精品解析：广东省河源市龙川第一实验学校2023-2024学年上学期九年级数学期中考试卷

2023-2024学年度第一学期龙川第一实验学校期中考试卷 九年级数学 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质求出x=y，代入所求式子中，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴x=y， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．此题可根据配方法，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得：方程两边同时加上4． 故选：C． 3. 如图，已知，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】∵， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【详解】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO， 则AB==5， 故这个菱形的周长L=4AB=20． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般． 6. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 7. 若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 【答案】C 【解析】 【分析】设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有64人患了感冒，列出方程并求解，然后求出三轮之后患感冒的人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 由题意得：， 解得，， ∵， ∴，不合题意，舍去， ∴， 则第三轮的感冒人数为：人． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． 10. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与, ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 12. 用因式分解法解一元二次方程时，若是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】设分解因式后的其中一个因式为，则 ，化成一般式即可得到 ，求得 ，进一步得到p的值． 【详解】解：由题意可知， 设分解因式得， 化成一般式为 ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解、根与系数的关系是解题的关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的m个小球，其中6个黑球，从袋中随机摸出一个小球，记下颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出1个小球，记下颜色，下表是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的数据： 摸球试验次数 摸出黑球次数 根据表格，的值约为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，仔细观察图形并找到图形变化的规律是解题的关键． 仔细观察图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 故答案为：45． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与平移，过点作轴，根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，再根据平移方式求出的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵点的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形， ∴， 即：； 故答案为：． 三、解答题（一）．（本大题3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. （1）解方程：； （2）在与中，，且的周长为．求的周长． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确求解是解答的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意易证，且相似比为，可得，即可求解． 【详解】解：（1） 或 解得：或； （2）∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴． 17. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，若，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 先确定正方形的性质，然后计算对角线长度，进而即可计算线段的长度即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 18. 如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】 （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 用树状图表示所有可能出现的结果如下：     （2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种， ∴P（小杰胜）＝，P（小玉胜）＝， ∴游戏是公平的． 【解析】 【分析】（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种； （2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计“和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，然后再求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． （1）请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； （2）点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】（1） （2）“两根点”P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 五、解答题（三）．（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 前年，某地区种植“玫瑰香”葡萄64公顷，今年，“玫瑰香”的种植面积达到100公顷． （1）该地区这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为 ； （2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的销售单价为8元时，每周能售出，销售单价每上涨1元，每周销售量减少．已知“玫瑰香”的进货单价为6元，为维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，若该超市销售“玫瑰香”每周获利2240元，则销售单价上涨了多少元？ 【答案】（1） （2）售价上涨6元 【解析】 【分析】（1）该地区这两年“玫瑰香”种植面积的年平均增长率为x，利用该地区今年种植面积=该地区前年种植面积×（1+该地区这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应上涨y元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该地区这两年“玫瑰香”种植面积的年平均增长率为x， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该地区这两年“玫瑰香”种植面积的年平均增长率为25%． 【小问2详解】 设每千克的售价应上涨y元，则每天可售出千克， 依题意，得， 整理，得， 解得． ∵该“玫瑰香”售价每千克不能超过15元， ∴， 答：每千克的售价应上涨6元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点． （1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）点在线段的垂直平分线上 （2） ①证明：如图，∵四边形是菱形， ， ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ． 在中，， ． ． ， ；     ② 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可； （2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接．利用等边三角形的判定和性质得出，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点在线段的垂直平分线上． 理由如下：连接． ∵四边形是菱形，对角线相交于点， ． ， ， ∴点在线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 ① 略 ②如图，连接． ， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 在中，， ， ． ，， ， ． ， ， ． 在中，， 由勾股定理得， ． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期龙川第一实验学校期中考试卷 九年级数学 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 如图，已知，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 6. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 10. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为______． 12. 用因式分解法解一元二次方程时，若是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是______． 13. 在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的m个小球，其中6个黑球，从袋中随机摸出一个小球，记下颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出1个小球，记下颜色，下表是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的数据： 摸球试验次数 摸出黑球次数 根据表格，的值约为______． 14. 如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为____________． 三、解答题（一）．（本大题3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. （1）解方程：； （2）在与中，，且的周长为．求的周长． 17. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，若，求线段的长． 18. 如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． （1）请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； （2）点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 五、解答题（三）．（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 前年，某地区种植“玫瑰香”葡萄64公顷，今年，“玫瑰香”的种植面积达到100公顷． （1）该地区这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为 ； （2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的销售单价为8元时，每周能售出，销售单价每上涨1元，每周销售量减少．已知“玫瑰香”的进货单价为6元，为维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，若该超市销售“玫瑰香”每周获利2240元，则销售单价上涨了多少元？ 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点． （1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $