第八章立体几何初步辅导讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修2学习材料---立体几何初步 基本立体图形 考点一：多面体与旋转体 ①多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． ②旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 考点二：几种常见的多面体 ①棱柱 1.棱柱的定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 2.棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 3.棱柱的表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如三棱柱 4.棱柱的分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按棱柱的性质分类： (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． (5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 5.棱柱的简单性质： (1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． ②棱锥 1.棱锥的定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 2.棱锥的有关概念：多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 3.棱锥的表示法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如四棱锥S－ABCD 4.棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按棱锥的性质分类： (1)正棱锥：底面为正多边形，且顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥． (2)正四面体：每个面均为正三角形的三棱锥． 5.棱锥的性质： (1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形． ③棱台 1.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 2.棱台的有关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 3.棱台的表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台，如四棱台ABCD－A′B′C′D 4.棱台的分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 5.棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形． 考点三：几种常见的旋转体 ①圆柱 1.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 2.圆柱的有关概念：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 3.圆柱的表示法：用表示它的轴的字母，即表示两底面圆心的字母表示，可记作圆柱O′O 4.圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形． (4)过任意两条母线的截面是矩形． ②圆锥 1.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2.圆锥的有关概念： 如上图所示，轴为SO，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径3.圆锥的表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO 4.圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆． (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形． ③圆台 1.圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 2.圆台的有关概念： 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 3.圆台的表示法：用表示轴的字母表示，上图中的圆台可记作圆台OO′ 4.圆台的简单性质： (1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形． ④球 1.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 2.球的有关概念： 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 3.球的表示法：球常用表示球心的字母表示，如上图中的球记作球O 题型一：简单几何体的识别 【例1】下列几何体不属于棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征及定义逐一判断即可得解. 【详解】解：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，有这些面所围成的多面体叫做棱柱， 所以不属于棱柱的图形为D选项. 故选：D. 【例2】下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①②③④均可举出反例. 【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故①错误； ②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误； ③如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A 【题型专练】 1．观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（    ） A．几何体是棱台 B．几何体是圆台 C．几何体是棱锥 D．几何体不是棱柱 【答案】C 【解析】依次判断每个选项：选项A，不是由棱锥截得的，所以不是棱台；选项B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；选项D，是棱柱；得到答案. 【详解】对于选项A，不是由棱锥截得的，所以不是棱台； 对于选项B，上、下两个面不平行，所以不是圆台； 对于选项C，是棱锥； 对于选项D，前、后两个面平行，其他而是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱. 故选： 【点睛】本题考查了几何体的判断，意在考查学生对于几何体的概念的理解. 2．下列关于棱柱的说法正确的是(    ) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 【答案】ABC 【分析】根据棱柱的定义即可逐项判断求解． 【详解】根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，故A正确； 根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，侧棱均平行，故B正确； 棱柱底面至少为三角形，故棱柱至少有2个底面+3个侧面=5个面，故C正确； 如图所示， 该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误． 故选：ABC． 题型二：平面图形旋转形成的几何体 【例1】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是　　． 【解析】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确； 圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确； 圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误； 当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）． 【例2】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断. 【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误； 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的， 故②正确； ③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误； ④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确； 综上可知②④正确，①③错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征，属于基础题. 【题型专练】 1．下列命题中，正确的个数是（    ） ①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个； ②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面； ③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由圆柱与球的结构特征可得答案. 【详解】根据圆柱的结构特征可知，圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个，故①正确； 根据球的结构特征可知，用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面，故②正确； 当用一个不与圆锥的底面平行的平面去截圆锥时，所得到的截面不是一个圆面，故③不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱、球、圆锥的结构特征，属于基础题. 2．下列结论中正确的是（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台 C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱 D．圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球 【答案】D 【解析】圆锥的旋转轴是一直角边所在的直线，所以不正确；圆台的旋转轴是垂直底边的腰所在直线，所以错误；圆柱是矩形绕旋转轴旋转而来的，所以错误；由球的定义判断，正确. 【详解】在选项A中，若绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周， 则得到的几何体不是一个圆锥，故选项A错误； 在选项B中，若绕直角梯形的上底所在直线旋转一周， 则得到的几何体不是圆台，故选项B错误； 在选项C中，若平行四边形的一个内角为锐角， 则绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体不是圆柱， 故选项C错误； 在选项D中，圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球， 故选项D正确. 故选:D. 【点睛】本题考查简单旋转体的定义，注意对定义的理解和掌握，属于基础题. 立体图形的直观图 考点一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面． ②在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． ③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 考点二：画空间几何体的直观图的步骤 ①在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°． ②画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． ③在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． ⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图． 题型一：斜二测画法的辨析 【例1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确； 对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误； 对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确； 对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确. 故选：B. 【例2】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或 B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 【答案】ACD 【分析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D作答. 【详解】由斜二测画法规则知，选项A，C正确； 长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半， B错误； 水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确. 故选：ACD 【题型专练】 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可. 【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误. 选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误. 选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误. 选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确. 故选：D. 2．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（　　） A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项. 【详解】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误； 对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误； 对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确； 对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误. 故选：C. 题型二：斜二测画法画平面直观图 【例1】水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 【答案】 【分析】由斜二测画法的画法规则可知，，利用三角形面积求得，继而可得，从而在中，利用余弦定理求得答案． 【详解】由斜二测画法的画法规则可知在中，，， 则，即， 故由斜二测画法规则可得. 故答案为：． 【例2】如图，正方形是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若，则平面图形ABCD的面积是______. 【答案】 【分析】根据斜二测画法的特点即可得出结论. 【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变，所以, 与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半. 正方形的对角线在轴上，可求得其长度为， 如图所示：平面图中，在轴上，且其长度变为原来的2倍，即. 则平面图形ABCD的面积. 故答案为： 【题型专练】 1．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案． 【详解】将其还原成原图，设，则可得， ，从而，所以， 即，故是等腰直角三角形. 故选：C. 2．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】斜二测画法换元注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变． 【详解】，所以，还原如图所示： 则，所以平面图形面积． 故选：D． 题型三：由直观图还原几何图形 【例1】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：还原原图形，再求出面积； 方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解 【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为. 方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 故原图的面积为. 故选：A 【例2】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得. 【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，， 又由轴得轴，故， 不妨设是的中点，则， 所以在中，，即中边上的中线的长度为. 故选：A. . 【题型专练】 1．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，； 所以原图形的面积为． 故选：D 2．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2的等腰梯形，则原四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度加倍，所以由已知的数据可得，从而可求得答案. 【详解】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，如图所示， 因为在直观图中，, 所以在原图中, 所以原四边形的面积为, 故选：B 简单几何体的表面积与体积 考点一：多面体的表面积和体积 ①柱体 1.棱柱的侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示； 圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示． 2.柱体的表面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底． 3.柱体的体积 柱体的底面积S，高为h，其体积V＝Sh． ②锥体 1.侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示． 2.锥体的面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底． 3.锥体的体积 锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh． ③台体的表面积 1.侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示． 2.台体的表面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底． 3．台体的体积 台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝(S＋＋S′)h. ③球的表面积和体积 1．球的体积 球的半径为R，那么它的体积V＝ πR3． 2．球的表面积 球的半径为R，那么它的表面积S＝ 4πR2． 题型一：棱柱表面积体积 【例1】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______． 【答案】 【详解】棱柱的体积公式是，其中是q底面积，是高．在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么图1中水面的高度是棱柱高的，即为． 故答案为：． 【例2】某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出包装盒的侧面积和底面积，相加求出表面积. 【详解】如图，取正六边形的中心为，连接，则点在上， 由正六边形的每个内角为． 按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以， 可得正六棱柱底面边长，所以正六棱柱的侧面积， 其中， 所以底面积为 所以无盖正六棱柱包装盒的表面积． 故答案为： 【题型专练】 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______． 【答案】8 【分析】根据勾股定理即可求出底面边长与高，再求出侧面积即可. 【详解】如图所示： ，， 又，， 解得：， 所以棱柱的侧面积. 故答案为：8 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________. 【答案】9 【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC水平放置时，液面高度. 【详解】设的面积为x，底面ABC水平放置时，液面高为h 则水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，解得 故答案为:9 题型二：棱锥表面积体积 【例1】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 【例2】在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为___________. 【答案】8 【分析】如图，设长方体的三条棱长为，解方程组求出即得解. 【详解】 如图，设长方体的三条棱长为， 由题得；；， 解之得. 所以. 所以该三棱锥的体积为. 故答案为：8 【题型专练】 1.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（ ） (注丈尺) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知下底面积为，高为所以由体积公式可知立方尺. 故选:A. 2.距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作交于连接，所求体积，根据条件求计算体积时所需要的长度. 【详解】 设为正四棱锥底面中心，连接，则， ， ， 取的中点，连接， 过作于，则， 在直角中， 过作交于连接，则， 所求体积 ， 故选：C 题型三：棱台表面积体积 【例1】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（    ） A．80 B．240 C．350 D．640 【答案】B 【分析】根据已知棱台的上下底面边长以及侧棱长，可求得侧面梯形的高，进而求得侧面积. 【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16，腰长为10的等腰梯形， ∴等腰梯形的高为， ∴等腰梯形的面积为， ∴该棱台的侧面积为. 故选：B. 【例2】已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．36 B． C． D．48 【答案】B 【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案. 【详解】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高， 过作交边于点， 所以， 所以， 所以正四棱台的上、下底面的面积为：， 正四棱台的侧面积为：， 则其表面积为：. 故选：B. 【例3】已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据台体体积公式即可求解. 【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为,因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成， 所以 所以六棱台的体积. 故选:B. 【题型专练】 1．正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可. 【详解】由题意可知，正四棱台的侧面为四个等腰梯形，已知上、下底面边长分别是和，侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，所以侧面积为. 故选：B 2．在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可. 【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为， 因为正四棱台中， 所以，，，即梯形为等腰梯形， 所以，， 所以，该四棱台的体积为 故选：B 题型四：圆柱表面积体积 【例1】我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（ dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（    ）（注:1丈=10尺，取3） A．1088 平方尺 B．912 平方尺 C．720 平方尺 D．656 平方尺 【答案】B 【分析】求出圆柱底面半径再由圆柱表面积公式求解即可. 【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图： 则，，解得， 则圆柱底面积为，侧面积为, 则圆柱的表面积(平方尺)， 故选：B. 【题型专练】 1．用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．8π B．16π C．24π D．32π 【答案】B 【分析】分类讨论再结合圆柱侧面积公式求解即可. 【详解】若以边长4为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积， 若以边长2为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积， 故选：B 2．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积. 【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD， 面积为16，故边长， 即底面半径，侧棱长为， 则圆柱的侧面积是， 故选：B. 题型五：圆锥表面积体积 【例1】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______． 【答案】1 【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 【例2】在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　) A． B． C．3π D．4π 【答案】A 【解析】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为. 【题型专练】 1．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（    ） A．27π B． C． D．16π 【答案】A 【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可. 【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为， 所以，解得，故其表面积； 故选：A． 2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即. 故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 故选：B 题型六：圆台表面积体积 【例1】木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，圆台形木桶的高为（cm），所以该木桶的容积为，故选：D． 【例2】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得 故选：C 【例3】已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有，解得或（舍去）.圆台的体积为 故选：A. 【题型专练】 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（    ）参考公式：台体的体积公式为. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得，从而求得圆台两个底面的面积及高，进而可求圆台的体积. 【详解】设圆台较小的底面的半径为，较大的底面的半径为，母线为， 则由得， 又因为圆台的侧面积为，所以，即， 解得，故， 所以圆台较小的底面面积为，较大的底面面积为，圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：D. 2．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案. 【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示： 则圆台的高， 上底面半径，下底面半径，即， 母线，即， 在中，，， 易知在正方形中，，则，即， 综上，， 圆台的侧面积. 故选：B. 3．若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，由圆台的侧面积得，再由圆台的高为可得体积． 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为， 则圆台的侧面积，可得， 又因为圆台的高为，可知，故有， 圆台的体积． 故选：B. 题型七：球的表面积体积 【例1】 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 . 【答案】 【解析】设球半径为，则．故答案为． 【例2】一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的个数是（ ） ①圆柱的侧面积为； ②圆锥的侧面积为； ③圆柱的侧面积与球面面积相等； ④圆锥的表面积最小. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题设，圆柱、圆锥的高、底面直径均为， ①圆柱的侧面积，错误； ②圆锥的母线长为，则侧面积，错误； ③球面面积，由①知：圆柱的侧面积与球面面积相等，正确； ④圆锥的表面积，而圆柱的表面积，由③球面面积，故圆锥的表面积最小，正确； 故选：B 【题型专练】 1．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和球的表面积公式可得两球半径之比，结合球的体积公式计算即可. 【详解】由题意知， 两球的表面积之比为，则， 所以两球的体积之比为. 故选：C. 2．己知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，则球心O到平面ABC的距离为_____________． 【答案】3 【分析】根据球的体积公式可得球的半径，结合条件可得的外接圆的半径，然后根据球的性质即得. 【详解】设球的半径为R，则， 解得， 设的外接圆的半径为，因为， 所以，即， ∴球心到平面的距离. 故答案为：3. 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一：平面的基本概念 ①平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象的概念 ②平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如图2所示 ③平面的表示方法： 1.用一个希腊字母α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α 2.用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD 3.用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面BCD等 4.用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形顶点)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD 考点二：三个基本公理及其推论 公理1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 文字语言 过不共线的三点，有且只有一个平面 图形 语言 符号语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 作用 确定平面 证明点共面 公理2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 图形 语言 符号语言 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 作用 判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 P∈α∩β⇒α∩β＝l且P∈l 作用 (1) 判定平面相交 (2) 证明点共线 (3) 证明线共点 考点三：点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 考点四：空间中直线与直线之间的位置关系 ①异面直线 1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． ②空间两条直线的位置关系 1.相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． 2.平行直线——同一平面内，没有公共点． 3.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． ③两条异面直线所成的角(夹角) 1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 考点五：平面与平面之间的位置关系 ①空间中直线与平面的位置关系 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4.画法：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． ②两个平面之间的位置关系 1.两个平面平行——没有公共点； 2.两个平面相交——有一条公共直线． 3.符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． 4.画法：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 题型一：平面的基本概念 【例1】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点线面位置关系的符号语言判断即可. 【详解】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 【例2】下列命题正确的是（    ） A．三个点可以确定一个平面 B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 C．一条直线和一个点可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 【答案】B 【分析】由平面的基本性质、长方体及四棱柱的概念依次判断即可. 【详解】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误；长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，B正确； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，C错误；两条异面直线不能确定平面，D错误. 【例3】已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理正确的是（ ） A．，，， B．，， C．， D．A、B、，A、B、，且A、B、M不共线、β重合 【答案】ABD 【详解】直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，所以A选项正确； 两个平面相交于一条直线，则公共部分一定全在这一条直线上，所以B选项正确； 两个平面的公共部分不可能只有一个点，所以C选项错误； 有三个不共线的点属于两个平面的公共部分，则这两个平面重合，所以D选项正确. 故选：ABD 【题型专练】 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，根据异面直线判断C. 【详解】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误； B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误； C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误； D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面， 由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确. 故选：D. 2.下列命题正确的是（ ） A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行 B．经过空间任意三点只可以确定一个平面 C．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 D．一条直线与一个平面可能有无数个公共点 【答案】D 解：对A，若两条直线异面，则两条直线也没有公共点，所以在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线不一定平行，故A错误； 对B，经过不在同一条直线上的三点可确定一个平面，选项中没有指明三点不共线，故B错误； 对C，若选项中的三点分布在另一个平面两侧时，这两个平面不平行，故C错误； 对D，当直线在平面内时，直线和平面有无数个公共点，故D正确； 故选：D. 题型二：异面直线的概念 【例1】两条异面直线，指的是（    ） A．在空间内不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D．不在同一平面内的两条直线 【答案】D 【分析】利用空间内两条直线的位置关系判断. 【详解】对于选项A：在空间内不相交的两条直线，可能平行或异面，故错误； 对于选项B：分别位于两个不同平面内的直线，可能相交、平行或异面，故错误； 对于选项C：某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线，可能相交、平行或异面，故错误； 对于选项D：不同在任何一个平面内的两条直线，由异面直线的定义知，正确； 故选：D 【例2】有以下命题： ①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内； ②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和也是异面直线； ③四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内； ④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等. 其中正确命题的序号是___________.（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】③ 【分析】根据线段与平面的位置关系判断①，根据空间中直线与直线的位置关系判断②，显然四边形的四个点均在同一平面内，即可判断③，根据空间等角定理判断④. 【详解】解：①如果一条线段的中点在一个平面内，则线段与平面可能相交或线段在平面内，故①错误； ②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和可能平行、异面、相交，故②错误； ③若一个四边形有三条边在同一个平面内，即四边形的四个顶点均再同一个平面内，则第四条边也在这个平面内，故③正确； ④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故④错误． 故答案为：③． 【题型专练】 1．在空间中，给出下列命题：其中真命题是（　　） A．分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线 B．同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行 C．四边相等的四边形是菱形 D．有三个角为直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据异面直线、空间四边形性质，应用直观想象及平面的基本性质判断各项的真假. 【详解】A：将平移至与相交于，且，， 如上图，为直线上不同的两点，是直线上不同的两点， 连接，则它们一定异面，正确； B：由A分析，同时与两条异面直线垂直的两直线，必与平行，则两直线平行，错误； C：如上图，若，但不共面，四边形不为菱形，错误； D：如上图，若空间四边形中有三个角为直角，但四条边不共面，不是矩形，错误. 故选：A 2．a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义以及直线与平面平行或垂直的位置关系，逐一进行判断即可. 【详解】对①：由于是异面直线，将其平移到过点的直线，则相交于点，所以确定平面，而过点有且只有一条直线与垂直，则①正确； 对②：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则②错误； 对③：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则③错误； 对④：异面直线所成角不是时，过点不可以作一条直线与之一垂直与另一条平行，则④错误； 对⑤：异面直线所成角不是时，过点不可以作一个平面与之一垂直与另一条平行，则⑤错误； 故选：B 题型三：三点共线四点共面问题 【例1】已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线， 故选：D. 【例2】（多选题）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【答案】BC 【分析】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 由点共面得点共线可判断CD. 【详解】连接，在正方体中，取的中点， 连接，则， 所以四边形是平行四边形，平面，平面， 所以，故A正确，B错误； 如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 故C错误，D正确. 故选：BC. 【例3】如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：，必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据线段成比例得出直线与直线平行，利用平行直线确定一个平面可证结论； （2）根据平面的公理进行证明. （1） 证明：连接，因为，分别是，的中点，，； 所以，， 所以，所以，，，四点共面． （2） 证明：易知，又，所以， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形， 因此直线，不平行． 设它们交点为，平面，同理，所以平面， 又平面平面， 因此，即，必相交且交点在直线上． 【题型专练】 1．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D 2．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 【答案】①③ 【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 【详解】连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 故答案为：①③ 3．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点． (1)证明：，，，四点共面． (2)证明：，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】(1)通过线线平行证明线线共线，从而达到四点共面； (2) 先延长，相交于点，再通过点线面的关系可证明结论. （1） 如图，连接，． ∵是的中位线，∴． ∵，且，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴，，，四点共面． （2） 如图，延长，相交于点． ∵，平面，∴平面． ∵，平面，∴平面． ∵平面平面， ∴，∴，，三线共点． 题型四：异面直线所成角 【例1】如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于 ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可. 【详解】 取的中点D，连接交于点E，连接DE， 则 且，则为异面直线与所成的角或其补角． 易求，，则， 所以. 故选：B． 【例2】在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到异面直线AE，FG所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案. 【详解】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点， 所以FGAD， 所以或其补角为异面直线AE，FG所成角， 设正四面体的边长为a， 则，， 由余弦定理得：， 所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为. 故选：C 【题型专练】 1．长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由异面直线所成角的概念与余弦定理求解， 【详解】由题意得，则（或其补角）为异面直线与所成角， 在中，由题可得，， 由余弦定理得， 故选：A 2．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得. 【详解】连接，，分别是，的中点， ，又由正方体的性质可知， 故就是异面直线与所成的角或所成角的补角 连接，由题可知为正三角形，即 故与所成的角为60°． 故选：B. 题型五：直线与平面的位置关系 【例1】若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　） A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 【答案】A 【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论． 【详解】直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交，如下图 则 l与α内的直线可能相交，如下图;也可能异面，如下图；但不可能平行 故B，C，D错误 故选：A． 【例2】已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（    ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系，直接判断选项. 【详解】因为，且，那么直线b在内或平行. 故选：D 【题型专练】 1．（多选题）下列说法不正确的是（    ） A．AB为平面外的线段，若A､B到平面的距离相等，则 B．若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角不一定相等 C．若直线直线b，则a平行于过b的所有平面 D．若直线平面，直线平面，则 【答案】ACD 【分析】由空间中点线面的位置关系逐一判断即可 【详解】对于A：满足条件的点A､B还可以在平面的两侧，故A错误； 对于B：根据等角定理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，两个角相等或互补，故B正确； 对于C：当过直线b平面也经过直线时，a不平行于平面，故C错误； 对于D：若直线平面，直线平面，则直线可能平行或相交或异面，故D错误； 故选：ACD 2．已知m、n为不同的直线，为不同的平面．则下列命题中错误的是（    ） A．m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交； B．m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直； C．与l都不垂直，则m与n一定不垂直； D．m，n为异面直线、过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交． 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系对选项一一判断即可． 【详解】对A，若与相交，设交线为，所以m，n至少有一条与相交，故m，n至少有一条与相交； 若m，n至少有一条与相交，则与相交；故A正确； 对B，因为m，n为异面直线，故作直线，且与相交，设，过空间任一 点P，一定能作一条直线l与垂直，所以一定能作一条直线l与m，n都垂直，B正确； 对C，由于设且，则，故 假设，又，与相交，且，则，故与已知矛盾， 所以m与n一定不垂直，C正确； 对D，设且，当时，不能作一条直线l与m，n都相交，故D错误； 故选：D． 空间直线、平面的平行的基本概念 题型一：直线与平面平行的基本概念 【例1】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线不相交 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行的定义可得出合适的选项. 【详解】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的任意一条直线都没交点，即都不相交. 故选：C. 【例2】下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断 【详解】对于A，由题意得，，而，， 平面，平面，平面，平面， 故平面平面，而平面，故平面，故A正确， 对于B，取的中点，底面中心，则，故与相交，故B错误， 对于C，，故平面，则平面，故C错误， 对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误， 故选：A 【题型专练】 1.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故选． 2.下面四个选项中一定能得出平面平面的是（ ） A．存在一条直线a，， B．存在一条直线a，， C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 【答案】D 【详解】如图，是长方体，平面ABCD为平面，平面ABB1A1为平面， 对于A，直线C1D1为直线a，显然，，而与相交，A不正确； 对于B，直线CD为直线a，显然，，而与相交，B不正确； 对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然，，，，而与相交，C不正确； 对于D，因a，b是异面直线，且，，过直线a作平面，如图， 则c//a，并且直线c与b必相交，而，于是得，又，即内有两条相交直线都平行于平面，因此，平面平面. 故选：D 3.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】对于A，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足； 对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MNAD，可得直线MN平面ABC，能满足； 对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MNBD，可得直线MN平面ABC，能满足； 对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足. 故选：D. 空间直线、平面的平行的判定 考点一：直线与平面平行的判定： 三种思路：思路一：构造中位线或线段成比例 思路二：构造平行四边形 思路三：证明面面平行得到线面平行 题型一：构造中位线证明线面平行 【例1】如图，在直三棱柱中，，，为的中点. 证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）使用线面平行判定定理证明即可； 【详解】（1） 如图，连接与交于点，则为中点，连接， ∵为中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【例2】如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别为AB，的中点. (1)证明:平面； 【答案】(1)证明详见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面. 【详解】（1）设，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 由于平面，平面， 所以平面. 【例3】正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行； 【详解】（1）证明：连接，设，连接 ∵是正三棱柱的侧面， ∴为矩形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【题型专练】 1．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE． 【答案】答案见解析 【分析】连接BD交AC于点O，可得EO∥BD1，结合直线与平面平行的判定定理即可得证. 【详解】连接BD交AC于点O，连接EO， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点， 又因为E为DD1的中点，所以EO为△BD1D的中位线，所以EO∥BD1， 又因为BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE． 2.如图，在直三棱柱中，已知为的中点. （1） 求证：平面. 【答案】连接与交于点，则是的中点，连接OD，如图， 因为D是AB的中点，所以,平面，平面， 平面. 3．如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理证明 【详解】证明：连接BD，交MC于F，连接EF，在菱形ABCD中， 三角形BMF与三角形FCD相似，且相似比为1:2，所以， 故，而BP是平面EMC外的直线，平面EMC，所以平面EMC． 题型二：构造平行四边形证明线面平行 【例1】如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD. 【详解】在正方体中，取AB中点E，连接CE，ME，如图， 因M是的中点，则ME//AA1//CC1，且， 又N是的中点，于是得ME//CN，且，则有四边形CEMN是平行四边形， 从而有MN//CE，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD. 【例2】在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点. (1)设为的中点，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，证明得到线线平行，从而证明线面平行； 【详解】（1）连接，， 因为点，，分别为，，的中点， 所以且，，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 【题型专练】 1．在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，点分别在线段上，且，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，由三角形中位线性质和平行四边形的判定可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论. 【详解】证明：取的中点，连接，； 在中，点分别为的中点，且． 在矩形中，点为的中点，且， 且，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面. 2．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理证明 【详解】证明：连接．因为N，K分别为的中点，所以且， 于是四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以∥平面． 题型三：平面与平面平行的判定 利用判定定理证明两个平面平行的一般思路： 第一步：在一个平面内找出两条相交直线. 第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面. 第三步：利用平面与平面平行的判定理得出结论. 【例1】如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【答案】见解析； 【详解】 取中点，连接，，， ∵为正方体，，为，中点， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 【例2】如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）在上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，可证明四边形、四边形CNEB是平行四边形，可得，CNBE，则，即可证明结论； （2）利用数据可证明HGFB，，利用线面平行的判定定理可得到HG平面，平面，然后利用面面平行的判定定理即可得证 （1） 在上取一点N使得DN＝1， 连接CN，EN，则AE＝DN＝1， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD， 又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC， 所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE， 所以， 所以四点共面； （2） 因为H是的中点，所以， 因为，所以， 因为，且， 所以， 所以， 所以HGFB， 因为HG平面，FB 平面，所以HG平面， 因为 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面，所以平面， 又平面 所以平面平面 【题型专练】 1．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：如图，连接． 因为，分别是，的中点，所以． 因为∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 同理可证平面． 又因为，，平面， 所以平面平面． 2．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF 【答案】证明见解析 【分析】根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行. 【详解】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以. 因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以 又平面BDF，平面BDF， 所以平面. 同理，，又平面BDF，平面BDF， 所以平面. 又，平面， 所以平面平面 题型四：面面平行证线面平行 【例1】几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析. 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定、性质推理作答. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，利用线面平行的性质及平行推比例式推理作答. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为分别为的中点，有，而平面平面， 则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有， 即有，而，于是得，平面平面， 因此平面，因，平面，则平面平面，又平面， 所以平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图， 因为平面，平面，平面平面，则， 即四点共面，由（1）及已知，， 得，即，又，则， 则有，即，点为线段上靠近点的三等分点， 所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点. 【例2】如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】连结BF，OF，证明，进而证得平面OCD和平面OCD，再经推理即可证得结论. 【详解】连结BF，OF，如图，因AB是圆O的直径，、是的两个三等分点，则，而OF=OB，即是正三角形， 于是得，则，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD， 又CD，BE均为圆柱的母线，则有，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD， 又，平面BEF，于是得平面平面OCD，而平面BEF， 所以平面OCD． 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 【答案】证明见解析. 【分析】取中点，连，，根据给定条件，结合线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答. 【详解】取中点，连，，如图， 因是的中点，则，又平面，平面，因此平面， 在梯形中，，是线段的中点，则，又平面，平面， 因此平面，而平面，，则平面平面，又平面， 所以平面． 2．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面． 【答案】证明见解析 【分析】取H是DG的中点，连接NH，MH，证明NH，MH都与平面平行，得面面平行，从而再得线面平行. 【详解】证明：设H是DG的中点，连接NH，MH， 由于M是CF的中点，所以MH∥CD， 由于MH平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以MH∥平面CDE． 由于N是EG的中点，所以NH∥DE， 由于由于NH平面CDE，DE⊂平面CDE， 所以NH∥平面CDE． 由于NH⋂MH＝H，平面， 所以平面MNH∥平面CDE， 由于MN⊂平面MNH，所以MN∥平面CDE． 线面平行面面平行性质定理的应用 考点一：线面平行性质定理的应用 ①直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 图形语言 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 作用 证明两直线平行 ②平面与平面平行的性质定理 文字 语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形 语言 符号 语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 作用 证明两直线平行 题型一：线面平行证线线平行 【例1】如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面． (1)证明：平面PBE； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面平行的性质进行证明即可. （1） 取PB中点，连接FG，EG， 因为点E、F分别为AD、PC的中点， 所以，， 因为四边形ABCD为长方形，所以，且， 所以，，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE； （2） 由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面， 所以. 【例2】如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】由平面平面，结合面面平行的性质可得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论. 【详解】证明：在正方体中，平面平面， 又因为平面平面＝l，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 【题型专练】 1．在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面． 求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，即可得到，从而得到平面，根据线面平行的性质即可得证； 【详解】（1）证明：连接，∵，分别为，的中点， ∴ 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴ 2．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点． 设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的性质定理证明， 【详解】（1）因为底面为矩形，所以. 又平面，且平面， 所以平面.又平面ABE，且平面平面， 所以. 又因为，所以 因为E为PC的中点，所以F为PD的中点. 题型二：面面平行证线线平行 【例1】如图,矩形平面,平面与棱交于点G． 求证：; 【答案】(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意，根据面面平行的判定定理证明平面与平面平行，再根据面面平行的性质定理得到线线平行； 【详解】（1）证明：由题知，矩形，，， 且平面，平面，， 平面，平面，， 平面平面， 平面与棱交于点G，且平面， 平面平面，平面平面，平面平面， 故，得证; 【例2】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1分别交于E，G两点． 求证：四边形AEFG为平行四边形； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及平面与平面平行的性质定理得出，， 再结合平形四边形的判断即可证明； (1) ∵平面平面， 平面平面且平面平面 ∴，同理可证：， 故四边形AEFG为平行四边形 【题型专练】 1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）. 作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）通过延伸平面内的直线来作出平面与平面的交线.通过面面平行的性质定理证得、，由此证得. （1） 如图，延长交的延长线于， 连接交于， 则所在的直线即为平面与平面的交线. 证明：∵平面平面， 平面平面，平面平面， ∴. 又∵平面平面， 平面平面， 平面平面， ∴，∴. 空间直线、平面的垂直 考点一：直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作 ②直线与平面垂直的判定定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直， 即 ③直线与平面垂直的性质定理 1.垂直于同一个平面的两条直线平行，即，a∥b 2.如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面，即a∥b， 考点二：平面与平面垂直 ①平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，即 ②直线与平面垂直的性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 即， 题型一： 线面垂直基本概念的理解 【例1】、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定定理分析判断即可. 【详解】当时，不一定成立，也有可能等情况； 当时，因为，所以； 综上：是的必要不充分条件. 故选：B. 【例2】已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（    ） A．若∥，则存在无数条直线，使得∥ B．若，则存在无数条直线，使得 C．若存在无数条直线，使得∥，则∥ D．若存在无数条直线，使得，则 【答案】D 【分析】由线面平得的性质定理判断A； 由线面垂直的定义判断B； 由线面平行的判断定理判断C； 当∥时，也满足条件，从而判断D. 【详解】解：对于A，若∥，则平行于过的平面与的交线，当∥时，∥，则存在无数条直线，使得∥，故A正确； 对于B，若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，故B正确； 对于C，若存在无数条直线，使得∥，，，则∥，C正确； 当∥时，存在无数条直线，使得，D错误. 故选：D. 【例3】下列命题正确的是（    ） A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行. B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直. C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行. 【答案】C 【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案. 【详解】对于A，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A错； 对于B，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B错； 对于C，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确； 对于D，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D错误； 故选：C 【例4】已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定D正确，举反例可判定ABC错误. 【详解】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误； 对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误； 对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误； 对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确； 故选：D 【题型专练】 1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定和性质，结合题意，即可容易判断和选择. 【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立； 若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立， 故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件. 故选：. 2．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可 【详解】对于A：，且，则，故A错误； 对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确； 对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误； 对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误； 故选：B 3．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解 【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误； 同理可知，错误； 若，可知与交于一点，且，所以，即D正确. 故选：D 题型二：线面垂直的证明（关键是证直线与平面内两条相交直线垂直） 证线线垂直的常用方法：1.看到等腰等边三角形，要想到三线合一 2.看到棱形，要想到对角线相互垂直 3.看到线面垂直，想到这条线垂直于面内的所有直线，得到线线垂直 4.知道边的长度比较多，要想到勾股定理 5.看到圆形，想到直径所对的圆周角是直角 6.看到面面垂直，要想到面面垂直的性质 【例1】在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②． 证明：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）在图①中，求出、，再由三角形相似求出、，即可得到即，根据图形翻折的性质得到，，即可得证； 【详解】（1）图①中，根据已知条件可得，，，． 因为， 所以，所以． 所以，， 因为，所以，即． 在图②中，因为，，，平面，平面， 所以平面． 【例2】如图，在棱长为1的正方体中，点E、F分别为棱BC、CD中点． 求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明即可； 【详解】（1）解：（1）如图，在平面ABCD上的射影为DE， 由E、F分别为棱BC、CD中点， 故， 同理，， 因为，、平面， 所以平面． 【例3】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，， (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据底面ABCD的性质，结合余弦定理勾股定理推出出CD⊥DM，再结合PD⊥DC即可推出CD⊥平面PDM， 【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点， 所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，由余弦定理可得, 则 所以CD⊥DM， 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，平面PDM，DM平面PDM， 所以CD⊥平面PDM. 【例4】如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且． (1)求证：平面PAC 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明来证得平面. （1） ∵PA为圆柱母线， ∴平面ACB， ∵平面， ∴， ∵AB为底面圆直径，∴， ∵平面APC，平面APC，， ∴平面PAC 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别是的中点. 证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过作辅助线，利用三角形、面面垂直的性质以及线面垂直的判断定理. 【详解】（1） 证明：如图，取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面， 所以平面. 连接，因为底面是边长为2的正方形，是的中点， 所以. 又是的中点，，所以. 因为，所以平面. 2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，． (1)求证：平面PAC； 【答案】(1)证明过程见详解 【分析】(1)要证平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线即可； 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又. 所以，所以，即. 又.PA，AC均在面PAC内，所以平面 3．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）方法一，利用勾股定理即及线面垂直的判定定理即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四，利用空间基底法即得； 【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明 由题设，知为等边三角形，设， 则，， 所以，， 又为等边三角形，则， 所以，， 则，所以， 同理，又，平面，平面， 所以平面； 4．如图，在正方体中，是棱的中点． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)直线平面，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论； （2）由正方形特征和线面垂直性质可得，，由此可得平面，由线面垂直性质可得，同理可得，由线面垂直的判定可得结论. 【详解】（1）直线平面，理由如下： 在图中，连接交于点，连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 又平面，平面，平面. （2）在图中，连接， 四边形为正方形，； 平面，平面，； 又，平面，平面， 平面，； 同理可得：平面，又平面，； ，平面，平面. 线面垂直证线线平行和垂直 题型一：线面垂直的证线线平行 【例1】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质即可得出答案. 【详解】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合， 所以． 故选：B. 【例2】在空间中，下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直 C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D． 【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确； 平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确； 根据线面垂直的性质可知：D正确； 故选：D． 【例3】圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面 【答案】证明见解析 【分析】连接，，，可证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定定理即可证明 【详解】证明：连接，，，可得平面， ∵平面，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面 【题型专练】 1．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（    ） A．直线、都垂直于直线 B．直线、都垂直于平面 C．直线、都与直线成角 D．直线、都与平面成角 【答案】B 【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，都与垂直，可能，A选项错误. B选项，都垂直于平面，则，B选项正确. C选项，都与成角，可能相交，C选项错误. D选项，都与平面成角，可能异面，D选项错误. 故选：B 2.已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面. (1)若，求证：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由勾股定理逆定理得线线垂直，由面面垂直得线面垂直，再得线线垂直； （2）分别取，中点，，由面面垂直得线面垂直，再得线线平行，证得平行四边形为平行四边形后可得证结论． (1) 因为、是全等的正三角形，所以， 又因为，所以，故， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； (2) 分别取，中点，，连接，，， 因为是等边三角形，所以，， 因为平面平面，平面， 所以平面， 同理平面，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以． 题型二：线面垂直的证线线垂直 【例1】如图，四棱锥中，，平面平面． (1)求证：； (2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用线线垂直的判定定理证明即可（2）过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，结合（1）的结论，找出四面体的高和相应底面图形的面积，代入公式计算即可 【详解】（1）因为 所以为等腰三角形，为的中点 所以, 由平面平面，且平面平面= 又平面 所以平面 所以. （2）因为 所以 由， 所以平面 所以, 因为 所以 过作的延长线交于点，连接， 在过作交于点，如图所示， 则由平面，平面 所以且 所以平面， 所以为四面体的高 又由， 所以四边形为正方形，四边形为矩形， 所以,， 所以在直角中， 所以 在中，， 所以 在中，由 所以 将，代入计算得： 所以 在直角中， 所以 即多面体的体积为. 【例2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． (1)求证：； (2)设是的中点，求证：平面． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得AE⊥BC，根据BC∥AD，推断出AE⊥AD，又PA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面PAE，最后利用线面垂直的性质可得AD⊥PE； （2）取AD的中点G，易得FG∥PA，CG∥AE，即可证明平面CFG∥平面PAE，进而可得CF∥平面PAE． 【详解】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以． 又，所以． 又底面底面，所以． 因为平面平面，所以平面， 平面，所以． （2）取的中点，连接， 是中点，，， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又平面平面， 平面平面， 平面，平面． 【例3】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为． (1)求四棱锥的体积； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）过点作底面的垂线，根据二面角求得，再结合棱锥的体积公式即可求得结果； （2）利用三角形相似证明垂直于在底面的投影，再利用线面垂直，即可证明线线垂直. 【详解】（1）取的中点为，连接，过点作底面的垂直，垂足为，连接，如下所示： 因为三角形为边长的等边三角形，故可得，且； 又面面，故，又面，， 故面，又面，故； 又面面面， 则即为与底面所成二面角的平面角，即， 故， 则四棱锥. （2）连接，延长交于点，如下所示： 因为，，，， 则，故△，，故，， 即，又面面，故； 面，故面，又面，故. 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面后可得证线线垂直； （2）由棱锥体积公式计算． 【详解】（1）∵底面，平面，∴， 又∵底面为正方形，∴， 又，，平面，∴平面， 又平面，∴； （2）∵平面，∴是三棱锥的高， ． 2．如图，是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是的中点，与交于点E，点F为的中点，且. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，即可得到；（2）利用几何关系判断出，再求出即可. （1） 因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为是圆O的直径，所以. 又平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2） 在中，点D是的中点，点O是的中点，与交于点E， 所以E为的重心，则. 因为点F为的中点，所以， 所以， 所以，即. 在中，， 由勾股定理可得： ,解得：， 所以，则， 所以. 所以. 面面垂直的判定定理及性质 题型一：面面垂直判定定理 【例1】如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． 求证：平面平面； 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直； 【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB， 因为， 所以⊥AD， 因为PAAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 因为CFAB，所以CF⊥平面PAD， 因为CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD； 【例2】图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2． (1)求证：平面平面； (2)已知点P为线段上一点，且，求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明， （2）由棱锥的体积公式求解， 【详解】（1）由题意可知，，因为且， 所以四边形为菱形，连接交于点，则， 在中，，所以， 在图2中，，因为，所以， 又平面，平面. 所以平面，又平面，故平面平面； （2）平面，所以到面距离为，所以P到面距离为， ，所以 【例3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答. （2）根据给定条件，利用等体积法计算作答. 【详解】（1）在四棱锥中，因是的中点，则， 在直角中，，有，在矩形中，，有， 又因，在中，，则， 而平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，且， 于是得平面，又平面，则，即是直角三角形， 而，则面积，又面积， 又平面，设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【题型专练】 1．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点． (1)求证：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据线线垂直得线面垂直，进而由面面垂直的判断即可求证， （2）根据面积比得体积比，根据等体积法即可求解. 【详解】（1）由，可知 ,由于 故， 因为底面，平面，所以，又，故, 平面,所以平面,又平面，故平面平面. （2）由，可知，因此， 因此, 故四棱锥的体积为2 2．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后再根据面面垂直的判定定理即可说明平面平面； （2）首先根据（1）平面的条件，可得， 方法一，借助相似三角形求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可. 方法二，通过建立平面直角坐标系，利用平面向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可. 方法三，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可. 方法四，通过向量线性运算及数量积运算求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为底面平面，所以， 又， 平面，平面， 所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）方法一：相似三角形法 由（1）可知.于是，故. 因为，所以，即. 故四棱锥的体积. 3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而证明平面，，由，得； 由等腰三角形的三线合一得，从而平面，由此能证明平面平面. （2）由平面得到，即可求解. 【详解】（1）证明： 因为底面，底面，所以， 又，，、平面，∴平面， 平面，； 又在平行四边形，，则， ∵在中，，为中点，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，平面平面. （2）由题知，， 则在中，，是中点，所以， 即， 故平行四边形的面积； 又因为平面，， 所以四棱锥的体积. 题型二：面面垂直性质的应用 【例1】已知：平面平面，，直线l在平面内，且，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】 设直线与直线的交点为，在平面内过点作直线， 因为，，，，，，所以直线，所成角为直角，即 又，，，所以. 【例2】如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中， 平面平面. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）因，则为等边三角形，即， 又，有，在中，， 于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，． (1)求证：平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质定理作答. （1） 在四棱锥中，因平面平面ABCD，平面平面， 又，平面， 所以平面ABCD. 2．在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）由中位线性质可得，结合四边形为正方形可得，然后利用线面平行的判定定理即可； （2）利用面面垂直的性质定理可得到平面，则，再利用等边三角形可得到，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （1） 因为点M，N分别是的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平面底面，平面底面，，底面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以是等边三角形， 因为点M是的中点，所以， 因为，平面，所以平面； 3．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直性质定理，可得线面垂直，再根据面面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意，根据勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理与性质，可得答案. （1） 证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，∴平面平面； （2） 证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴， 由（1）知，平面，∵平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴. 空间几何体体积及点到面的距离问题 题型一：三棱锥体积 三种思路：1.直接找高 2.转换顶点 3.转化为大的棱锥的倍数 【例1】如图，在正三棱锥P﹣ABC中，，． (1)求P﹣ABC的体积． 【答案】(1) 【详解】（1）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心， 连接AO并延长，交BC于N，则AN＝ ，AO＝． ∴PO＝． ∴． 【例2】如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD. (1)若M为PB的中点，证明：面PAD； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CDHM为平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行； （2）利用求解三棱锥的体积. （1） 取AP的中点H，连接DH，MH， 因为M为PB的中点， 所以HMAB且， 因为，，， 所以， 所以HMCD，且HM=CD， 所以四边形CDHM为平行四边形， 所以DHCM， 因为平面PAD，平面PAD， 所以CM平面PAD. （2） 取AD的中点E，连接PE， 因为为等边三角形， 所以PE⊥AD， 因为平面平面ABCD，交线为AD，平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD， 因为，， 所以CD⊥BC， 因为， 所以， 过点D作DN⊥AB于点N， 则四边形BCDN为矩形，所以BN=CD=，， 因为，所以， 由勾股定理得：， 所以，， 则三棱锥的体积. 【例3】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点． (1)证明：平面ACM； (2)求三棱锥N－ACM的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接BD交AC于E，连接EM，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）证明CD⊥平面PAD，再根据即可得出答案. （1） 证明：连接BD交AC于E，连接EM， 因为ABCD是正方形，且BD交AC于E，所以E为BD的中点， 又点M，N分别是棱PD的三等分点，所以M为DN的中点，所以， 又平面ACM，平面ACM， 所以平面ACM； （2） 解：因为PA⊥平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以PA⊥CD，PA⊥AD， 因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD， 又，AD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 在Rt△PAD中，，点M，N分别是棱PD的三等分点， 所以， 所以． 【题型专练】 1．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：∥平面； 【答案】(1)5； (2)详见解析； 【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； （2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得； （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得. （1） 因为，，， 所以，即，又D是AB的中点， 所以； （2） 设与相交于点，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 2．如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得结论成立. （2）先判断出三棱锥的高，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积. 【详解】（1）因为分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由题知是等边三角形，O为的中点， 所以，且. 由题可知为等腰直角三角形，. 又因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面， 所以三棱锥的高为， 其体积为. 题型二：四棱锥的体积 【例1】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点. 求四棱锥的体积； 【答案】(1)体积为1 【分析】（1）根据已知条件因为平面，所以棱锥的高，直接利用棱锥的体积公式求值即可得解； 【详解】（1）因为平面，所以 即四棱雉的体积为1； 【例2】如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又． (1)求证：； (2)求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)根据题意和面面垂直的性质定理可得平面即可得到证明； (2)根据题意，找出底面和高，并求出底面积，求出高，结合锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，由平面， 得； （2）由题意知， 多面体即为四棱锥， 则 ， 即多面体的体积为. 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点. 求四棱锥的体积； 【答案】(1)； 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得； 【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中， 所以，点到平面为高， 又因为， 所以，四棱锥的体积； 2．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为． (1)求四棱锥的体积； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）过点作底面的垂线，根据二面角求得，再结合棱锥的体积公式即可求得结果； （2）利用三角形相似证明垂直于在底面的投影，再利用线面垂直，即可证明线线垂直. 【详解】（1）取的中点为，连接，过点作底面的垂直，垂足为，连接，如下所示： 因为三角形为边长的等边三角形，故可得，且； 又面面，故，又面，， 故面，又面，故； 又面面面， 则即为与底面所成二面角的平面角，即， 故， 则四棱锥. （2）连接，延长交于点，如下所示： 因为，，，， 则，故△，，故，， 即，又面面，故； 面，故面，又面，故. 题型三：多面体的体积 【例1】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且. (1)求证：平面平面； (2)求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直； （2）利用割补法分别计算四棱锥与三棱锥的体积，再求和即可. 【详解】（1） 如图所示，连接， 平面，平面， ， 四边形为菱形， ， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2） 如图所示，取中点，连接， 四边形为菱形，且， ，， 平面，平面， ， 又，且，平面， 平面， 所以四棱锥的体积为， 又因为平面， 所以三棱锥的体积， 所以几何体的体积. 【例2】如图所示，在直三棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，求几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接交于，连接，证明后得证线面平行； （2）由直三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得． （1） 连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 因为，，所以，所以，， ． 【题型专练】 1．如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求几何体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只须证明平面与平面构成二面角的平面角为即可； （2）将几何体分割成两部分，分别求体积即可． （1） 证明：因为是边长为2的菱形，， 所以和都是边长为2的正三角形， 因为平面，所以、， 又因为与平面所成的角为，所以，所以， 取中点，连接、， 又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，， 又因为，取中点，连接、， 因为，所以， 因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角， 又因为，，， 所以，所以， 所以平面平面． （2） 解：因为平面平面 所以平面平面 设的中点，连接，有 因为平面平面 所以面，即是四棱锥B-CDEF的高 易求    所以 2．如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面. (1)证明：平面； (2)若，求该多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，由四边形是平行四边形， 得，即可证明平面； （2）分别计算，，再由计算多面体的体积即可. (1) 如图， 连接，交于点，取的中点，连接，. 因为底面是正方形，所以是的中点，所以，. 又，，所以，， 故四边形是平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. (2) 设该多面体的体积为，则. 因为底面，所以， 又，，所以平面，同理可得平面. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 故该多面体的体积. 题型四：点到面的距离问题（等体积法） 【例1】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点. (1)求证：直线OE⊥平面ABCD； (2)若，，求点G到平面ADE的距离. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用面面垂直的性质得到平面，再利用三角形的中位线、平行四边形的判定和性质得到，进而得到平面； （2）先利用线面平行的判定定理得到平面，将点到平面ADE的距离等于点到平面ADE的距离，再利用和体积公式进行求解. 【详解】（1）连接、，因为，所以， 又因为面面，面面， 面，所以平面； 因为、分别为、的中点， 所以，且， 又因为，且， 所以，且， 即四边形为平行四边形， 所以，则平面； （2）因为，平面， 平面，所以平面， 即点到平面ADE的距离等于点G到平面ADE的距离， 设所求距离为，则； 由（1）得, ， 则， 因为，，且， 所以， 因为，，且， 所以， 又，所以为等腰三角形， 且边的高为， 则, 所以， 解得， 即点G到平面ADE的距离为. 【例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求点到平面距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）运用平行四边形思想得线线平行，根据线面平行判定定理证明即可； （2）运用等体积法求点到平面距离即可. 【详解】（1）证明：取 的中点 ,连接 , 因为 是 中点， 是 中点， 所以 ,且， 所以 ,且， 所以 ,且， 所以四边形 是平行四边形， 所以 , 因为 平面 ， 平面， 所以平面； （2）由题知， 所以， 设点到平面的距离为 ， 因为， 所以， 因为， 所以， 易得， 在 中，， 所以， 因为， 所以， 所以， 解得， 所以点到平面距离为. 【题型专练】 1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直性质得，根据已知可证，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H，由面面垂直的性质有面PAM，即BH的长为B到面PAM的距离，等面积法求长度即可. 【详解】（1）因为底面，平面，所以. 底面为矩形，且，，则， 所以Rt△Rt△，易知. 又，面，所以平面，而平面， 所以平面平面. （2）设AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H， 由①知，面面PBD，面面，且面， 因此面PAM，线段BH的长为点B到平面PAM的距离. 由，解得. 因此点B到平面PAM的距离为. 2．如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的体积. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 平面，平面，平面. （2）解：连接、， 平面，、平面，，， ，，、平面，平面， 且，故四边形为矩形，则， 故， 由勾股定理可得，， 所以，，且， ，， 设点到平面的距离为，则，解得. 因此，点到平面的距离为. 线面角的几何求法 考点一：线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 过平面外一点做平面，交平面于点; 连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形． 即 （其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 题型一：线面角 【例1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】由于平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解． 【详解】连接AC，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝ 因为平面ABCD， 所以为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 因为为锐角， 所以 故选：B. 【例2】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱锥底面边长为，则侧棱长为，作图确定侧棱与底面所成角，解直角三角形即可得答案. 【详解】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设正三棱锥底面边长为， 则侧棱长为∶，设顶点A在底面的射影为O点，连接并延长交于E， 则E为的中点，则为侧棱与底面所成角， 由于为正三角形，则O为其中心， ， ， 在中， ， 即侧棱与底面所成角的余弦值等于， 故选：A. 【例3】在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点． (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明面； （2）首先证明平面平面，说明为所求角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）连结AC交BD于点O，连结． 在正四棱柱中，面ABCD， 又∵ABCD，∴ ∵四边形ABCD为正方形，∴ 又∵，，面，∴面，又∵面 ∴ （2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面， 又面面， ∴为直线与平面所成的平面角， ∵正四棱柱中，，， 分别在，，中， 解得，， 所以， 故与平面所成角的余弦值为． 【题型专练】 1.已知正方体，则与平面所成角的正切值为______ 【答案】 【分析】利用平面，可得为直线与平面所成角，利用正切函数可得结论. 【详解】解：如图，连接 在正方体中，平面，平面，则 所以直线与平面所成角为角， 设正方体的棱长为，所以，则 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 2．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面. (1)证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答. （2）取BD中点O，利用线面角求出四棱锥的高PO，再计算体积作答. 【详解】（1）因，则为等边三角形，即， 又，有，在中，， 于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取BD中点O，连PO，如图，，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面，则平面， 连接AO，则AO为PA在平面ABCD内的射影，即PAO为PA与平面ABCD所成角， 有，则，而，于是得， 梯形的面积为， 所以四棱锥的体积. 二面角的几何求法 考点一：面与面的夹角（二面角） ①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角 或者是二面角） 图1 图2 ②二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ． 题型一：二面角选填题 【例1】如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______． 【答案】## 【分析】根据与二面角大小互补进行求解. 【详解】设二面角的大小为， 因为，，垂足为、， 所以，又，所以. 故答案为： 【例2】如图，大小为的二面角的棱上有两个点A，B，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，则_____________. 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解. 【详解】根据题意，， 由二面角大小为，可得， ， 所以， 故答案为： 【题型专练】 1.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴， ∴这个二面角的度数为， 故选：C. 2．（多选题）在正方体中，分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的余弦值是 【答案】AC 【分析】利用正方体中的平行、垂直关系求解各选项即可. 【详解】设正方体的棱长为， 选项A：因为分别是的中点，易得，， 又因为，所以四边形是菱形，正确； 选项B：如图所示 因为，所以直线与所成角即为与所成角， 因为，所以直线与所成的角为，错误； 选项C：如图所示 因为平面，所以直线与平面所成角即为， 因为，所以，正确； 选项D：如图所示，设交于， 由正方体，得为中点，， 所以，， 因为平面平面，所以即为平面与平面所成角， 因为，， 所以，错误， 故选：AC. 题型二：二面角解答题 【例1】如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小. （2）判断二面角的平面角，并求得角的大小. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 【例2】如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）根据三角形中位线定理、线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理、定理进行求解即可. 【详解】（1）设的中点为，过作，垂足为，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为是正三棱柱，所以面侧面， 而面侧面，所以侧面， 因为截面侧面，截面侧面， 所以侧面，因此， 因为是正三棱柱，所以侧面， 而平面侧面，所以， 因此是平行四边形，所以， 因为，所以，因为的中点为，所以是的中点， 于是有，而且，所以是中点， 即； （2）延长交于点， 设，由（1）可知：是的中点， 因此，因为， 所以， ，， 因为，所以， 于是是平面与平面所成二面角的平面角， 因为，所以矩形是正方形， 因此. 【题型专练】 1．如图，在正方体中. (1)求证：平面； (2)作出二面角的平面角，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)图形见解析，理由见解析. 【分析】（1）由正方体的性质可得为平行四边形，即可得到，从而得证. （2）取、中点分别为、，连接、，则为二面角的平面角，根据正方体的性质可得，再证、，即可得证. (1) 证明：∵是正方体， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面． (2) 解：取、中点分别为、，连接、，则为二面角的平面角， 理由如下： 设正方体的棱长为，则，所以． ∵、分别为、中点， ∴． 在正方体中，平面，平面， ∴， ∴， ∴为二面角的平面角． 2．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点． (1)求证：平面BDE； (2)求证：平面BDF； (3)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）由线面垂直的判定定理证明， （3）过作垂线，交于点，连接，即为二面角的平面角，从而得解. 【详解】（1）记交点为，则且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面， 平面． （2）由题意得，平面平面， 而平面平面，平面， 平面，而平面， ， ，，则四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面． （3）过作垂线，交于点，连接， 由，平面，故平面， 平面，， 而，，平面，平面， 平面， 故即为二面角的平面角， 而，，故， 二面角的大小为， 3．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，M是底面边上的中点，N是侧棱上的点，且． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件可证明面，然后可得为二面角的平面角，然后求出答案即可； （2）过在面内作直线，结合（1）可证明平面，然后求出的长度即可． 【详解】（1） 因为是底面边上的中点， 所以，又， 所以面， 因为面，面，所以，， 所以为二面角的平面角． 又，， 连接， ， 所以， 故所求二面角的平面角的余弦值为． （2）过在面内作直线，为垂足． 又平面，平面， 所以． 因为，所以平面，故即为到平面的距离， 在中，， 故点到平面的距离为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修2学习材料---立体几何初步 基本立体图形 考点一：多面体与旋转体 ①多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． ②旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 考点二：几种常见的多面体 ①棱柱 1.棱柱的定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 2.棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 3.棱柱的表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如三棱柱 4.棱柱的分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按棱柱的性质分类： (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． (5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 5.棱柱的简单性质： (1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． ②棱锥 1.棱锥的定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 2.棱锥的有关概念：多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 3.棱锥的表示法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如四棱锥S－ABCD 4.棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按棱锥的性质分类： (1)正棱锥：底面为正多边形，且顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥． (2)正四面体：每个面均为正三角形的三棱锥． 5.棱锥的性质： (1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形． ③棱台 1.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 2.棱台的有关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 3.棱台的表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台，如四棱台ABCD－A′B′C′D 4.棱台的分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 5.棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形． 考点三：几种常见的旋转体 ①圆柱 1.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 2.圆柱的有关概念：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 3.圆柱的表示法：用表示它的轴的字母，即表示两底面圆心的字母表示，可记作圆柱O′O 4.圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形． (4)过任意两条母线的截面是矩形． ②圆锥 1.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2.圆锥的有关概念： 如上图所示，轴为SO，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径3.圆锥的表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO 4.圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆． (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形． ③圆台 1.圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 2.圆台的有关概念： 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 3.圆台的表示法：用表示轴的字母表示，上图中的圆台可记作圆台OO′ 4.圆台的简单性质： (1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形． ④球 1.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 2.球的有关概念： 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 3.球的表示法：球常用表示球心的字母表示，如上图中的球记作球O 题型一：简单几何体的识别 【例1】下列几何体不属于棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型专练】 1．观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（    ） A．几何体是棱台 B．几何体是圆台 C．几何体是棱锥 D．几何体不是棱柱 2．（多选）下列关于棱柱的说法正确的是(    ) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 题型二：平面图形旋转形成的几何体 【例1】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是　　． 【例2】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【题型专练】 1．下列命题中，正确的个数是（    ） ①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个； ②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面； ③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面. A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列结论中正确的是（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台 C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱 D．圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球 立体图形的直观图 考点一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面． ②在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． ③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 考点二：画空间几何体的直观图的步骤 ①在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°． ②画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． ③在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． ⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图． 题型一：斜二测画法的辨析 【例1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【例2】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或 B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 【题型专练】 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 2．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（　　） A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 题型二：斜二测画法画平面直观图 【例1】水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 【例2】如图，正方形是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若，则平面图形ABCD的面积是______. 【题型专练】 1．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（    ） A．1 B． C．2 D． 题型三：由直观图还原几何图形 【例1】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C．8 D． 2．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2的等腰梯形，则原四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 简单几何体的表面积与体积 考点一：多面体的表面积和体积 ①柱体 1.棱柱的侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示； 圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示． 2.柱体的表面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底． 3.柱体的体积 柱体的底面积S，高为h，其体积V＝Sh． ②锥体 1.侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示． 2.锥体的面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底． 3.锥体的体积 锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh． ③台体的表面积 1.侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示． 2.台体的表面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底． 3．台体的体积 台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝(S＋＋S′)h. ③球的表面积和体积 1．球的体积 球的半径为R，那么它的体积V＝ πR3． 2．球的表面积 球的半径为R，那么它的表面积S＝ 4πR2． 题型一：棱柱表面积体积 【例1】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______． 【例2】某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______． 【题型专练】 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______． 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________. 题型二：棱锥表面积体积 【例1】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【例2】在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为___________. 【题型专练】 1.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（ ） (注丈尺) A． B． C． D． 2.距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（    ） A． B． C． D． 题型三：棱台表面积体积 【例1】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（    ） A．80 B．240 C．350 D．640 【例2】已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．36 B． C． D．48 【例3】已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型四：圆柱表面积体积 【例1】我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（ dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（    ）（注:1丈=10尺，取3） A．1088 平方尺 B．912 平方尺 C．720 平方尺 D．656 平方尺 【题型专练】 1．用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．8π B．16π C．24π D．32π 2．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 题型五：圆锥表面积体积 【例1】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______． 【例2】在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　) A． B． C．3π D．4π 【题型专练】 1．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（    ） A．27π B． C． D．16π 2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型六：圆台表面积体积 【例1】木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（ ） A． B． C． D． 【例2】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ） A．2 B． C．4 D．8 【例3】已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（    ）参考公式：台体的体积公式为. A． B． C． D． 2．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型七：球的表面积体积 【例1】 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 . 【例2】一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的个数是（ ） ①圆柱的侧面积为； ②圆锥的侧面积为； ③圆柱的侧面积与球面面积相等； ④圆锥的表面积最小. A．1 B．2 C．3 D．4 【题型专练】 1．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．己知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，则球心O到平面ABC的距离为_____________． 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一：平面的基本概念 ①平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象的概念 ②平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如图2所示 ③平面的表示方法： 1.用一个希腊字母α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α 2.用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD 3.用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面BCD等 4.用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形顶点)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD 考点二：三个基本公理及其推论 公理1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 文字语言 过不共线的三点，有且只有一个平面 图形 语言 符号语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 作用 确定平面 证明点共面 公理2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 图形 语言 符号语言 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 作用 判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 P∈α∩β⇒α∩β＝l且P∈l 作用 (1) 判定平面相交 (2) 证明点共线 (3) 证明线共点 考点三：点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 考点四：空间中直线与直线之间的位置关系 ①异面直线 1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． ②空间两条直线的位置关系 1.相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． 2.平行直线——同一平面内，没有公共点． 3.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． ③两条异面直线所成的角(夹角) 1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 考点五：平面与平面之间的位置关系 ①空间中直线与平面的位置关系 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4.画法：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． ②两个平面之间的位置关系 1.两个平面平行——没有公共点； 2.两个平面相交——有一条公共直线． 3.符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． 4.画法：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 题型一：平面的基本概念 【例1】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【例2】下列命题正确的是（    ） A．三个点可以确定一个平面 B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 C．一条直线和一个点可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 【例3】（多选）已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理正确的是（ ） A．，，， B．，， C．， D．A、B、，A、B、，且A、B、M不共线、β重合 【题型专练】 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 2.下列命题正确的是（ ） A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行 B．经过空间任意三点只可以确定一个平面 C．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 D．一条直线与一个平面可能有无数个公共点 题型二：异面直线的概念 【例1】两条异面直线，指的是（    ） A．在空间内不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D．不在同一平面内的两条直线 【例2】有以下命题： ①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内； ②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和也是异面直线； ③四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内； ④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等. 其中正确命题的序号是___________.（把你认为正确命题的序号都填上） 【题型专练】 1．在空间中，给出下列命题：其中真命题是（　　） A．分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线 B．同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行 C．四边相等的四边形是菱形 D．有三个角为直角的四边形是矩形 2．a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：三点共线四点共面问题 【例1】已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A．B．C．D． 【例2】（多选题）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【例3】如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：，必相交且交点在直线上． 【题型专练】 1．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 2．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 3．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点． (1)证明：，，，四点共面． (2)证明：，，三线共点． 题型四：异面直线所成角 【例1】如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 题型五：直线与平面的位置关系 【例1】若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　） A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 【例2】已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（    ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 【题型专练】 1．（多选题）下列说法不正确的是（    ） A．AB为平面外的线段，若A､B到平面的距离相等，则 B．若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角不一定相等 C．若直线直线b，则a平行于过b的所有平面 D．若直线平面，直线平面，则 2．已知m、n为不同的直线，为不同的平面．则下列命题中错误的是（    ） A．m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交； B．m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直； C．与l都不垂直，则m与n一定不垂直； D．m，n为异面直线、过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交． 空间直线、平面的平行的基本概念 题型一：直线与平面平行的基本概念 【例1】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线不相交 【例2】下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（    ） A．B．C．D． 【题型专练】 1.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A．B．C．D． 2.下面四个选项中一定能得出平面平面的是（ ） A．存在一条直线a，， B．存在一条直线a，， C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 3.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ） A．B．C．D． 空间直线、平面的平行的判定 考点一：直线与平面平行的判定： 三种思路：思路一：构造中位线或线段成比例 思路二：构造平行四边形 思路三：证明面面平行得到线面平行 题型一：构造中位线证明线面平行 【例1】如图，在直三棱柱中，，，为的中点. 证明：平面； 【例2】如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别为AB，的中点. 证明:平面； 【例3】正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. 证明：平面； 【题型专练】 1．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE． 2.如图，在直三棱柱中，已知为的中点. 求证：平面. 3．如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC． 题型二：构造平行四边形证明线面平行 【例1】如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD. 【例2】在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点. 设为的中点，求证：平面； 【题型专练】 1．在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，点分别在线段上，且，．求证：平面. 2．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面． 题型三：平面与平面平行的判定 利用判定定理证明两个平面平行的一般思路： 第一步：在一个平面内找出两条相交直线. 第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面. 第三步：利用平面与平面平行的判定理得出结论. 【例1】如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【例2】如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 【题型专练】 1．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 2．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF 题型四：面面平行证线面平行 【例1】几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由. 【例2】如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 2．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面． 线面平行面面平行性质定理的应用 考点一：线面平行性质定理的应用 ①直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 图形语言 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 作用 证明两直线平行 ②平面与平面平行的性质定理 文字 语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形 语言 符号 语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 作用 证明两直线平行 题型一：线面平行证线线平行 【例1】如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面． (1)证明：平面PBE； (2)证明：． 【例2】如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面 【题型专练】 1．在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面． 求证：； 2．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点． 设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点； 题型二：面面平行证线线平行 【例1】如图,矩形平面,平面与棱交于点G． 求证：; 【例2】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1分别交于E，G两点． 求证：四边形AEFG为平行四边形； 【题型专练】 1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）. 作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 空间直线、平面的垂直 考点一：直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作 ②直线与平面垂直的判定定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直， 即 ③直线与平面垂直的性质定理 1.垂直于同一个平面的两条直线平行，即，a∥b 2.如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面，即a∥b， 考点二：平面与平面垂直 ①平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，即 ②直线与平面垂直的性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 即， 题型一： 线面垂直基本概念的理解 【例1】、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（    ） A．若∥，则存在无数条直线，使得∥ B．若，则存在无数条直线，使得 C．若存在无数条直线，使得∥，则∥ D．若存在无数条直线，使得，则 【例3】下列命题正确的是（    ） A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行. B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直. C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行. 【例4】已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 【题型专练】 1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 题型二：线面垂直的证明（关键是证直线与平面内两条相交直线垂直） 证线线垂直的常用方法：1.看到等腰等边三角形，要想到三线合一 2.看到棱形，要想到对角线相互垂直 3.看到线面垂直，想到这条线垂直于面内的所有直线，得到线线垂直 4.知道边的长度比较多，要想到勾股定理 5.看到圆形，想到直径所对的圆周角是直角 6.看到面面垂直，要想到面面垂直的性质 【例1】在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②． 证明：直线平面； 【例2】如图，在棱长为1的正方体中，点E、F分别为棱BC、CD中点． 求证：平面； 【例3】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，， 证明：平面； 【例4】如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且． 求证：平面PAC 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别是的中点. 证明：平面； 2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，． 求证：平面PAC； 3．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，. 证明：平面； 4．如图，在正方体中，是棱的中点． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求证：直线平面． 线面垂直证线线平行和垂直 题型一：线面垂直的证线线平行 【例1】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 【例2】在空间中，下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直 C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【例3】圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面 【题型专练】 1．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（    ） A．直线、都垂直于直线 B．直线、都垂直于平面 C．直线、都与直线成角 D．直线、都与平面成角 2.已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面. (1)若，求证：； (2)证明：. 题型二：线面垂直的证线线垂直 【例1】如图，四棱锥中，，平面平面． (1)求证：； (2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积． 【例2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． (1)求证：； (2)设是的中点，求证：平面． 【例3】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为． (1)求四棱锥的体积； (2)证明：． 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 2．如图，是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是的中点，与交于点E，点F为的中点，且. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 面面垂直的判定定理及性质 题型一：面面垂直判定定理 【例1】如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． 求证：平面平面； 【例2】图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2． (1)求证：平面平面； (2)已知点P为线段上一点，且，求三棱锥体积． 【例3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【题型专练】 1．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点． (1)求证：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积． 2．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积. 3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 题型二：面面垂直性质的应用 【例1】已知：平面平面，，直线l在平面内，且，求证：直线平面. 【例2】如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中， 平面平面. 证明：； 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，． 求证：平面ABCD； 2．在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 3．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 空间几何体体积及点到面的距离问题 题型一：三棱锥体积 三种思路：1.直接找高 2.转换顶点 3.转化为大的棱锥的倍数 【例1】如图，在正三棱锥P﹣ABC中，，． 求P﹣ABC的体积． 【例2】如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD. (1)若M为PB的中点，证明：面PAD； (2)求三棱锥的体积. 【例3】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点． (1)证明：平面ACM； (2)求三棱锥N－ACM的体积． 【题型专练】 1．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：∥平面； 2．如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 题型二：四棱锥的体积 【例1】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点. 求四棱锥的体积； 【例2】如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又． (1)求证：； (2)求多面体的体积． 【题型专练】 1．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点. 求四棱锥的体积； 2．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为． (1)求四棱锥的体积； (2)证明：． 题型三：多面体的体积 【例1】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且. (1)求证：平面平面； (2)求多面体的体积. 【例2】如图所示，在直三棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，求几何体的体积. 【题型专练】 1．如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求几何体的体积 2．如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面. (1)证明：平面； (2)若，求该多面体的体积. 题型四：点到面的距离问题（等体积法） 【例1】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点. (1)求证：直线OE⊥平面ABCD； (2)若，，求点G到平面ADE的距离. 【例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求点到平面距离． 【题型专练】 1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 2．如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 线面角的几何求法 考点一：线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 过平面外一点做平面，交平面于点; 连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形． 即 （其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 题型一：线面角 【例1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【例2】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【例3】在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点． (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值． 【题型专练】 1.已知正方体，则与平面所成角的正切值为______ 2．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面. (1)证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 二面角的几何求法 考点一：面与面的夹角（二面角） ①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角 或者是二面角） 图1 图2 ②二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ． 题型一：二面角选填题 【例1】如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______． 【例2】如图，大小为的二面角的棱上有两个点A，B，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，则_____________. 【题型专练】 1.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）在正方体中，分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的余弦值是 题型二：二面角解答题 【例1】如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【例2】如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 【题型专练】 1．如图，在正方体中. (1)求证：平面； (2)作出二面角的平面角，并说明理由. 2．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点． (1)求证：平面BDE； (2)求证：平面BDF； (3)求二面角的大小． 3．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，M是底面边上的中点，N是侧棱上的点，且． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$