专题03 一元二次方程的实际应用问题（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题03 一元二次方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 3 题型三、用一元二次方程解决营销问题 5 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 9 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1.快递又称速递或快运，是指物流企业（含货运代理）通过自身的独立网络或以联营合作（即联网）的方式，将用户委托的文件或包裹，快捷而安全地从发件人送到收件人的门到门的运输方式．某小区新开了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件． (1)该快递点这三天揽件日平均增长率； (2)按这个增长率，求第四天揽件数约为多少件．（结果取整数） 2.某商城在2024年三八节期间促销海尔冰箱，每台标价为3000元．商城举行了促销摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，且每次降价的百分率相同，若该冰箱最终以2430元售出．求每次降价的百分率． 3.“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 4.聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 题型二、用一元二次方程解决传播问题 5.某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 6.某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 7.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 8.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 题型三、用一元二次方程解决营销问题 9.“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 10.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 11.某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 12.大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 13.如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 14.如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 15.如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 16.如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 17.如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 18.如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 19.乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． (2)根据你所列的方程求出x的值． 20.新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 2．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 6．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 8．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 三、解答题 9．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 12．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 15．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 3 题型三、用一元二次方程解决营销问题 5 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 9 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1.快递又称速递或快运，是指物流企业（含货运代理）通过自身的独立网络或以联营合作（即联网）的方式，将用户委托的文件或包裹，快捷而安全地从发件人送到收件人的门到门的运输方式．某小区新开了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件． (1)该快递点这三天揽件日平均增长率； (2)按这个增长率，求第四天揽件数约为多少件．（结果取整数） 【答案】(1)该快递点这三天揽件日平均增长率为 (2)按这个增长率，第四天揽件数约为件 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （2）根据第三天揽件数量和（1）中的增长率即可求解． 【详解】（1）解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 答：该快递点这三天揽件日平均增长率为； （2）根据题意得：（件）， 答：按这个增长率，第四天揽件数约为件． 2.某商城在2024年三八节期间促销海尔冰箱，每台标价为3000元．商城举行了促销摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，且每次降价的百分率相同，若该冰箱最终以2430元售出．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率是． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 3.“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【答案】(1) (2)31.25万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由题意列式计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 由题意可得 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月平均增长率为． （2）（万人） 答：7月份的游客人数为31.25万人． 4.聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【答案】(1) (2)21个小区 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额2021年投入资金金额（年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解． 【详解】（1）解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为； （2）解：． 答：该市在2024年最多可以改造21个小区． 题型二、用一元二次方程解决传播问题 5.某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 6.某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛． 本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可． 【详解】解：设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 8.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 题型三、用一元二次方程解决营销问题 9.“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 10.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 (2)每件恤衫的销售价应该定为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； （2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； （3）解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 11.某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 【答案】(1) (2)40元或者60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程． （1）利用待定系数法求解可得； （2）由题意可得，， 再求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 根据图象可知，点在上，代入可得， ∴ ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， 解得，， 答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元． 12.大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 13.如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 14.如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 15.如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 16.如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 17.如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 18.如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 19.乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． (2)根据你所列的方程求出x的值． 【答案】(1)，， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设金色纸边的宽度为分米，那么挂画的长可表示为分米，挂画的宽可表示为分米，根据挂画的面积为80平方分米，列方程即可； （2）求解（1）所列的方程． 【详解】（1）解：设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长为分米，挂画的宽为分米， 由题意得； 故答案为：，，． （2）解：整理方程得：， 解得：，（不合题意舍去）． ， 20.新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染后，患病人数为人， 第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：， 根据题意，有：， 解得：或（舍去）， 因此，每轮传染中平均一个人传染了人． 故选：B． 2．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 4．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，初三时的体重是，根据“到九年级时，体重增加到”列出一元二次方程，解方程即可得到答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：． 6．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【详解】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得．整理，得，解得．要扩大销售，减少库存，应舍去，．故每件衬衫应降价20元． 8．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 【答案】60 【分析】设挤奶棚边长为米，根据正方形空地边长表示出仓库边长，再依据“挤奶棚面积 + 仓库面积 + 养殖区面积 = 正方形空地面积”这一关系列出方程，求解方程后结合挤奶棚与仓库面积大小关系确定挤奶棚边长．本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握正方形面积公式以及根据面积关系列方程求解是解题的关键，涉及知识点有正方形面积计算、一元二次方程的建立与求解 ． 【详解】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为． 挤奶棚和仓库均为正方形， ∴可列方程为． 整理，得， 解得． 挤奶棚的面积大于仓库的面积， 挤奶棚的边长为． 三、解答题 9．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平行于围墙的一边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平行于围墙的一边长围栏的总长度门的宽度垂直于墙的一边长，即可用含的代数式表示出平行于围墙的一边长； （2）根据生态园的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：平行于围墙的一边长为米． 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得，． ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ． 故的值为4． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 12．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； (2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 15．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$