第七章复数辅导讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修2学习材料---复数 复数的概念 考点一：虚数单位的概念 虚数单位：，规定，则，， 所以虚数单位是以为周期循环的。 考点二：复数的引入 对于方程，由于，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数，使得，则此方程的解可写成， 考点三：复数的定义 ①我们把形如(a、b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足。 其中a和b分别叫做复数z的实部与虚部。 ②全体复数构成的集合叫做复数集，用来表示，复数集包含实数集和虚数集。 ③为实数，为虚数，为纯虚数 ④虚数不能比较大小，但不等说复数不等比较大小，因为复数集包含实数集和虚数集。 考点四：复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 考点五：复数的几何意义 ①复平面的概念：用平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． ②复数的几何意义 1.复数与复平面内的点是一一对应关系． 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示． ③复数的模：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 题型一：复数的相关概念 【例1】若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】复数为纯虚数，即，且，判断其与的推断关系. 【详解】复数为纯虚数，等价于，且， ，且可推出，但，不一定得到，且， 所以 “复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 【例2】已知复数z满足，若z为纯虚数，则（    ） A．-3 B． C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义列关系式求即可. 【详解】因为为纯虚数，所以且，所以． 故选：C. 【例3】下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 【例4】若复数，则实数m的值为_________. 【答案】4 【分析】由大小关系知求解即可. 【详解】由题意，可得. 故答案为：4 【题型专练】 1．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 【答案】CD 【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误； 对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误； 对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确； 对于D中，由，且，所以，所以D正确． 故选：CD 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，z为虚数 【答案】ACD 【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数， 当且仅当且时为纯虚数判断即可. 【详解】时，复数是纯虚数，A错误； 当时，复数是纯虚数，B正确； 是纯虚数，则即，C错误； 复数未注明为实数，D错误． 故选：ACD． 3．对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．的平方等于1 【答案】BC 【分析】根据复数的相关概念判断即可； 【详解】解：对于A，当时，为实数，故A错误； 对于B，若，则解得，故B正确； 对于C，若，则为实数，故C正确； 对于D，的平方为，故D错误. 故选：BC 4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果. 【详解】当时，复数，为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有 ，得或. 所以“”是“复数为纯虚数”的充分非必要条件. 故选:A. 题型二：复数的几何意义 【例1】设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为， 所以， 经验证不满足，故选：D. 【例2】设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，∵，∴， 即，化简得． 【例3】复数满足条件，则实数的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵满足条件，，即， 平方可得，解得.故选：D. 【题型专练】 1.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得则．故选C． 2.已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是________. 【答案】 ，， 又因为，所以，解得. 故答案为： 3.在复平面内，复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】解：因为复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点， 所以，， 所以， 所以对应的复数为， 故选：D. 题型三：两个复数相等 【例1】已知，其中，是实数，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等的定义求解参数、的值即可. 【详解】由题意得， 所以，得. 故选：B 【例2】设，其中为实数，则（    ） A．            B．            C．            D． 【答案】A 【分析】化简可得，然后利用“实对实，虚对虚”即可求解. 【详解】因为， 所以， 故，解得，. 故选：A. 【例3】若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，，进而即得. 【详解】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 【题型专练】 1．已知复数，，，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数相等的充要条件，求出、，进而求出. 【详解】，， ，. 故选：C. 2．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 3．若实数满足，则_____________． 【答案】# 【分析】根据复数相等充要条件，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】因为，可得，解得，所以. 故答案为： 题型四：复平面 【例1】若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据复数实部虚部的符号特点，解出关于的不等式即可求得的范围 【详解】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限. 可得 解得. 故答案为： 【例2】在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据模长公式求得，又复数z所对应的点位于第四象限，则，即可求解 【详解】由复数的模的定义及，得，解得． 又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限， ∴，∴， 故选：D． 【题型专练】 2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数的几何意义即可求出答案. 【详解】在复平面所对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3．已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为___________. 【答案】 【分析】根据复数的模列出方程求，再由复数对应的点在第四象限舍去4即可得解. 【详解】， ，解得， 在复平面内的对应点位于第四象限，，. 故答案为：. 复数的四则运算 考点一：复数的加、减运算 ①复数的加法与减法运算法则 若设，是任意两个复数， 则， ②复数加法的运算律 1.交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 2.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 考点二：复数的乘、除运算 ①复数代数形式的乘法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ②共轭复数的概念 已知，则的共轭复数为 ③复数代数形式的除法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则 题型一：复数的加、减运算 【例1】已知为虚数单位，计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】根据复数的运算法则运算即得. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例2】在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数加法计算出实部和虚部，根据复数平面判断即可. 【详解】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限 故选:B 【题型专练】 1．复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的加减运算化简复数，即可得出答案. 【详解】，故虚部为. 故选：D. 2．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由复数的减法运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 3．已知是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的加减运算，直接求得答案. 【详解】由题意得，， 故选：B 题型二：复数的乘、除运算 【例1】已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．26 C． D．13 【答案】C 【分析】将复数化简，即可得到结果. 【详解】因为， 则复数的虚部为. 故选:C. 【例2】若为实数,且 ,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可得 ,故选D. 【例3】已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∴，∴z=，故选C. 【例4】已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由复数的运算求出，再求出虚部即可. 【详解】，故虚部为. 故选：C 【题型专练】 1.已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（ ） A． B．复数z对应的点在第一象限 C． D．复数z的虚部与实部互为相反数 【答案】D 【解析】解：由，得， 所以复数z对应的点在第二象限，，实部为虚部为， 故选：D 2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由， 得， 则， ∴复数在复平面内对应的点为， ∴复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限. 3.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 . 【答案】 【解析】为实数， 则. 4．设，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】计算，再计算模长得到答案. 【详解】，则，故. 故选：D 5．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数运算求得，进而求得对应点所在象限. 【详解】因为，所以， 即，所以， 故z在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 题型三：虚数单位的幂的周期性 【例1】化简：　　． 【解析】解：∵， ∴ ＝i3+i1010＝﹣i+i4×252+2＝﹣1﹣i． 故答案为：﹣1﹣i． 【例2】复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】因为 所以，即虚部为-1. 故选：A 【题型专练】 1．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，进而可得，再利用复数的几何意义即得. 【详解】因为， ∴， 所以复数对应的点在第三象限． 故选：C. 2.设是虚数单位，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由于， 所以． 题型四：共轭复数的应用 【例1】已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法中不正确的是（    ） A．的实部与虚部之积为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简得，进而根据复数的实部和虚部可判断A，根据共轭复数的定义可判断B，根据复数对应的点可判断C，根据复数模长的计算可判断D. 【详解】由得， 对于A,复数的虚部为1，实部为2，故A正确， 对于B, 的共轭复数为,B正确， 对于C, 在复平面内对应的点为，故点在第一象限，C错误， 对于D，，D正确， 故选：C 【例2】若，，是的共轭复数，则（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念写出，然后，求出，进而求出的模长. 【详解】，所以， 故选：C 【题型专练】 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算法则以及共轭复数的定义即可求解. 【详解】由得 ， 所以 故选：A． 2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 复数的模的性质运算及欧拉公式的应用 考点一：复数的模的运算性质 ①， 证明：设，则，所以，，所以 ，因，所以，所以 ②， 证明：设，，则，所以， ， 所以 同理可证 ③ ④（三角不等式） 题型一：复数的模的性质运算 【例1】（多选题）下面四个命题正确的是(    ) A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，，满足，则 D．若复数，满足，则 【答案】AC 【分析】设，a,b∈R，，，.根据复数的计算方法和相关概念逐项计算验证即可． 【详解】设，a,b∈R，，，． 对于选项A：， 若，则，即为实数，故A正确； 对于选项B：，若，则或， 若，，则，故B错误； 对于选项C：， ，，故，故C正确； 对于选项D：， 若，则，无法得到，故D错误． 故选：AC． 【例2】（多选题）对于任意复数，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】根据复数的概念和复数的模以及复数的运算逐项排除. 【详解】设 ，即，∴，，故A对； 但与无大小，故B错； 时，故C错； ，∴，，故D对， 故选：AD． 【例3】（多选题）已知为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．复数，则 C．若复数，则， D．若，，则的充要条件是 【答案】AC 【分析】利用复数的求模公式和四则运算判断A、B，利用虚数不能比较大小判断C，利用特殊值判断D． 【详解】解：对于A：设，，则，，故A正确， 对于B：， 所以，故B错误； 对于C：虚数不能比较大小，能比较大小的一定为实数，，，故C正确； 当，时，满足，但不成立，故D错误. 故选：AC． 【例4】（多选题）设是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算性质逐一检验即可. 【详解】A选项，，故，正确； B选项，即.故，正确； C选项，即z为纯虚数，故，不正确； D选项，∵，故，正确. 故选：ABD. 【例5】已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________． 【答案】## 【分析】利用复数模几何意义求解． 【详解】满足的对应的点在复平面上以为圆心，1为半径的圆上，表示点到点的距离， ，所以． 故答案为：． 【例6】已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________． 【答案】## 【分析】结合复数的几何意义和可知其表示以为圆心，1为半径的圆，而表示点与圆上点的距离，利用圆的几何性质即可求出结果. 【详解】设复数， 则， 得，表示以为圆心，为半径的圆， ， 表示圆C上的点到定点的距离， 当点、、三点共线时，到的距离最小， 即取到最小值，此时，所以. 故答案为：. 【题型专练】 1．（多选题）若，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】先对复数化简，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，复数的虚部为1，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：BD 2．（多选题）设，为复数，下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的性质依次判断即可得出. 【详解】设，， 对于A，则，∵，故A正确； 对于B，，当，是虚数，一定是实数，不可能相等，故B错误； 对于C，， 所以，故C正确， 对于D，，，故D正确. 故选：ACD． 3．（多选题）关于复数z及其共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，设，则，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，设，， 则，，，， 故选：ABD 4．（多选题）已知复数，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，由模的定义判断，对于B，举例判断，对于C，设，然后分别计算进行判断，对于D，设，，然后分别计算和进行判断 【详解】对于A，若，则，所以，所以A正确， 对于B，设，，则，而，所以B错误， 对于C，设，则，，所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，则， 所以，， 所以当时， ，所以D正确， 故选：AD 5．（多选题）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可 【详解】对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误， 对于B，由，得， 所以或，所以或，所以，所以B正确， 对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误， 对于D，由，得，所以，所以D正确， 故选：BD 6．（多选题）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．是实数 B． C． D．是纯虚数 【答案】AC 【分析】设出复数z的代数形式，再逐项计算判断作答. 【详解】设，则， ，A正确，D不正确； ，而，B不正确； ，C正确. 故选：AC 7．（多选题）设复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．z的虚部是 D．若，则正整数n的最小值是3 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算法则和复数的分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，， 所以，所以A正确； 对于B中，由，则B正确； 对于C中，由，可得z的虚部是，则C错误； 对于D中，由，可得，， 所以，得正整数n的最小值是3，所以D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B，由复数模的运算性质判断选项C，由复数的乘法运算及模的平方判断选项D. 【详解】设 对于A，， 故选项A正确； 对于B，因为， 则，则或， 所以中至少有一个0， 故选项B正确； 对于C，由复数模的运算性质可知， ， = 故选项C正确； 对于D，当，则， ，所以 故选项D错误. 故选：ABC. 9．（多选题）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称．则下列说法一定正确的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ABC 【分析】结合向量运算、向量的有关概念对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，设，则，其中. 为实数，A选项正确. 为纯虚数，B选项正确. 为实数，C选项正确. ，当时，不是纯虚数，D选项错误. 故选：ABC 10．已知，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则有，即， 则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上， ， ，表示与点的距离， 如图所示： 由图可知，， 即的最大值为7. 故答案为：7 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修2学习材料---复数 复数的概念 考点一：虚数单位的概念 虚数单位：，规定，则，， 所以虚数单位是以为周期循环的。 考点二：复数的引入 对于方程，由于，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数，使得，则此方程的解可写成， 考点三：复数的定义 ①我们把形如(a、b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足。 其中a和b分别叫做复数z的实部与虚部。 ②全体复数构成的集合叫做复数集，用来表示，复数集包含实数集和虚数集。 ③为实数，为虚数，为纯虚数 ④虚数不能比较大小，但不等说复数不等比较大小，因为复数集包含实数集和虚数集。 考点四：复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 考点五：复数的几何意义 ①复平面的概念：用平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． ②复数的几何意义 1.复数与复平面内的点是一一对应关系． 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示． ③复数的模：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 题型一：复数的相关概念 【例1】若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知复数z满足，若z为纯虚数，则（    ） A．-3 B． C．3 D．0 【例3】（多选）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【例4】若复数，则实数m的值为_________. 【题型专练】 1．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，z为虚数 3．（多选）对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．的平方等于1 4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 题型二：复数的几何意义 【例1】设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ） A． B． C． D． 【例2】设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　） A． B． C． D． 【例3】复数满足条件，则实数的取值范围是( ). A． B． C． D． 【题型专练】 1.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 2.已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是________. 3.在复平面内，复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型三：两个复数相等 【例1】已知，其中，是实数，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【例2】设，其中为实数，则（    ） A．            B．            C．            D． 【例3】若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知复数，，，则（    ） A．3 B．1 C． D． 2．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 3．若实数满足，则_____________． 题型四：复平面 【例1】若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______. 【例2】在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型专练】 1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为___________. 复数的四则运算 考点一：复数的加、减运算 ①复数的加法与减法运算法则 若设，是任意两个复数， 则， ②复数加法的运算律 1.交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 2.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 考点二：复数的乘、除运算 ①复数代数形式的乘法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ②共轭复数的概念 已知，则的共轭复数为 ③复数代数形式的除法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则 题型一：复数的加、减运算 【例1】已知为虚数单位，计算下列各式． (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例2】在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型专练】 1．复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．等于（    ） A． B． C． D． 3．已知是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 题型二：复数的乘、除运算 【例1】已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．26 C． D．13 【例2】若为实数,且 ,则（ ） A． B． C． D． 【例3】已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【例4】已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（ ） A． B．复数z对应的点在第一象限 C． D．复数z的虚部与实部互为相反数 2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 . 4．设，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：虚数单位的幂的周期性 【例1】化简：　　． 【例2】复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【题型专练】 1．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设是虚数单位，则（ ） A． B． C．1 D． 题型四：共轭复数的应用 【例1】已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法中不正确的是（    ） A．的实部与虚部之积为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 【例2】若，，是的共轭复数，则（    ） A． B．2 C． D．10 【题型专练】 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数的模的性质运算及欧拉公式的应用 考点一：复数的模的运算性质 ①， 证明：设，则，所以，，所以 ，因，所以，所以 ②， 证明：设，，则，所以， ， 所以 同理可证 ③ ④（三角不等式） 题型一：复数的模的性质运算 【例1】（多选题）下面四个命题正确的是(    ) A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，，满足，则 D．若复数，满足，则 【例2】（多选题）对于任意复数，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【例3】（多选题）已知为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．复数，则 C．若复数，则， D．若，，则的充要条件是 【例4】（多选题）设是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例5】已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________． 【例6】已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________． 【题型专练】 1．（多选题）若，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D． 2．（多选题）设，为复数，下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）关于复数z及其共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知复数，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 5．（多选题）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选题）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．是实数 B． C． D．是纯虚数 7．（多选题）设复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．z的虚部是 D．若，则正整数n的最小值是3 8．（多选题）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 9．（多选题）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称．则下列说法一定正确的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 10．已知，则的最大值是__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$