3.1 用树状图或表格求概率（分层作业）数学北师大版九年级上册

3.1 用树状图或表格求概率 1．（2025九年级下·北京·学业考试）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·山西朔州·期中）在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 7．（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南商丘·模拟预测）河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”的概率为 ． 10．（2025·江苏无锡·二模）某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为 ． 11．（2024·河南周口·一模）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色，则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是 ． 1．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，，0，1这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为，则在第二象限的概率为 ． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 3.（2025·安徽合肥·二模）如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是 ． 4．（2025·四川南充·一模）为响应中小学生每天体育锻炼2小时的号召，某中学启动了“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．全校初中年级共有12个班，学校统计了这些班级开学以来体育运动时间达标率（精确到），具体数据如下表． 运动时间达标率 至 小于 班数 6 (1)若从这12个班级中任意抽取1个班，则抽到运动时间达标率为的班的概率是_____． (2)若抽到运动时间达标率在至的班的概率为，则______． (3)某班选出了2名男生和2名女生作为体操标兵，老师计划从这4名同学中随机抽取两名进行经验分享．抽到性别相同和抽到性别不同的组合的概率是否各占？请用列表法或画树状图，通过计算说明． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，将四张卡片背面朝上，任意抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图象不经过第二象限的概率是________． A． B．1 C． D．0 2．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，在小麦丰收季节，班级同学前往某乡开展综合实践活动，为助力乡村振兴做贡献．其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部条件基本一致的条件下，对两个村同一优良品种（代号u）小麦的亩产量进行调查统计，为乡村振兴发展规划提供参考． 【数据收集与整理】 该乡从几十个村中随机选取4个村作为样本供调查，班级同学将这4个村编号为A，B，C，D，随机选取A，B两村做浅层次调查，C，D两村做深层次调查． 在A，B两村中，共随机选取了20个种粮大户种植u品种小麦的平均亩产量（单位：吨），进行整理、分析，下面给出部分信息． ①A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量的频数分布直方图如下（数据分成4组：）； ②A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量如下表： 组别 平均亩产量/吨                     在C，D两村中，共随机选取了10个种粮大户，对该品种小麦的平均亩产量（单位：吨）进行问卷调查，并求出调查数据的平均数为0．68吨． 调查问卷 1您家今年共种植u品种小麦__________亩，平均亩产量__________吨． 2．影响您家今年u品种小麦产量的主要原因是__________（单选）． A．施肥 B．除草 C．病虫害 D．其他 任务1  从A，B，C，D四个村中恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的概率是__________； 任务2  频数分布直方图中a的值为__________； 【数据分析与运用】 任务3  从A，B两村随机选取的20个种粮大户中，u品种小麦的平均亩产量的中位数的范围是__________； 任务4  求A，B，C，D四个村中随机选取的30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 用树状图或表格求概率 1．（2025九年级下·北京·学业考试）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握概率公式． 抛掷两次硬币共有种等可能的结果，两次朝向相同的情况有种，由此可求得概率． 【详解】解：先后两次抛掷硬币，每次可能出现的结果为正面（记作“正”）或反面（记作“反”）， 所有等可能的结果为： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 共有种结果，且每种结果发生的概率相等， 其中两次朝向相同的情况有种：（正，正）和（反，反）， 因此，所求概率为． 故选：． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，用奇数区域的面积除以转盘总面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，一共把转盘平均分成为8份（1所在区域可以看出2份），其中奇数区域占5份，则转动转盘指针指向奇数的概率是， 故选：D． 3．（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用枚举法求概率，解题关键是枚举出所有可能结果． 先枚举出所有可能结果，并求出所有可能结果种数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】根据题意，如果A部分种植白菜，则A，B，C，D四部分种植蔬菜的方式如下： 白菜、茄子，辣椒、毛豆； 白菜、茄子、毛豆、辣椒； 白菜、辣椒、茄子、毛豆； 白菜、辣椒、毛豆、茄子； 白菜、毛豆、茄子、辣椒； 白菜、毛豆、辣椒、茄子． 共有6种等可能的结果，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有2种． 类似的，如果部分种植茄子，辣椒或毛豆结果均一样， （白菜与辣椒两种蔬菜不相邻）． 故选：A． 4．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶将这两张卡片分别记为A，B，列表如下： 共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种， 两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故选∶C． 5．（24-25九年级下·山西朔州·期中）在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题分别用表示，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两国代表选择同一议题的有4种， ∴甲、乙两国代表选择同一议题的概率是， 故选：B ． 6．（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 7．（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识. 【详解】解：设正方形的边长为，则圆的直径为， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=， 故选：C 9．（2025·河南商丘·模拟预测）河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意列出所有的可能情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群三张卡片分别为、、， 随机抽取两张的情况有、、共3种，其中抽到的情况有1种， 所以概率为， 故答案为：． 10．（2025·江苏无锡·二模）某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估算概率，掌握概率的计算是关键． 根据题意得到正方形的面积为，由频率估算概率的计算方法即可求解． 【详解】解：二维码区域的大正方形边长为2， ∴正方形的面积为， ∵“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动， ∴黑色区域的面积为， 故答案为： ． 11．（2024·河南周口·一模）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色，则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握列表求概率的方法是解题的关键．根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可． 【详解】依据题意列表如下： 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 由表可知一共有种等可能的情况，两个转盘均停在红色区域的有2种， ∴两个转盘均停在红色区域的概率为． 故答案为：． 1．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，，0，1这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为，则在第二象限的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率. 解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.也考查了一次函数的性质.画树状图，共有个等可能的结果，则在第二象限的结果有个，再由概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图如图：    共有个等可能的结果，则在第二象限的结果有个， ∴在第二象限的概率为， 故答案为： 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 3.（2025·安徽合肥·二模）如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查运用画树状图或图表法的概率的计算，解题关键是运用树状图法或图表法准确列举出所有座位安排情况，进而确定甲、乙相邻的情况数，再利用概率公式求解．       设出四个凳子编号，用树状图列出甲、乙、丙三人所有可能的座位安排情况，依据相邻位置组合，从所有情况中找出甲、乙相邻的情况， 根据概率公式，计算出甲、乙相邻的概率． 【详解】设四个凳子依次为1号、2号、3号、4号．用甲，乙，丙，和空表示三人的座位安排情况． 共有24种不同做法，其中两人坐在相邻的位置为在1和2或2和3或3和4或4和1的共有16种， ∴甲、乙两人坐在相邻位置的概率为． 故答案为：． 4．（2025·四川南充·一模）为响应中小学生每天体育锻炼2小时的号召，某中学启动了“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．全校初中年级共有12个班，学校统计了这些班级开学以来体育运动时间达标率（精确到），具体数据如下表． 运动时间达标率 至 小于 班数 6 (1)若从这12个班级中任意抽取1个班，则抽到运动时间达标率为的班的概率是_____． (2)若抽到运动时间达标率在至的班的概率为，则______． (3)某班选出了2名男生和2名女生作为体操标兵，老师计划从这4名同学中随机抽取两名进行经验分享．抽到性别相同和抽到性别不同的组合的概率是否各占？请用列表法或画树状图，通过计算说明． 【答案】(1) (2)4 (3)抽到性别相同和抽到性别不同的组合的概率不是各占，计算说明见解析 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，然后找出抽到性别相同和抽到性别不同的组合的结果数，然后根据概率公式计算求解即可． 【详解】（1）∵全校初中年级共有12个班，运动时间达标率为的班数为6 ∴若从这12个班级中任意抽取1个班，则抽到运动时间达标率为的班的概率是； （2）∵抽到运动时间达标率在至的班的概率为， ∴ ∴； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽到性别相同的组合的情况有4种，抽到性别不同的组合的情况有8种， ∴抽到性别相同的组合的概率为，抽到性别不同的组合的概率为 ∴抽到性别相同和抽到性别不同的组合的概率不是各占． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，将四张卡片背面朝上，任意抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图象不经过第二象限的概率是________． A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值．熟记相关结论即可． 画树状图得出所有的等可能的结果，以及函数的图像不经过第二象限的结果，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果， 函数的图像不经过第二象限的结果有，共6种， 故函数的图像不经过第二象限的概率是：， 故选：C． 2．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 3.（2025·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，在小麦丰收季节，班级同学前往某乡开展综合实践活动，为助力乡村振兴做贡献．其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部条件基本一致的条件下，对两个村同一优良品种（代号u）小麦的亩产量进行调查统计，为乡村振兴发展规划提供参考． 【数据收集与整理】 该乡从几十个村中随机选取4个村作为样本供调查，班级同学将这4个村编号为A，B，C，D，随机选取A，B两村做浅层次调查，C，D两村做深层次调查． 在A，B两村中，共随机选取了20个种粮大户种植u品种小麦的平均亩产量（单位：吨），进行整理、分析，下面给出部分信息． ①A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量的频数分布直方图如下（数据分成4组：）； ②A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量如下表： 组别 平均亩产量/吨                     在C，D两村中，共随机选取了10个种粮大户，对该品种小麦的平均亩产量（单位：吨）进行问卷调查，并求出调查数据的平均数为0．68吨． 调查问卷 1您家今年共种植u品种小麦__________亩，平均亩产量__________吨． 2．影响您家今年u品种小麦产量的主要原因是__________（单选）． A．施肥 B．除草 C．病虫害 D．其他 任务1  从A，B，C，D四个村中恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的概率是__________； 任务2  频数分布直方图中a的值为__________； 【数据分析与运用】 任务3  从A，B两村随机选取的20个种粮大户中，u品种小麦的平均亩产量的中位数的范围是__________； 任务4  求A，B，C，D四个村中随机选取的30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量． 【答案】任务1： 任务2：6 任务3： 任务4：A，B，C，D四个村30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量为吨 【分析】该题考查了频数分布直方图，列树状图求概率，中位数和平均数的定义，掌握相关定义是解题的关键． 任务1：列树状图求解即可； 任务2：用总数减去其他几部分的频数即可； 任务3：根据中位数的定义求解即可； 任务4：根据平均数的定义求解即可； 【详解】解：任务1：列树状图如下： 共有12种情况，其中恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的情况有2种情况， 故恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的概率是； 任务2：； 任务3：共有20个数，中位数是第10和11个数的平均数，故u品种小麦的平均亩产量的中位数的范围是； 任务4：选取的30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$