第一章 有理数（复习讲义）数学人教版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） 1.了解有理数的意义，体会有理数分类之间的整体联系． 2.掌握数轴的定义，包括原点、正方向和单位长度的概念． 3.掌握相反数的定义，知道只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 4.掌握有理数大小比较的方法，能用多种方法比较有理数的大小． 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的识别 【例1】（2025·浙江台州·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，掌握负数的定义是解题的关键，据此即可解答． 【详解】解：， 则下列四个数中，是负数的是， 故选：B． 【变式1-1】（2025·云南曲靖·一模）在，，和2024这四个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】解：和2024是正数，共2个， 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·云南大理·期末）有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：是正数，既不是负数也不是正数，是负数，是正数，是负数， 正数有2个， 故选B． 【变式1-3】下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴这四个数中，是负数的是． 故选：A． 题型二 相反意义的量 【例2】（23-24七年级上·四川乐山·期末）如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量进行解答即可． 【详解】解：米表示上升米， 那么下降米表示为米， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·江苏盐城·二模）若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为度． 故答案为． 【变式2-2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 【变式2-3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 题型三 有理数概念的理解 【例3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式3-2】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0和正整数，由此即可判断D． 【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意； B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意； C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意； D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型四 有理数的分类 【例4】（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【变式4-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{                                               }； 整数：{                                               }； 分数：{                                               }； 有理数：{                                               } ． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键：根据正数是大于0的数，整数包括正整数，负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，整数和分数统称为有理数，进行作答即可． 【详解】解：正数：{0.01，4.01，22，}； 整数：{ 0，，22，}； 分数：{，0.01，，， 4.01，， }； 有理数：{，0.01，，0，，，4.01，22，，} ． 题型五 数轴的三要素及其画法 【例5】下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 题型六 用数轴上的点表示有理数 【例6】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由数轴可知，用“”将它们连接起来为：． 【变式6-1】在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【变式6-2】（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 【变式6-3】（24-25七年级上·广东河源·期中）把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：，2，0，，4． 【答案】，图见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】在数轴上表示各个数，再比较即可． 本题考查了数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：用数轴上的点表示如图所示， 由数轴可知：． 题型七 求一个数的相反数 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据相反数的定义作答即可. 【详解】2025的相反数是， 故选：A. 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·一模）若的相反数是a，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】此题考查求一个数的相反数．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：若的相反数是a，则． 故选：A． 【变式7-3】（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 题型八 判断是否互为相反数 【例8】（2025·吉林四平·三模）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【详解】A．与绝对值不同，不满足相反数定义，不是互为相反数，故本选项不符合题意；． B．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C．，与只有符号不同 ，满足相反数定义，所以与互为相反数，故本选项符合题意； D．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查求一个数的绝对值，相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意； 故选A． 【变式8-3】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查相反数，先去绝对值，进行多重符号化简，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相同，不符合题意； B、，，两数相同，不符合题意； C、，，两数互为相反数，符合题意； D、，，两数相同，不符合题意； 故选：C． 题型九 求一个数的绝对值 【例9】（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）计算： ． 【答案】2025 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式9-1】（2025·四川乐山·二模）计算： ． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，进行作答即可． 【详解】解： 故答案为： 2 【变式9-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，由相反数的定义可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十 绝对值的非负性 【例10】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式10-1】已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 【变式10-2】已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【知识点】绝对值非负性、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 题型十一 绝对值的应用 【例11】（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【变式11-1】牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 【变式11-2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【知识点】有理数大小比较的实际应用、绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 【变式11-3】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【知识点】绝对值的其他应用、绝对值的几何意义、正负数的实际应用 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 题型十二 有理数大小的比较 【例12】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式12-1】比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，首先计算，，然后根据负数比较大小，绝对大的反而小求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 【变式12-3】比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的大小比较，解题的关键在于正确掌握有理数的大小比较方法． （1）根据正数大于负数进行判断，即可解题； （2）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （4）先利用绝对值求出，再根据正数大于负数进行判断，即可解题． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为，，且， 所以； （3）解：因为，，且， 所以； （4）解：因为，， 所以． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的定义，解题的关键是熟练掌握正负数的定义． 根据负数的定义，小于0的数为负数，逐一判断所给的各数即可． 【详解】题目中的四个数分别为： ：负数； ：正数； ：既不是正数也不是负数； ：负数． 其中负数为和，共2个． 故选：B． 2．（2025·广东·三模）如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解． 【详解】解：数轴上点A表示的数是． 故选：B 3．（2024·青海西宁·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（   ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，明确正负数表示相反意义的量是关键．根据题意，收入记为正，则支出应记为负，直接对应数值即可． 【详解】解：∵若收入100元记为元，则支出60元应记为与其相反的符号，即元， 故选：A． 4．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 二、填空题 6．在，，，，，中，最大的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故， 故最大的数是， 故答案为：． 7．某日，绥化市的最低气温是零下，记作 ，最高气温是零上，记作 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查正负数的意义，根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温记为正，则零下气温就就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：某日，绥化市的最低气温是零下，记作，最高气温是零上，记作． 故答案为：，5． 8．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 10．如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 【答案】或 【分析】本题考查了正负数的意义，根据题意画出图形即可求解，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，当芳芳在小明东边时，此时丽丽与芳芳距离米， 如图，当芳芳在小明西边时，此时丽丽与芳芳距离米， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来 、、0、、、 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键．先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 【详解】解：如图所示： 从左到右用“”连接为： 12．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 【答案】(1)见解析 (2)负分 (3)最大的数为，最小的数为 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的分类，以及大小比较的方法是解题的关键． （1）根据负数和分数的定义分类即可； （2）两个圈重叠的部分表示负分数集合； （3）根据负数绝对值大的反而小，即可判断． 【详解】（1）解：负数有，分数有， 填图如图： （2）解：既是负数又是分数则为负分数，故（1）图中两个集合的重叠部分表示负分数的集合， 故答案为：负分； （3）解：（1）图中两个集合的重叠部分中数有， ，，， ∴， ∴， ∴最大的数为，最小的数为． 15．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解：，，， 又， ， 即在中，最小的数是， 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 5．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 7．（18-19七年级上·安徽六安·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，正确求出绝对值并比较绝对值大小是解答本题关键．据此比较即可． 【详解】解：∵， 而， ∴. 故答案为：． 8．（24-25九年级下·河南周口·期中）郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若在3楼的基础上向上爬楼用“”表示，那么在3层的基础上下楼就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 【答案】 非正 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 若，则的值为， 若，则是非正数， 故答案为：，非正． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 三、解答题 11．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)①②⑤；①④⑥ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④0，⑤，⑥． 负数集合：{①②⑤…}； 整数集合：{①④⑥…}． 故答案为：①②⑤；①④⑥． （2）解：如图所示． 13．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握a的相反数为是解题的关键． （1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，； （2）先得到b表示的点到原点的距离为6，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）由（2）得表示数的相反数为，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距3个单位长度，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【详解】（1）解：数，的相反数的位置如图， （2）解：数与其相反数相距12个单位长度，则表示的点到原点的距离为6， 所以表示的数是； 故答案为：； （3）解：由（2）得表示数的相反数为， 而表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，且， 所以表示的数是3． 故答案为：3． 14．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 【答案】(1)，2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点是解题的关键． （1）根据在数轴上表示数进行作答即可； （2）在数轴上表示出有理数即可； （3）由数轴可知，点C表示的数为3，然后求解平移后点所对的数即可． 【详解】（1）解：由题意得：A点表示的数是， 由题意得：B点表示的数距离原点有2个单位长度， 故答案为：，2； （2）， 在数轴上表示有理数和，如下图： （3）由题意得：点C表示的数为3， ， ∴点C向左平移2个单位得到数m为1， ， 表示数m的点与点A 的距离是3 15．如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1，4 (2)①；②或2或 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：最大的负整数是，的相反数是1， ∴，， ∵在数轴上点A，B，C从左到右依次排列， ∴, 又∵ ∴． 故答案为：，1，4． （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②i)折后，不动，在之间到，距离相等． 折后对应的数：． 点表示的数为：． ii)折后，动，不动，在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． iii)折后，动，不动，点在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） 1.了解有理数的意义，体会有理数分类之间的整体联系． 2.掌握数轴的定义，包括原点、正方向和单位长度的概念． 3.掌握相反数的定义，知道只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 4.掌握有理数大小比较的方法，能用多种方法比较有理数的大小． 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的识别 【例1】（2025·浙江台州·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式1-1】（2025·云南曲靖·一模）在，，和2024这四个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级上·云南大理·期末）有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-4】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 题型二 相反意义的量 【例2】（23-24七年级上·四川乐山·期末）如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【变式2-1】（2025·江苏盐城·二模）若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【变式2-2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【变式2-3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 题型三 有理数概念的理解 【例3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【变式3-2】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 题型四 有理数的分类 【例4】（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【变式4-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{                                               }； 整数：{                                               }； 分数：{                                               }； 有理数：{                                               } ． 题型五 数轴的三要素及其画法 【例5】下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 用数轴上的点表示有理数 【例6】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【变式6-1】在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【变式6-2】（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【变式6-3】（24-25七年级上·广东河源·期中）把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：，2，0，，4． 题型七 求一个数的相反数 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·一模）若的相反数是a，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 题型八 判断是否互为相反数 【例8】（2025·吉林四平·三模）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【变式8-1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【变式8-2】（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【变式8-3】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型九 求一个数的绝对值 【例9】（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）计算： ． 【变式9-1】（2025·四川乐山·二模）计算： ． 【变式9-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 题型十 绝对值的非负性 【例10】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ， ． 【变式10-1】已知，则，，的值分别是 ． 【变式10-2】已知，则的相反数的绝对值为 ． 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 题型十一 绝对值的应用 【例11】（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式11-1】牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【变式11-2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【变式11-3】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 题型十二 有理数大小的比较 【例12】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 【变式12-1】比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【变式12-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【变式12-3】比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·广东·三模）如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·青海西宁·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（   ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 4．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在，，，，，中，最大的数是 ． 7．某日，绥化市的最低气温是零下，记作 ，最高气温是零上，记作 ． 8．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 10．如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 三、解答题 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来 、、0、、、 12．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 15．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 7．（18-19七年级上·安徽六安·期中）比较大小： ． 8．（24-25九年级下·河南周口·期中）郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 9．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 三、解答题 11．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 13．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 14．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 15．如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$