第07讲有理数的乘方（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

第07讲有理数的乘方（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 乘方运算的符号规律 典型例题四 乘方的应用 典型例题五 含乘方的有理数混合运算 典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 知识点一： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 2．（2023七年级·全国·专题练习）一般地，个相同的因数相乘，记作 ．这种求个相同因数的积的运算叫做 ；乘方的结果叫做 ，叫做 ， 叫做指数． 知识点二：有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）计算： ． 知识点三：科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即时训练】 1．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期中）据某数据分析平台显示，DeepSeek App自2025年1月15日上线至2月9日，累计下载量超1.1亿次．将1.1亿用科学记数法表示应为 ． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 1．（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 2．（23-24七年级·全国·假期作业）若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于式子，底数是 ，指数是 ；底数是，指数是2024的幂写作 ． 4．（23-24八年级下·全国·课前预习）a、n、an分别叫做什么？ 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 1．（2025·河北·一模）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）计算： ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题三 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（23-24七年级·全国·假期作业）你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题四 乘方的应用】 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）你能举出有关乘方运算的实例吗？ 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 2．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 【典型例题五 含乘方的有理数混合运算】 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届：ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，这样，图2中从左起第一个符号表示的二进制数为．如图2，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，则从左起第四个符号表示的二进制数转化成十进制为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算：． 【典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）2025年，大庆市以402个重点项目、1730亿元总投资、610亿元年度投资计划的恢弘手笔，在东北老工业基地转型史上写下浓墨重彩的一章．610亿用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 1．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）北京中轴线上的先农坛被誉为“天下第一仓”．在神仓陈列馆里展示着中国古代农民用作存储谷物的“米斗”（如图），若1斗米约为，则1斗米用科学记数法表示为（   ）．    A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）2024年11月24日，仪征枣林湾半程马拉松（Marathon）顺利举行，全程约为21100米，用科学记数法表示数字21100为 ． 4．（2023·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 2．（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）有一种细菌，它的繁殖方式是每过1天便由一个分裂成2个．假如现在瓶子里有2个细菌，经过5天，瓶子里的细菌个数是（   ） A．10个 B．16个 C．32个 D．64个 A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算器中输入显示的算式是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·河北承德·期末）计算（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·广西·中考真题）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，，则以x为底数， y为指数的幂为 ． 12．（2025·贵州黔东南·一模）计算： ． 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 15．（24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）春节假期期间，小明准备将一瓶营养品送给远方的爷爷和奶奶，装营养品的瓶子是底面积为，高为的圆柱体．小明打算将这瓶营养品放在一个容积为的正方体硬纸盒中，问：小明能将这瓶营养品放进去吗？请说明理由（参考数据：）． 17．（2025·广东珠海·三模）计算：． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)． (2)． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)地球距离太阳约一亿五千万千米； (2)月球的质量约为7350亿亿吨． 20．（23-24七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)2730． (2)7531000． (3)． (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲有理数的乘方（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 乘方运算的符号规律 典型例题四 乘方的应用 典型例题五 含乘方的有理数混合运算 典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 知识点一： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的意义得，解答即可． 本题考查了有理数幂的意义，正确理解幂的意义是解题的关键． 【详解】解：根据幂的意义得， 故选：C． 2．（2023七年级·全国·专题练习）一般地，个相同的因数相乘，记作 ．这种求个相同因数的积的运算叫做 ；乘方的结果叫做 ，叫做 ， 叫做指数． 【答案】 乘方 幂 底数 【分析】根据有理数的乘方的定义填空即可． 【详解】解：一般地，个相同的因数相乘，记作．这种求个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂，叫做底数，叫做指数． 故答案为：；乘方；幂；底数；． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的定义．熟记概念是解题的关键． 知识点二：有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方运算求解即可． 【详解】． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算法则． 2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方运算，根据乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三：科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即时训练】 1．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．将亿用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿， 故选：B． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期中）据某数据分析平台显示，DeepSeek App自2025年1月15日上线至2月9日，累计下载量超1.1亿次．将1.1亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1.1亿， 故答案为：． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据多个相同的单项式相乘可以表示为幂的形式，即，a表示相同的单项式，m表示单项式的个数．据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 1．（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 【答案】D 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，乘方的运算，根据的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，读作的3次方，故正确，不符合题意；错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可． 【详解】解：是底数，4是指数，这个算式是． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于式子，底数是 ，指数是 ；底数是，指数是2024的幂写作 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，据此即可解答． 【详解】解根据乘方的定义可知 ，底数是，指数是3；底数是，指数是2024的幂写作， 故答案为：，3， ． 4．（23-24八年级下·全国·课前预习）a、n、an分别叫做什么？ 【答案】底数、指数、幂 【解析】略 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的运算法则是解本题的关键； （1）由，再计算即可； （2）由，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 1．（2025·河北·一模）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算出结果，再比例即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据新定义，逐一判断即可．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）计算： ． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【典型例题三 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 【点睛】本题考查了乘方运算符号的规律，熟练掌握正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数且0既不是正数也不是负数是解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【典型例题四 乘方的应用】 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）你能举出有关乘方运算的实例吗？ 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】可以从生活经验、其他学科知识等方面举出例子，如消息传递、折纸、细胞分裂等． 【详解】解：问题：正方体的边长为a，请计算正方体的体积． 正方体的体积为． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，再把所得结果相加即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 2．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．根据题意，将这张纸对折1次，其厚度是原来的2倍，即倍；对折2次，其厚度是原来的4倍，即倍；对折3次，其厚度是原来的8 倍，即倍，…，对折n次，厚度是倍．据此求解即可． 【详解】解：， 假设这张纸的厚度是毫米， （毫米）（千米）， 这个厚度大大超过穆朗玛峰高度（千米）． 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，括号里的数字从左开始，按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 【答案】厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高 【分析】利用计算器计算出，进而可求解． 【详解】解：根据题意可知（毫米）， ， ， 答：故厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高． 【点睛】本题考查了乘方的应用及利用科学计算器计算，熟练掌握科学计算器是解题的关键． 【典型例题五 含乘方的有理数混合运算】 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，乘方的运算，理解新定义，利用公式求出即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算加减即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意，准确计算．把每个选项的二进制的数化为十进制的数即可得到答案. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届：ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，这样，图2中从左起第一个符号表示的二进制数为．如图2，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，则从左起第四个符号表示的二进制数转化成十进制为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式计算即可． 【详解】解：， 即从左起第四个符号表示的二进制数转化成十进制为5， 故选：A． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数混合运算的法则计算即可． 【详解】解：原式 【典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）2025年，大庆市以402个重点项目、1730亿元总投资、610亿元年度投资计划的恢弘手笔，在东北老工业基地转型史上写下浓墨重彩的一章．610亿用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．将610亿转换为科学记数法，需满足形式为（其中，为整数）． 【详解】解：610亿． 故选：A． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 【答案】（1）1.08×1012；（2）1.797×108；（3）1.6×1011；（4）9×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可． 【详解】解：(1)1080000000000=1.08×1012； (2)17970万=179700000=1.797×108； (3)一千六百亿=160000000000=1.6×1011； (4)九十亿=9000000000=9×109． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 1．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）北京中轴线上的先农坛被誉为“天下第一仓”．在神仓陈列馆里展示着中国古代农民用作存储谷物的“米斗”（如图），若1斗米约为，则1斗米用科学记数法表示为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，直接根据科学记数法作答即可． 【详解】解：∵1斗米约为， ∴1斗米用科学记数法表示为， 故选：B． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“9亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“9亿”． 故选C． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）2024年11月24日，仪征枣林湾半程马拉松（Marathon）顺利举行，全程约为21100米，用科学记数法表示数字21100为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2023·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【详解】（1） （2） 所以． 【点睛】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 2．（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的平方，掌握有理数的平方是解本题的关键． 根据指数运算的性质，将已知条件转化为和的值，再代入求解． 【详解】已知，因为，所以， 又已知，因为，所以， 因此，，则． 故选：D． 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，直接根据的任何次幂都是1作答即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）有一种细菌，它的繁殖方式是每过1天便由一个分裂成2个．假如现在瓶子里有2个细菌，经过5天，瓶子里的细菌个数是（   ） A．10个 B．16个 C．32个 D．64个 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，解题的关键是掌握有理数的乘方运算．细菌每过1天便由一个分裂成2个，经过5天，进行5次分裂，即，计算出结果即可． 【详解】解：个． 故选：D． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某种霉菌的生长速度是每天增加1倍，若经过14天，霉菌能长满整个缸面，请问长满半个缸面所用的时间是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据题意运用乘方的定义进行求解．此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】解：由题意得，该霉菌第14天生长面积是第13天的2倍， ∴长满半个缸面所用时间是13天. 故答案为：D. 7．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算器中输入显示的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列算术，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算顺序．根据题意列出算式即可． 【详解】解：显示的算式是：． 故选：D． 8．（23-24七年级上·河北承德·期末）计算（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选A． 9．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 10．（2025·广西·中考真题）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，将13000000用科学记数法表示，需满足形式（其中，为整数）． 【详解】解：确定和：将13000000的小数点从末尾向左移动位，得到， 此时， 故科学记数法为． 故选：C． 11．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，，则以x为底数， y为指数的幂为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的概念，先求出x的值，再把x的值作为底数，y的值作为指数写出对应的式子即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴以x为底数， y为指数的幂为， 故答案为：． 12．（2025·贵州黔东南·一模）计算： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 【答案】 5.2 负号 【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果． 【详解】解：-5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号， 故答案为：5.2，负号． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算除法． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）春节假期期间，小明准备将一瓶营养品送给远方的爷爷和奶奶，装营养品的瓶子是底面积为，高为的圆柱体．小明打算将这瓶营养品放在一个容积为的正方体硬纸盒中，问：小明能将这瓶营养品放进去吗？请说明理由（参考数据：）． 【答案】不能．理由见解析 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，先求出正方体的棱长，再求出圆柱的底面直径，然后比较即可． 【详解】解：不能．理由如下： 因为， 所以正方体硬纸盒的棱长为． 设瓶子的底面半径为，则， 所以， 所以，即瓶子的底面直径为． 因为，所以小明不能将这瓶营养品放进去． 17．（2025·广东珠海·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先去绝对值，求算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)地球距离太阳约一亿五千万千米； (2)月球的质量约为7350亿亿吨． 【答案】(1)千米； (2)吨 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】（1）解：一亿五千万用科学记数法表示为千米； （2）解：7350亿亿吨用科学记数法表示为吨． 20．（23-24七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)2730． (2)7531000． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$