第六章平面向量及其应用辅导讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修2学习材料---平面向量及其运算 平面向量的概念及线性运算 考点一：向量的基本概念 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量． ⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 考点三：向量共线定理 ①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论：②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且 ④，． 题型一： 平面向量的概念 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】A 【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决. 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误. 故选：A 【例2】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B. 【例3】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A． 【例4】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC 【题型专练】 1.下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案； 对于②，由零向量的定义和性质，可得答案； 对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案； 对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案. 【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线； ②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确； ④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向. 故选：B. 2.（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或 C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】CD 【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误； 对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误； 对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确； 对于D中，由，可得与向量同向， 又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确. 故选：CD. 3.（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 【答案】BC 【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同； 对于B，由平面向量相等可得B正确； 对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形； 当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确； 对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误； 故选：BC 4.（多选）下列结论中正确的是（    ） A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等 【答案】AB 【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项． 【详解】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确． 故选：AB． 题型二： 平面向量的加法、减法 【例1】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 【例2】化简下列各式： (1)；(2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （1）； （2） 【例3】设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在OAC和OBD中，根据M是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解. 【详解】解：在OAC中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 在OBD中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 所以． 故选：A． 【例4】已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号） ①；②；③；④. 【答案】①②③ 【分析】设分别为的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案. 【详解】对于①，，故①成立； 对于②，设分别为的中点， 则， ， ， 所以，故②成立； 对于③，， 所以，故③正确； 对于④，，故④不成立. 故答案为：①②③. 【题型专练】 1.下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：ABC 2.在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C. 【详解】根据三角形法则可得，所以A错误； 根据向量减法的运算法则可得，所以B错误； 四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有，C错误； 根据三角形法则可得正确，所以D正确. 故选：D. 3.在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由，可得四边形ABCD为平行四边形，又，从而即可求解. 【详解】解：在四边形ABCD中， 因为，所以四边形ABCD为平行四边形， 又，即， 所以平行四边形ABCD为矩形， 故选：B. 4.（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可． 【详解】解：如图： 对于选项A，，即选项A错误； 对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确， 故选：BCD． 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 【例1】（多选）下列命题是真命题的是（    ）． A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】AD 【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可． 【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上， 则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量； B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上， 则，的方向不确定，不能判断与是否共线； C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上； D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A， 且与是共线向量，所以A，B，C三点共线． 故选：AD． 【例2】已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解. 【详解】因为，，， 选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确； 选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 【例3】下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【分析】A选项：根据相等向量的定义即可判断； B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线； C选项：与同向，则与反向，显然正确; D选项：如果，则无法得知与共线. 【详解】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确. 与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确. 与同向，则与反向，C正确. 时，与不一定共线，D错误. 故选：ABC 【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___． 【答案】 【解析】因向量与平行，所以，所以，解得 【例5】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________． 【答案】 【解析】如下图所示： 为的中点，则， 为的中点，所以，， 因此，，即，. 故答案为：；. 【题型专练】 1.已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解. 【详解】解：, 所以A，D，C三点共线. 故选:C. 2.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得 法二：由三点共线， 得，故解得． 3.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量（）与向量共线， 所以存在实数，使得， 所以有，因此，解得. 4.在中，是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】： 题型四：由平面向量的性质判断图形的形状 【例1】若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____ 【答案】直角三角形 【解析】，，所以 所以的形状为直角三角形 【例2】若，且，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理可得，结合，即可判断四边形的形状. 【详解】解：因为，所以，所以， 又，，所以四边形ABCD为等腰梯形. 故选：C. 【题型专练】 1．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状. 【详解】∵  ， ∴  ， ∴  ， ∴ 四边形一定是梯形． 故选：B. 2．在四边形中，若，则（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可； 【详解】解：，， ，且，四边形是平行四边形． 故选：D． 3．（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 【答案】ABC 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论． 【详解】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确； ，则且，四边形ABCD是梯形，B正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误． 故选：ABC． 平面向量的数量积及其应用 考点一：平面向量的数量积 ①平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积也叫内积． 记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 ②平面向量数量积的几何意义： 1.向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 2.向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 3.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 考点二：平面向量数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 考点三：平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或． ④． ⑤． 题型一： 平面向量的数量积运算 【例】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 【例2】已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 【例3】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以 所以， 所以， 故答案为： 【例4】在中，为重心，，，则=________. 【答案】 【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得. 【详解】设中点为， 为的重心且， ，， 因为，， 所以. 故答案为：. 【题型专练】 1.设向量与夹角的余弦值为，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案. 【详解】. 故选：B. 2.已知在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为的线性运算，再由数量积的运算律求解 【详解】由题意得，， 则， 故选：B 3．在平行四边形中，，，若，则______. 【答案】 【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题. 【详解】因，则 又注意到，. 则=. 故答案为: 4．边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________． 【答案】2 【分析】以为基底，分别表示，再利用向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】， 故答案为：2 题型二：平面向量的模运算 【例1】设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】因为为单位向量，所以 所以，解得： 所以 【例2】已知向量，的夹角为60°，，，则= ． 【答案】 【解析】 【例3】设，是两个非零向量 A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若存在实数，使得，则 【答案】C 【解析】对于A，，所以，所以，所以A错，B错；C 对，D有可能为 【例4】已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ． 【答案】． 【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍） 【题型专练】 1．已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由数量积公式结合得出答案. 【详解】解：因为向量与的夹角为， 所以 所以 故选：A 2.已知平面向量与的夹角为，若，，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由两边平方化简可求得答案 【详解】由平方可得， 因为，平面向量与的夹角为， 所以即， 解得或（舍去）， 故选：D 3.已知向量，的夹角为，且，，则的值是_________. 【答案】5 【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算求得的模长，再求结果即可. 【详解】根据题意，，则， 即，解得（舍）或， 故. 故答案为：. 4.已知，为单位向量.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据数量积的计算以及模长公式即可求解，由模长公式可求解. 【详解】记，的夹角为， 由以及得，即，所以，或（舍去）， 所以，所以. 故选：C 题型三：平面向量的夹角运算 【例1】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 【答案】 【解析】因为，，所以， ，所以， 所以 ． 【例2】已知向量满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值． 【解析】，，，． ，因此．故选D． 【题型专练】 1．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直关系得，再计算，，并结合向量夹角公式求解即可. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以， 所以 因为， 所以. 故选：C 2．若非零向量满足，，则向量夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据数量积的定义，结合，可以得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，解得， 因为，所以. 故选：C. 3．已知，，且，则向量与的夹角等于___________. 【答案】## 【分析】由向量数量积运算律和定义可求得，由此可得夹角. 【详解】， ，解得：， 又，. 故答案为：. 题型四：平面向量的投影 【例1】已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出投影向量公式，即可计算求解. 【详解】在上的投影向量 故选：C 【例2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B. 【题型专练】 1.已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为. 故选：C 2.已知向量，满足，，，则在上的投影向量的模为___________. 【答案】1 【分析】根据题意求出向量与向量的数量积,再根据公式即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 所以，， 所以，， 所以在上的投影向量的模为， 故答案为：. 3．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由条件计算得的值，再利用在方向上的投影向量为求得答案. 【详解】因为是单位向量，所以，故， 由得，即，则，即，得， 设与的夹角为，则在方向上的投影向量为. 故选：B. 平面向量坐标运算 考点一：平面向量基底的概念 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 考点二：平面向量的正交分解及坐标表示 ①平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． ②平面向量的坐标表示 1.正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． 2.平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 考点三：向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 考点四：平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一： 平面向量的坐标运算 【例1】已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【例2】已知点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【例3】设平面向量，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设B点坐标为，则可得的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】设B点坐标为， 所以，解得， 所以B的坐标为. 故选：B 【例4】平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由求解即可. 【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故. 故选：D. 【题型专练】 1．已知点，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】，所以. 故选：D. 2．已知平面向量，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为平面向量坐标运算的加减数乘运算. 【详解】因为，，则，， 所以 故选：D 3．若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算即可求得. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C 4．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标. 【答案】， 【分析】依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得. 【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点． 设，．由三角函数的定义， 得，，∴． ，，∴． ∴，． ∴， 题型二： 平面向量数量积的坐标运算 【例1】已知=(2,3)，=(3，t)，，则· = A．−3 B．−2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由=—=（1，t-3），，得，则，．故选C． 【例2】在边长为3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B点的三等分点，则（    ） A．3 B．－3 C．－4 D．4 【答案】A 【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，，代入计算即可. 【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【题型专练】 1．若向量，，则（    ） A． B．25 C． D．19 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算与数量积的坐标表示运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故. 故选：A. 2．已知向量，，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 所以 故选：D 题型三： 平面向量坐标共线，垂直问题 【例1】已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】转化，求解，再结合向量线性运算和模长的坐标公式求解即可. 【详解】由题意，， ，解得， 故，. 故选：A 【例2】已知平面向量，若，则实数x的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由向量线性关系的坐标运算得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得x=6. 故选：A 【例3】已知向量，若向量满足，则_________. 【答案】 【分析】设，利用向量四则运算、向量垂直和向量平行的坐标表示列出方程组解出，进而即可得到. 【详解】设，由题意得，， 因为， 所以，即，解得， 所以. 故答案为： 【例4】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因，，则， 又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得， 所以. 故答案为：6 【题型专练】 1.设，向量，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得、，应用向量线性运算、模长的坐标表示求结果. 【详解】由知：且，则，可得，即， 由知：，可得，即， 所以，故. 故选：B 2.（多选）已知，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】利用向量垂直时的坐标表示列方程，解方程即可. 【详解】，由得，即，解得或. 故选：BD． 3．已知向量，， . 若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量共线得坐标表示，求解出，然后求模. 【详解】∵， ∴2×m-2×1=0 解得，m=1. ∴ ∴ 故答案为：. 4．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______. 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值. 【详解】由，又A，C，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为： 5．已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由，则，即，解得， 故， 故选：D. 题型四：平面向量坐标模的计算 【例1】设向量，，若(∈R)，则的最小值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】，所以 【例2】已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若向量与共线且，求的坐标. 【答案】(1)或；(2)或. 【分析】（1）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； （2）设并求出的坐标，根据向量共线及模长坐标公式求x、y，即可得的坐标. （1） 由题知：，， ∵， ∴， ∴，即，解得或. （2） 设，， ∵， ∴，又， ∴，即， 联立，解得，或. ∴或. 【题型专练】 1.已知，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】： 对称轴，所以当时， 2.已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为不超过5， 所以，解得：， 故选：C. 题型五： 平面向量坐标运算中的夹角，投影问题 【例1】已知向量，，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出、，即可得到，，再根据计算可得. 【详解】解：因为，，所以， 又，所以，解得，所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为； 故选：C 【例2】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是 A． B． C．且 D． 【答案】C 【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，，得. 向量，共线时，，得.此时. 所以且. 故选C． 【题型专练】 1．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用向量的坐标运算，逐个验证选项. 【详解】已知向量，，， ，，选项A正确； ，，选项B正确； ，选项C错误； ，， 设与的夹角为，则，与的夹角为，选项D正确. 故选：ABD 2．已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与共线的一个单位向量是 D．在上的投影向量是 【答案】AB 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出，求模即可判断A，计算数量积判断B，求的同向或反向的单位向量判断C，根据向量的射影向量计算判断D. 【详解】设，则， 所以，即， 所以，故A正确； ，故B正确； 与共线的一个单位向量为，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误. 故选：AB 正弦定理和余弦定理 考点一：三角形中常用知识 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 考点二：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． ② ③由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． ④A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， 考点五：三角形面积公式 S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B； 由正弦定理可得 海伦公式：，其中 三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径） 题型一： 正弦定理运用 【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】解：因为，，， 由正弦定理得. 故选：B. 【例2】在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为______. 【答案】4 【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以外接圆直径为， 故答案为：. 【例3】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解. 【详解】∵：：：2：3，且， ∴，，，则， 故 故选： 【例4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B=___________. 【答案】 【解析】由正弦定理可得，可得，所以，即，因，所以，所以，因，所以 【题型专练】 1.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则　　． 【答案】 【解析】由，，可得，所以,由正弦定理可得，即，所以 2．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理进行化简，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可． 【详解】由正弦定理得， 则， 由， 得， 即 则， 即， 则，又在锐角△ABC中 则， 故选：B 3.在，内角所对的边长分别为．若，且，则= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即 所以，所以，因，所以 故选A. 题型二：余弦定理运用 【例1】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】设 故选：C 【例2】在中，，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以，故选A. 【例3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则= A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】，所以，即 故. 【题型专练】 1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_________． 【答案】## 【分析】利用余弦定理运算求解. 【详解】∵，且， ∴. 故答案为：. 2.在中，，边上的高等于,则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C． 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 【答案】，3 【解析】由正弦定理得，所以 由余弦定理得（负值舍去）. 4.设的内角的对边分别为，且，，，则=________． 【答案】4 【分析】由，可得，所以，结合余弦定理：，可得，解得： 题型三： 三角形面积公式运用 【例1】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【分析】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 【例2】△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以 【例3】△ABC的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【答案】 【分析】由余弦定理得，所以， 即，解得（舍去），所以， 【例4】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【分析】因为， 结合正弦定理可得， 可得，因为， 结合余弦定理，可得， 所以为锐角，且，从而求得， 所以的面积为，故答案是. 【题型专练】 1.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】详解：由，可得，因，所以，所以，由余弦定理可得，解得 2.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，解得 因 4.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 利用余弦定理得到： 正弦定理： 故 故选 题型四： 正弦定理解答题 【例1】在△ABC中，角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，的面积为，求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用正弦定理、正弦和角公式，以及，即可求出角； （2）利用三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得，即可求出的值. 【详解】（1）解：利用正弦定理得：， 即， 化简得， 由为的内角，得， 可得， 又为的内角，所以. （2）解：已知，则， ，即①， 由，可得， ， 利用正弦定理可得，，即② 联立①②可得. 【例2】已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若b＝2，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求； （2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴； （2）由， 可得：, 又， ∴即，当且仅当时取等， 又， ∴的取值范围为． 【题型专练】 1．在锐角△ABC中，角所对的边分别为. 已知 (1)求角的大小； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，即，即可求解； （2）利用正弦定理可得，根据两角和的正弦公式可得结合三角形面积计算公式即可求解． 【详解】（1），由正弦定理， 得，又A为锐角，则， 所以.又B为锐角，则. （2），由(1)知， 则，得， 又，所以， 所以的面积. 2．在锐角△ABC中，角所对的边为，且. (1)证明: (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理化简可得，即可证明. （2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，可求出的取值范围. 【详解】（1）∵， 由正弦定理，得， 即， ∴， ∴或（舍），即， （2）由锐角△ABC，可得，，． 即， ∴． 由正弦定理可得：， 所以. 所以的取值范围为：. 题型五： 余弦定理解答题 【例1】在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)已知，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角即可； （2）先根据正弦定理求得，再根据余弦定理求得，进而根据等面积法求得． 【详解】（1）解：在中， 由，根据正弦定理得 ， ， ， ， 又， ． （2）解：在中， ， ， 根据余弦定理得 ， 即， ， ， ， ． 【例2】如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理得到，从而求出，再利用余弦差角公式进行计算； （2）先求出，再利用余弦定理求出答案. 【详解】（1）在中，由勾股定理得， ， ； （2）因为，所以， 在中，由余弦定理得： 【例3】在△ABC中，已知. (1)求角C的大小； (2)求的最大值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值． （2）根据三角形内角和将角A、B转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案． 【详解】（1）由题意可知． 所以． 因为， 所以； （2）由已知 当，即时，取到最大值1， 的最大值是． 【题型专练】 1．已知△ABC的三个角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求； (2)若，，求点到边的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可求得的值，再利用等面积法可求得点到边的距离. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，，则，. （2）解：设点到边的距离为，由余弦定理可得， 所以，，所以，. 2．在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知△ABC的内角所对的边分别是，若 . (1)求角； (2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）选①：先利用三角公式求出，即可求出角；选②：由正弦定理及三角变换求出，即可求出角；选③：由正、余弦定理求出，即可求出角； （2）利用△ABC的面积公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周长. 【详解】（1）选①：由，得，即. 所以或. 因为，所以. 选②：对于，由正弦定理得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以. 选③：由三角形内角和定理及诱导公式得到， 所以. 由正弦定理得：，即. 由余弦定理得：. 因为，所以. （2）因为△ABC的面积为，得：. 由余弦定理得：,即， 所以，所以，所以△ABC的周长为6. 解三角形中解答题 题型一： 解三角形计算基础题型 【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 【例2】△ABC的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】：（1），∴，∵， ∴，∴，∴； （2）由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 【题型专练】 1.已知分别是△ABC内角的对边， ． （1）若，求 （2）若，且求的面积． 【答案】（1）；（2）1 【解析】：（1）由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得 （2）由（1）知 因为，由勾股定理得 故，得 所以的面积为1 2△ABC各个内角，，的对边分别是，，，且． 求的大小； 若，求的面积． 【答案】解：由正弦定理得：， ， ， ， ， ，． 由余弦定理得： ， ， 题型二：解三角形与三角恒等变换结合 【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求△ABC的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）， ， ， . 【例2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，再根据余弦定理求解即可； （2）结合（1）得，再根据三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴，即 ∵， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ 【题型专练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【分析】【详解】 （1） 即： 由正弦定理可得： （2），由正弦定理得： 又， 整理可得： 解得：或 因为所以，故. （2）法二：，由正弦定理得： 又， 整理可得：，即 由，所以 . 2.△ABC的内角，， 所对的边分别为 ， ， ， 已知 ， (1)若，且 ，求； (2)若 ，求. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据正弦定理和三角形面积公式即可求得，. （2）利用辅助角公式即可求得. 【详解】（1）由正弦定理可得 ， 因为 ， 所以 所以 ，，故. ， ， 由余弦定理，，得 ， 解得 . （2），故 ， ， ， ， 故 或 题型三： 解三角形几何图形计算问题 【例1】如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足． (1)证明：； (2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求证， （2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得, 在中，由正弦定理得, 又，故， 由于，所以，因此， （2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得, 由于为三角形内角,所以，由(1)知,故 因此, 进而得 【例2】如图，在四边形中， (1)求角的值； (2)若，，求四边形的面积 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可. （1） ， 因为，得， 或， 解得或，因为，得， （2） 在中，， 在中，， ， ，，得， ，所以四边形的面积为 【题型专练】 1．如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案； （2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案. （1） 因为，, 所以， 因为， 所以由正弦定理知，即， 因为，所以，， 在中，． （2） 由题意知，设， 由余弦定理得，解得或． 因为，所以， 因为AM为的平分线， 所以（h为底边BC的高） 所以，故， 而由（1）知， 所以． 2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，． (1)求BE的长； (2)若，求五边形ABCDE的周长． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长； （2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长． 【详解】（1）由，，可得：，， 而，故， 在直角△中，则. （2）由（1）知：，则， ， 由且，则， 所以. 所以五边形ABCDE的周长. 题型四： 解三角形与三角函数结合 【例1】已知向量，，. (1)求的单调增区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的最大值. 【答案】(1)递增区间为，； (2). 【分析】(1)利用向量的数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用整体代入法以及正弦函数的性质即可求解；(2)结合(1)中结论求出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. （1） 由，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （2） 由，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ，且， 当且仅当时，有最大值为， 故的最大值为. 【例2】设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. (1) 由题设，， 所以，当时的最小值为. (2) 由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 【题型专练】 1．已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角△ABC的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）化简得出，由可求解； （2）由可得，由正弦定理化简得出，根据的范围即可求出. 【详解】（1）由条件可得：， ∴， 所以函数零点满足， 则，得，； （2）由正弦定理得， 由（1），而，得， ∴，，又，得， ∴代入上式化简得： ， 又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有. ∴. 2．已知、、分别为△ABC的三个内角、、的对边，设，，若． （1）求角； （2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合余弦定理求出的值，再由可求得角的值； （2）求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简可得，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围． 【详解】（1）因为，，且，所以，， 由余弦定理可得，整理可得， 由余弦定理得， ，因此，； （2）且为锐角三角形，则，即，解得， 所以，， ，所以，，则， 故. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修2学习材料---平面向量及其运算 平面向量的概念及线性运算 考点一：向量的基本概念 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量． ⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 考点三：向量共线定理 ①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论：②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且 ④，． 题型一： 平面向量的概念 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【例2】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例4】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【题型专练】 1.下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 2.（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或 C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量 3.（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 4.（多选）下列结论中正确的是（    ） A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等 题型二： 平面向量的加法、减法 【例1】等于（    ） A． B． C． D． 【例2】化简下列各式： (1)；(2). 【例3】设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知△ABC为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号） ①；②；③；④. 【题型专练】 1.下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 2.在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3.在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 4.（多选）在△ABC中，D，E，F分别是边的中点，点G为△ABC的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 【例1】（多选）下列命题是真命题的是（    ）． A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 【例2】已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【例3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___． 【例5】在△ABC中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________． 【题型专练】 1.已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 2.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B． C．2 D． 3.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则 A． B． C． D． 4.在中，是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 题型四：由平面向量的性质判断图形的形状 【例1】若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____ 所以的形状为直角三角形 【例2】若，且，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 【题型专练】 1．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 2．在四边形中，若，则（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 3．（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 平面向量的数量积及其应用 考点一：平面向量的数量积 ①平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积也叫内积． 记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 ②平面向量数量积的几何意义： 1.向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 2.向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 3.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 考点二：平面向量数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 考点三：平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或． ④． ⑤． 题型一： 平面向量的数量积运算 【例】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 【例2】已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【例3】在△ABC中，，，，则边上中线的长为_____. 【例4】在△ABC中，为重心，，，则=________. 【题型专练】 1.设向量与夹角的余弦值为，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 2.已知在△ABC中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，，若，则______. 4．边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________． 题型二：平面向量的模运算 【例1】设为单位向量，且，则______________. 【例2】已知向量，的夹角为60°，，，则= ． 【例3】设，是两个非零向量 A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若存在实数，使得，则 【例4】已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ． 【题型专练】 1．已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 2.已知平面向量与的夹角为，若，，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 3.已知向量，的夹角为，且，，则的值是_________. 4.已知，为单位向量.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 题型三：平面向量的夹角运算 【例1】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 【例2】已知向量满足，则 （ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．若非零向量满足，，则向量夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则向量与的夹角等于___________. 题型四：平面向量的投影 【例1】已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【例2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型专练】 1.已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2.已知向量，满足，，，则在上的投影向量的模为___________. 3．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 平面向量坐标运算 考点一：平面向量基底的概念 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 考点二：平面向量的正交分解及坐标表示 ①平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． ②平面向量的坐标表示 1.正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． 2.平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 考点三：向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 考点四：平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一： 平面向量的坐标运算 【例1】已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 【例3】设平面向量，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4】平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知点，向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，则向量（    ） A． B． C． D． 3．若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标. 题型二： 平面向量数量积的坐标运算 【例1】已知=(2,3)，=(3，t)，，则· = A．−3 B．−2 C．2 D．3 【例2】在边长为3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B点的三等分点，则（    ） A．3 B．－3 C．－4 D．4 【题型专练】 1．若向量，，则（    ） A． B．25 C． D．19 2．已知向量，，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 题型三： 平面向量坐标共线，垂直问题 【例1】已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【例2】已知平面向量，若，则实数x的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例3】已知向量，若向量满足，则_________. 【例4】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【题型专练】 1.设，向量，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 2.（多选）已知，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知向量，， . 若，则_____. 4．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______. 5．已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 题型四：平面向量坐标模的计算 【例1】设向量，，若(∈R)，则的最小值为( ) A． B．1 C． D． 【例2】已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若向量与共线且，求的坐标. 【题型专练】 1.已知，，则的最小值为________． 2.已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五： 平面向量坐标运算中的夹角，投影问题 【例1】已知向量，，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例2】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是 A． B． C．且 D． 【题型专练】 1．（多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 2．已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与共线的一个单位向量是 D．在上的投影向量是 正弦定理和余弦定理 考点一：三角形中常用知识 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 考点二：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． ② ③由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． ④A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， 考点五：三角形面积公式 S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B； 由正弦定理可得 海伦公式：，其中 三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径） 题型一： 正弦定理运用 【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【例2】在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为______. 【例3】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2 【例4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B=___________. 【题型专练】 1.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则　　． 2．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　） A． B． C． D． 3.在，内角所对的边长分别为．若，且，则= A． B． C． D． 题型二：余弦定理运用 【例1】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ） A． B．2 C．4 D．8 【例2】在中，，，，则 A． B． C． D． 【例3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则= A． B． C．2 D．3 【题型专练】 1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_________． 2.在中，，边上的高等于,则（ ） （A） （B） （C） （D） 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 4.设的内角的对边分别为，且，，，则=________． 题型三： 三角形面积公式运用 【例1】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【例2】△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为( ) A． B． C． D． 【例3】△ABC的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【例4】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【题型专练】 1.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为 ． 2.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ） A．3 B． C． D． 3.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型四： 正弦定理解答题 【例1】在△ABC中，角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，的面积为，求的值. 【例2】已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若b＝2，求的取值范围． 【题型专练】 1．在锐角△ABC中，角所对的边分别为. 已知 (1)求角的大小； (2)若，求△ABC的面积. 2．在锐角△ABC中，角所对的边为，且. (1)证明: (2)若，求的取值范围. 题型五： 余弦定理解答题 【例1】在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)已知，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边上的高． 【例2】如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的长度. 【例3】在△ABC中，已知. (1)求角C的大小； (2)求的最大值. 【题型专练】 1．已知△ABC的三个角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求； (2)若，，求点到边的距离． 2．在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知△ABC的内角所对的边分别是，若 . (1)求角； (2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长. 解三角形中解答题 题型一： 解三角形计算基础题型 【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【例2】△ABC的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【题型专练】 1.已知分别是△ABC内角的对边， ． （1）若，求 （2）若，且求的面积． 2△ABC各个内角，，的对边分别是，，，且． 求的大小； 若，求的面积． 题型二：解三角形与三角恒等变换结合 【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求△ABC的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【例2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型专练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 2.△ABC的内角，， 所对的边分别为 ， ， ， 已知 ， (1)若，且 ，求； (2)若 ，求. 题型三： 解三角形几何图形计算问题 【例1】如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足． (1)证明：； (2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积． 【例2】如图，在四边形中， (1)求角的值； (2)若，，求四边形的面积 【题型专练】 1．如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，． (1)求BE的长； (2)若，求五边形ABCDE的周长． 题型四： 解三角形与三角函数结合 【例1】已知向量，，. (1)求的单调增区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的最大值. 【例2】设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【题型专练】 1．已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角△ABC的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 2．已知、、分别为△ABC的三个内角、、的对边，设，，若． （1）求角； （2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$