专题01 一元二次方程的解法（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题01 一元二次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1 题型二、解一元二次方程 3 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 7 题型四、十字相乘法解一元二次方程 10 题型五、换元法解一元二次方程 14 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程配方问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而求解． 【详解】解：原方程变形为， 配方得：， 即； 故选：D． 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 3．把方程化成的形式，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 4．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、解一元二次方程 5．用适当的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）因十分解法解方程即可； （4）公式法解方程即可． 【详解】（1）解：开方，得， ． （2）， ， ， ， ． （3）整理，得． 移项，得． 因式分解，得， ． （4）移项，得， ， ， ． 6．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （3）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 7．按指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程． （1）把25移到方程的右边，利用直接开平方解答即可． （2）先把5移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于9，可以解答． （3）先移项，发现左边的形式是完全平方式，则可以分解因式，利用因式分解法解答． （4）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出的值，最后套用求根公式解得． 【详解】（1）解： 移项得， 所以， 解得，，； （2）解： 移项得， 配方，得 即 所以 解得，，； （3）解： 移项得， 即 解得，； （4）解： ，，， ， ， 所以，． 8．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的结构特点选择适当的方法解方程，（1）题用提公因式法求出方程的根．（2）（3）题把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（4）题把常数项移到右边，用配方法解方程． （1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根． （3）用求根公式求出方程的根． （4）把常数项移到右边，用配方法解方程． 【详解】（1）解：， 原方程可变形为：， 即， 或． 解得，； （2）解：， 原方程可变形为：， ，，， ， ，． （3）解：， ，，， ， ，． （4）解：， 原方程可变形为， ， ． ， ，． 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 9．数学课上，老师展示了班级某位同学解方程的过程，其过程如下： 解：        第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 (1)第三步的依据是_______， (2)该同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出该方程的正确解． 【答案】(1)等式的基本性质1 (2)二，等式右边没有除以3 (3)， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质进行解答即可； （2）根据解题过程进行解答即可； （2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：第三步的依据是等式的基本性质1； （2）解：该同学的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是等式右边没有除以3； （3）解： ， ， ， ， ， ∴，． 10．解方程时，小明同学解答过程如下： 第①步∵，， 第②步∴ 第③步∴ 第④步∴，． 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程． 【答案】①，正确解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先把方程化成一般式，然后再按照公式法逐步判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，即第①步发生错误； ∴， 第③步∴， 第④步∴，． 11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解： ． 12．如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，即，……第三步 由此可得，……第四步 所以，.……第五步 (1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，配方错误 (2)见详解 【分析】（1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解， 本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可， ∴第三步出错， 故答案为：三，配方错误， （2）解： 二次系数化为， 移项， 配方，，即 直接开方， ∴原方程的解为：，． 题型四、十字相乘法解一元二次方程 13．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 14．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 15．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 16．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型五、换元法解一元二次方程 17．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 19．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 21．用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 22．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ， ∴， 即， ∴， 解得 23．对于实数定义运算“”为，如．请根据这个规定解答下列问题： (1)求的值； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，解一元二次方程，根据新定义列方程是解题的关键． （1）根据定义，即可解答； （2）根据定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得， 整理得， ， ． 24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 2．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．将原方程整理为标准二次方程形式，通过因式分解或求根公式求解． 【详解】解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 即：， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 4．定义一种运算：，例如，若，则正数x的值为（   ） A．0 B．0或4 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据新定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 解得，， ∴正数x的值为4， 故选：D． 二、填空题 5．一元二次方程的根为 ． 【答案】，． 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以左边两个式子中至少有一个为0，直接解答即可． 【详解】解：， 或， ，． 故答案为：， 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ∴， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据题中所给的新运算法则，分和两种情况解方程即可． 【详解】解：当，即时，， ， ， ∴， ∵， ∴舍去，只取； 当，即时，， ， ， ， ∴， 综上，x的值为或0或4， 故答案为：或0或4． 三、解答题 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解方程的方法是关键． （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟悉一元二次方程各种解法是解题的关键； （1）方程两边同乘2，化为，两边分别加上1，再开平方即可求解； （2）先求出判别式，代入求根公式中即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 两边分别加上1，得，即， 两边开平方得：， 解得：； （2）解：， ∴， 即． 12．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解后，求解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解后，求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即， 解得． （2）因式分解，得， 即， 解得． 13．小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 14．定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为或 【分析】（1）先比较大小，后选择公式计算即可． （2）分类，列式计算即可求x的值． 本题考查了实数的新定义计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解：当时即，； 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时即，． 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 综上所述，符合题意的x的值为或． 15．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 16．定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 【答案】(1) (2)；；互为倒数 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； （2）解：对于方程， ， 解得，， 根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下： 一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根，， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；；互为倒数； （3）解：方程的两根是，， 该方程的“友好方程”的两根为，， 则方程的两根，， 即，， 整理方程得， 关于x 的方程的两根为，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1 题型二、解一元二次方程 3 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 7 题型四、十字相乘法解一元二次方程 10 题型五、换元法解一元二次方程 14 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程配方问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 3．把方程化成的形式，则式子的值是 ． 4．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 题型二、解一元二次方程 5．用适当的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 7．按指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 8．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 9．数学课上，老师展示了班级某位同学解方程的过程，其过程如下： 解：        第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 (1)第三步的依据是_______， (2)该同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出该方程的正确解． 10．解方程时，小明同学解答过程如下： 第①步∵，， 第②步∴ 第③步∴ 第④步∴，． 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程． 11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 12．如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，即，……第三步 由此可得，……第四步 所以，.……第五步 (1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； (2)请写出正确的解答过程． 题型四、十字相乘法解一元二次方程 13．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 14．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 15．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 16．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 题型五、换元法解一元二次方程 17．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 19．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 21．用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 22．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 23．对于实数定义运算“”为，如．请根据这个规定解答下列问题： (1)求的值； (2)解方程：． 24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．定义一种运算：，例如，若，则正数x的值为（   ） A．0 B．0或4 C．3 D．4 二、填空题 5．一元二次方程的根为 ． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 7．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）解方程： (1) (2) 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1) (2) 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 12．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 13．小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 14．定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 15．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 16．定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$