， ． 情况二：当时 ，， ，则． ，此时，不符合，舍去． 情况三：当时 ，， ． ， ． 综上，的度数是或． 故答案为：或 ． 12．如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时中最大内角是， 综上所述：当是等腰三角形时，中最大内角的度数是或或． 故答案为：或或． 13．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 【答案】2或4或8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 14．在中，，，，为射线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ． 【答案】或 或 或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 分是等腰三角形、是等腰三角形且为底、是等腰三角形且为腰时三种情况讨论，利用等腰三角形的性质或勾股定理求解即可． 【详解】解：在中， ， 当是等腰三角形时， 此时 所以； 当是等腰三角形，且时， 且， 所以； 当时， ， ∴； 当是等腰三角形，且为底时， 则， 又， 所以 在中， 解得， 所以， 则； 综上所述：此等腰三角形的面积为或 或 或， 故答案为： 或 或 或． 三、解答题 15．如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】对于（1），根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； 对于（2），根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； 对于（3），根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（4），先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）； 当时，， ∴． 所以的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． 16．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，大； (2),理由见详解 (3)存在，或时 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【详解】（1）解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； （3）解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$