3.2 用频率估计概率（分层作业）数学北师大版九年级上册

3.2 用频率估计概率 1．（2025·广西南宁·三模）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为0.95； 故选C． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的袋子中放有10根笔，这些笔除颜色外完全相同，若每次把笔充分搅匀后，任意摸出一根笔记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到红笔的频率稳定在0.3，则这个袋子里红笔的数量约为（    ） A．3 B．6 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 设红笔的数量为x个，再根据多次试验的频率稳定在概率附近可得，求出解即可. 【详解】解：设红笔的数量为x个，根据题意，得 ， 解得. 所以这个袋子里红笔的数量为3个. 故选：A. 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个不透明的袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出红球的频率稳定在0.2，则估计袋中红球的个数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为0.2，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2， ∴从中摸出一个红球的概率为0.2， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：A． 5．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 6．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以估计该麦种的发芽概率为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：由题意得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在附近， ∴可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 【答案】10 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以袋中白球有10个． 故答案为：10． 9．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先求出摸到红球的频率，再利用频率估计概率，然后乘以球的总数即可得． 【详解】解：∵做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502， ∴摸到红球的频率是， ∴估计盒子中的红球的个数是（个）， 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有72次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为 个． 【答案】18 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先利用频率估计概率可得从中随机摸出一个球是红球的概率为，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：设口袋中红球的个数为个， 由题意得：从中随机摸出一个球是红球的概率为， 则， 解得， 即估计口袋中红球的个数为18个， 故答案为：18． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了频率和概率，根据频率和概率的定义进行解答即可． （1）根据频数除以总数即可得到频率； （2）用白球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即这50次摸球中，摸到白球的频率为； （2）因为加入5个白球后，袋中共有白球：（个）， 袋中一共有球：（个）， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率为． 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： (1)①这次抽取的学生总人数是______________；②补全分布直方图． (2)学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 【答案】(1)①90；②见解析 (2) 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图以及利用频率估计概率等知识，熟练掌握统计和概率的相关知识是解题的关键； （1）①用A组的人数除以其占比即可求出总人数，②求出C组的人数，即可补全统计图； （2）先求出E组和F组的人数之和，再利用频率估计概率的思想即可求解. 【详解】（1）解：①这次抽取的学生总人数是人； 故答案为：90； ②C组的人数，补全统计图如下： （2）解：E组和F组的人数之和， 所以估计事件A的概率． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b (1)表格中 ， ；（精确到） (2)请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率的知识．大量反复试验下频率趋于某个稳定值，则这个稳定值即为概率．此外，在解答问题（3）时，还用到了有关扇形统计图的知识． （1）根据频率的算法：频率频数总数可得各个频率，据此填空即可； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，据此可得答案； （3）利用频率估计概率求解看； （4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近； （3）解：由题意得，转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是； （4）解：， ∴在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是。 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1)； (2) (3)取走了9个白球 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，频率与频数分布表，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）设取走了x个白球，根据从袋中摸出一球是红球的概率是结合概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴“摸到白球的”的概率的估值是； （3）解：设取走了x个白球， 由题意得，， 解得， 答：取走了9个白球． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案，掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右， ．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是的概率为，故该选项不符合题意； ．暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的概率为，故该选项符合题意； ．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心”的概率是，故该选项不符合题意； ．掷一枚硬币，正面朝上的概率为，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，二维码的面积约为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， 故选：B． 4.（九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则月的有 人． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出月的频率与月的频率和，再用乘频率和得到这两组的人数和，最后再减去月的人数即可得解． 【详解】解：由题意知：月的频率与月的频率和是， 这两组的人数和是（人）， 月人数是（人）， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为， ∵正方形的边长为， ∴面积为， 设不规则部分的面积为s， 则， 解得：， 故答案为． 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计柑橘损坏的概率为__________； (2)估计这批柑橘完好的质量为__________千克； (3)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率求数量，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键． （1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率； （2）用整体减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，用柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可求解； （3）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据统计图可得，随着抽取橙子质量的增加，损坏率稳定在附近， 即柑橘损坏的概率估计值为． 故答案为：． （2）解：柑橘完好的概率估计值为：， 则这批柑橘完好的质量为：千克． 故答案为：． （3）解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 故每千克的售价应大约为元． 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 【答案】(1)，； (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； (3)需要往盒子里再放入个黑球． 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据统计图容易得出结果； （2）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （3）设需要往盒子里再放入个黑球； 根据题意得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个黑球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个黑球． 2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出1个球记下颜色，再把球放回盒子里，店员记录了抽奖数据如表： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上摸奖数据，估计摸到红球的概率为___；(结果精确到) (2)若先从盒子里取出个红球不放回，再从盒子里随机摸出个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则____； (3)若先从盒子里取出a个红球，再放入a个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应概率，还涉及了必然事件． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3； （2）根据题意可得需要拿出所有的红球即可； （3）根据题意可得拿掉a人红球，加入a个黑球后，则红球，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3， 故答案为：0.3， （2）∵估计摸到红球的概率为0.3， ∴盒子里红球的数量为个， ∵ “摸出黑球”为必然事件， ∴袋子只有黑球，需要拿出所有的红球， ∴x=12， 故答案为：12； （3）解：由（2）知红球的数量为12个， 根据题意得，解得． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 用频率估计概率 1．（2025·广西南宁·三模）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的袋子中放有10根笔，这些笔除颜色外完全相同，若每次把笔充分搅匀后，任意摸出一根笔记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到红笔的频率稳定在0.3，则这个袋子里红笔的数量约为（    ） A．3 B．6 C．5 D．7 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个不透明的袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出红球的频率稳定在0.2，则估计袋中红球的个数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 6．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为 ．（精确到） 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 9．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是 ． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有72次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为 个． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： (1)①这次抽取的学生总人数是______________；②补全分布直方图． (2)学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 所以估计事件A的概率． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b (1)表格中 ， ；（精确到） (2)请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D．掷一枚硬币，正面朝上 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 4.（九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则月的有 人． 6．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计柑橘损坏的概率为__________； (2)估计这批柑橘完好的质量为__________千克； (3)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出1个球记下颜色，再把球放回盒子里，店员记录了抽奖数据如表： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上摸奖数据，估计摸到红球的概率为___；(结果精确到) (2)若先从盒子里取出个红球不放回，再从盒子里随机摸出个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则____； (3)若先从盒子里取出a个红球，再放入a个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求a的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$