专题02 一元二次方程中含参数问题（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题02 一元二次方程中含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1 题型二、一元二次方程的解求参数的值 2 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 3 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 5 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 2.关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 3.已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 4.已知方程关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，根据定义得到且是解题的关键． 【详解】解：∵方程关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 题型二、一元二次方程的解求参数的值 5.若是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为： 6.关于x的方程的一个根为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 7.已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 8.若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故答案为：． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 9.关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 则， ∴ 故答案为： 10.若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求整式的值；将代入方程，将整式化为，整体代入计算，即可求解；理解一元二次方程的解，会用整体代换法求整式的值是解题的关键. 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 原式 ， 故答案：8． 11.已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 12.已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 13.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 14.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 即， ∴， 解得：； （2）解：∵，且取最大的整数， ∴， ∴原方程为：， ∴， 即， 解得：；． 15.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 【答案】(1)且； (2)另一个根的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即， 解得：且； （2）解：将代入方程有实数根， 即， 解得：． 将代入原方程，即， 整理得， 解得：． 16.已知一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关定义，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得出，再根据方程有两个实数根得出，即可求解； （2）根据（1）中的取值范围，得出k的值，将其代入，求出，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， 综上： 的取值范围且； （2）解：∵且， ∴符合条件的最大整数， 把代入得：， 解得：， ∵方程与有一个相同的根， ∴方程的一个根为， 把代入得：， 解得：． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 17.关于的方程的两实数根，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先计算一元二次方程根的判别式，求出的范围，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：， ， ， 解得：， 由题意得，解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 18.设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式． 根据根与系数的关系得，再根据，即可解得的值． 【详解】解：∵关于的方程有两实根， ∴， 根据题意得， ， ， 解得， 故答案为：1． 19.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根． ， 解得． ，， ， 即， ，， ∵， ， 故答案为：． 20.已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键． 将代入一元二次方程得到关于k的一元一次方程求解即可． 【分析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 得，解得：． 故选：B． 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 7．（24-25九年级上·广东阳江·期末）若是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个实数根时，判别式，据此列出关于的不等式求解取值范围． （2）先结合（1）中的范围确定正整数的可能值，再根据方程根为整数，利用求根公式分析根的表达式，结合完全平方数的性质确定的值． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系、求根公式，以及完全平方数的性质是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程的判别式 ． 【详解】（1）根据题意，得，解得． 故答案为：； （2）用求根公式表示出方程的根为． 方程的根为整数， 为完全平方数， 的值为2． 故答案为：2． 三、解答题 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程中含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1 题型二、一元二次方程的解求参数的值 2 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 3 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 5 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.方程是关于的一元二次方程，则 ． 2.关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 3.已知是一元二次方程，则 ． 4.已知方程关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 题型二、一元二次方程的解求参数的值 5.若是方程的一个根，则的值是 ． 6.关于x的方程的一个根为3，则 ． 7.已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 8.若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 9.关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 10.若是方程的一个根，则的值为 ． 11.已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 12.已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 13.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 14.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 15.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 16.已知一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 17.关于的方程的两实数根，满足，则 ． 18.设是方程的两个根，且，则 ． 19.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为 20.已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·广东阳江·期末）若是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）设、是方程的两个根，且，则 ． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 三、解答题 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$