专题06 全等三角形中的动点问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题06 全等三角形中的动点问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形全等中动点多结论问题 类型二、利用三角形全等求解动点边、角问题 类型三、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 类型四、利用三角形全等求证线段之间的关系问题 类型五、利用三角形全等求证角之间的关系问题 压轴专练 类型一、三角形全等中动点多结论问题 1. 紧扣全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），分析动点运动过程中线段、角度的变化，找出始终满足判定条件的对应边与角，判断全等关系是否成立。 2. 结合动点的运动路径、速度和时间，利用函数或方程思想，用含参数的式子表示边长、角度等，再根据全等性质（对应边、角相等）建立等式，进而判断多个结论的正确性 。 例1．题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点在线段上运动时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 点在线段的延长线上时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上可知：点在运动过程中，和一直相等， 故选：． 【变式1-1】已知，，， 其中， 点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒． ①若，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时， ； ③若，，时，； ④若与全等， 则或 ； 以上说法正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题 【分析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等、动点问题，分类求解是解题的关键． ①若，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明．即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，，故②不正确，不符合题意； ③若，，时，如图， 此时，， ， ， 若， 则，， 而， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，， 则，， 则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得继而得出的度数，即可判断①；推出根据证明即可，即可判断②；证明， 得 ，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④；证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ， ， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故结论③错误； 又∵， ∴，即， 故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选： B． 【变式1-3】如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先利用证明，可得，，可判断①；再利用证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，可判断②；利用全等三角形的性质可得，，可判断③；由得到，再利用三角形的面积公式可判断④，即可得出结论． 【详解】解：为中线， ， ，， ， 又， ， ，故①正确；， 又， ， ， ， 由于与不一定相等，故②不正确； 由全等三角形的性质可得：，， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，结论中正确的有①③④，共3个． 故选：C． 类型二、利用三角形全等求解动点边、角问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，寻找不变量和对应关系，确定全等三角形，再通过全等性质（对应边相等、对应角相等）转化边与角； 2. 结合动点运动速度、时间与路径，用含参数的代数式表示相关线段长度或角度，利用全等建立等式，求解参数进而确定边、角大小，同时注意运动过程中的多种情况分类讨论。 例2．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出． 先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， 如图所示，过作于，则， ∵， ， ， ， ， ∴当时，， 即点与点重合，此时， ∴线段的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【变式2-2】如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 【变式2-3】如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 类型三、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 1. 根据全等三角形对应边、对应角的不同组合情况分类，由于动点位置变化，对应关系存在多种可能，需逐一分析不同对应方式下能否满足全等判定条件（SSS、SAS等）。 2. 结合动点的运动轨迹和范围，考虑运动过程中图形的不同形态，如点在线段上、延长线等不同位置，通过建立方程或不等式求解参数，进而确定符合全等条件的动点位置。 例3．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 【变式3-1】如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 【变式3-2】如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 【变式3-3】如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 类型四、利用三角形全等求证线段之间的关系问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，捕捉不变的边角条件，确定全等三角形，再根据全等三角形对应边相等的性质，直接建立线段等量关系； 2. 结合动点运动路径、速度及时间，用代数式表示相关线段，通过全等三角形对应边关系列出等式，经化简、变形推导线段的和、差、倍、分等数量关系，并注意不同运动状态下的分类讨论。 例4．如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过“”证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）分两种情况：当点D是的延长线上的一点时，或当点D是线段上的一点时，由，则，由线段的和差即可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当点D是的延长线上的一点时， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D是线段上的一点时， 如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）理由：如图2，作交的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图3，点D在的延长线上，作交的延长线于点F，则，根据全等三角形 的判定和性质定理得到，得到，求得，设，则，得到，如图4，点D在线段上，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：， 理由：如图2，作交的延长线于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）解：当点D在的延长线上时，作交的延长线于点F，如图3， 则， ∴ 又∵，即 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ， ∴， ∴ 的值为； 当点D在线段上时，如图4， 由（1）知：， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【变式4-2】已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： (1)如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： (2)①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 【答案】(1)（或） (2)①；证明见解析②；图形见解析 【分析】（1）先证明得到，再利用中点的定义与等量代换即可求解； （2）①先证明得到，再利用线段之间的和差关系即可求解； ②可以同理利用全等三角形的判定与性质得出线段之间的数量关系，并根据图形观察直接写出即可． 【详解】（1）解：（或），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴, ∴（或）． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ②，如图所示： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用“”证明两个三角形全等以及全等三角形的性质、余角的定义、垂直的定义、平行线的性质等知识，解题关键是发现图中的全等三角形，本题难度中等，运用了转化的思想方法． 类型五、利用三角形全等求证角之间的关系问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，分析不变的边角条件，确定全等三角形，再利用全等三角形对应角相等的性质，直接建立角的等量关系。 2. 结合动点运动规律，通过全等三角形对应角关系进行角的转换，再利用三角形内角和定理、外角性质等，推导角的和、差、倍、分等数量关系，完成角之间关系的证明。 例5．在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． （1）先证，再证明，可得，即可解题； （2）①先证，再证明，可得，根据即可解题；②先证，再证明，可得，根据，即可解题； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)不变， 【分析】（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， ， ， ； （2）解：不变． 在等边三角形中，， ，又由条件得，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键． 【变式5-2】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 3．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 二、填空题 4．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 5．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或秒． 三、解答题 7．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点,同①得,, ,,, , , ,即, , , , , ; 综上所述的长为或． 8．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时，    过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； （3）解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 9．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 10．如图1，是等腰直角三角形，，，．点是边上任意一点，连接并延长，点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，作等腰直角三角形，使得，，，．连接交射线于点． (1)如图1，求证：． (2)①若，则的度数为______． ②判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，若，在点的运动过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用即可进行证明； （2）①根据全等三角形的性质得，由，得 ，即可求解； ②根据，即可得出结论； （3）如图3，当时，当时，点与点重合，当时，，根据平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①， ， ，， ， ； ②， 理由如下： ，， ， ； （3）解：如图3，当时， ， ， ，， ， ， ， ； 如图4， 当时，点与点重合， ； 如图5， 当时，， ， ， ， ， 综上所述，当所在直线与的边所在直线垂直时，的度数为或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容，正确进行分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形中的动点问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形全等中动点多结论问题 类型二、利用三角形全等求解动点边、角问题 类型三、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 类型四、利用三角形全等求证线段之间的关系问题 类型五、利用三角形全等求证角之间的关系问题 压轴专练 类型一、三角形全等中动点多结论问题 1. 紧扣全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），分析动点运动过程中线段、角度的变化，找出始终满足判定条件的对应边与角，判断全等关系是否成立。 2. 结合动点的运动路径、速度和时间，利用函数或方程思想，用含参数的式子表示边长、角度等，再根据全等性质（对应边、角相等）建立等式，进而判断多个结论的正确性 。 例1．题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【变式1-1】已知，，， 其中， 点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒． ①若，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时， ； ③若，，时，； ④若与全等， 则或 ； 以上说法正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【变式1-3】如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二、利用三角形全等求解动点边、角问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，寻找不变量和对应关系，确定全等三角形，再通过全等性质（对应边相等、对应角相等）转化边与角； 2. 结合动点运动速度、时间与路径，用含参数的代数式表示相关线段长度或角度，利用全等建立等式，求解参数进而确定边、角大小，同时注意运动过程中的多种情况分类讨论。 例2．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【变式2-1】如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． 【变式2-2】如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【变式2-3】如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 类型三、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 1. 根据全等三角形对应边、对应角的不同组合情况分类，由于动点位置变化，对应关系存在多种可能，需逐一分析不同对应方式下能否满足全等判定条件（SSS、SAS等）。 2. 结合动点的运动轨迹和范围，考虑运动过程中图形的不同形态，如点在线段上、延长线等不同位置，通过建立方程或不等式求解参数，进而确定符合全等条件的动点位置。 例3．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【变式3-1】如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【变式3-2】如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【变式3-3】如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 类型四、利用三角形全等求证线段之间的关系问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，捕捉不变的边角条件，确定全等三角形，再根据全等三角形对应边相等的性质，直接建立线段等量关系； 2. 结合动点运动路径、速度及时间，用代数式表示相关线段，通过全等三角形对应边关系列出等式，经化简、变形推导线段的和、差、倍、分等数量关系，并注意不同运动状态下的分类讨论。 例4．如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【变式4-1】已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【变式4-2】已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： (1)如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： (2)①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 类型五、利用三角形全等求证角之间的关系问题 1. 依据全等三角形判定定理（SSS、SAS等），在动点运动过程中，分析不变的边角条件，确定全等三角形，再利用全等三角形对应角相等的性质，直接建立角的等量关系。 2. 结合动点运动规律，通过全等三角形对应角关系进行角的转换，再利用三角形内角和定理、外角性质等，推导角的和、差、倍、分等数量关系，完成角之间关系的证明。 例5．在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【变式5-1】点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【变式5-2】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 一、单选题 1．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 3．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 二、填空题 4．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 5．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 6．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 三、解答题 7．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 8．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 9．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 10．如图1，是等腰直角三角形，，，．点是边上任意一点，连接并延长，点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，作等腰直角三角形，使得，，，．连接交射线于点． (1)如图1，求证：． (2)①若，则的度数为______． ②判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，若，在点的运动过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$