专题05 反比例函数k的几何意义（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题05 反比例函数中k的几何意义 目录 1 类型一、一点一垂直 1 类型二、一点两垂直 7 类型三、两点一垂直 14 类型四、两点两垂直 17 类型五、曲线与一次函数 23 类型六、两曲一平行（两条同号k值曲线+平行线） 32 类型七、两曲一平行（异号k值曲线+平行线） 38 43 【解题思路】考题常结合反比例函数比例系数k的几何意义，考查求图形面积问题，或根据图形面积求k的值确定解析式等，在解题过程中，时常用到反比例函数图像的中心对称性，把问题转化成同底(等底)等高的三角形，结合k的几何意义求解. 当直角顶点在坐标轴上或在原点时，常常要过双曲线上的点向坐标轴作垂线，得到“一线三等角”模型，构造三角形相似借助相似的性质解决问题. 类型一、一点一垂直 反比例函数图像上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为 1．（2023合肥期末）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解． 【详解】解：由条件可知， 解得：， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解题的关键． 设点，根据题意可得的值，即可求点坐标，代入解析式可求解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 设点， ∵， 解得：， ∴， ． 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．连接，推出，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、B为反比例函数图象上两点，轴于点C． （1） ； （2）若，则B点坐标为 ． 【答案】 16 【分析】（1）求解，可得反比例函数解析式为：，再结合的几何意义可得答案； （2）如图，延长交的延长线于，过作轴于，求解，证明，，可得，，，设，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵点、B为反比例函数图象上两点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵轴于点C． ∴， 故答案为：， （2）如图，延长交的延长线于，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（20-21九年级上·北京石景山·期末）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的三角形的面积为常数的一半． 【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义得， ，， ∴． 故答案为：． 类型二、一点两垂直 反比例函数图像上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，是反比例函数图象上一点，且矩形的面积为5，则该反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义、矩形的性质，由反比例函数的k的几何意义得到矩形的面积等于求解即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵矩形的面积为5， ∴， ∵该函数图象中第二象限， ∴， 则该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 10．（20-21九年级上·安徽淮北·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点C、D在x轴上，且，四边形的面积为4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据题意可得出四边形是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵平行四边形的面积为4，即，， ∴， ∴或（舍去） 故答案为：． 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂分别为点D，E，当矩形与的面积相等时，k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，的面积的计算是解题的关键． 【详解】一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B， 令，则，令，则， ∴点A、B的坐标分别为， ∴的面积， 又∵矩形的面积为k， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，已知的纵坐标为10．    （1）的值为 ； （2）阴影部分的面积，，，的和为 ． 【答案】 【分析】（1）可得，代入即可求解； （2）可求，将所以阴影部分面积移到一起是矩形，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得：， 故答案：． （2）由（1）得：， 当时， ， 解得：， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式，根据的意义求矩形面积，理解的意义是解题的关键． 13．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 类型三、两点一垂直 1）反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|. 2）反比例函数与一次函数图像的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 14．（20-21九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键．由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 故答案为：4． 15．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】6 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ． 故答案为：6． 16．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数的图象相交于点A、点B，过点A作轴，垂足为C，连接．若的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即． 首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于 4 ，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于两点， ∴两点关于原点对称， ， ∴的面积的面积， 又 ∵是反比例函数图象上的点，且轴于点， ∴的面积， ， ， ， 故答案为：． 类型四、两点两垂直 反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 17．（2021·河南许昌·一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 【答案】A 【分析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点， ∴设A的坐标为（x，）， ∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上， ∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，）， ∴AB=，AC=， ∵△ABC的面积为， ∴， ∴=9， ∴， ∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 18．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 19．（2020·上海·二模）点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 20．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是． 连接，过点和点分别作轴的垂线段和，证明则 面积面积； 易知面积 面积由此可得 面积面积面积面积，解即可，注意 【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和， ∴， 又∵ ∴， ∴面积面积. ∵点在双曲线上， ∴面积， ∵点在双曲线上， 且， ∴面积， ∵四边形是平行四边形， ∴面积面积面积面积， 解得(正数舍去)， 故答案为： ． 21．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知点A、B分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过作轴，过作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，证明，利用反比例函数的几何意义求出与面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ， 点，分别分别在反比例函数与图象上， ，，即， ， 在中，设，则，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 则． 故答案为：． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 类型五、曲线与一次函数 22．（22-23九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【答案】C 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 23．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得，割补法表示面积得，即可求解；能通过两种方法表示面积是解题的关键. 【详解】解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 25．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．由题意得∽，再根据面积比等于相似比的平方求出，由得，结合求出；设，，则，，，， 根据求出，即可得出结论． 【详解】解：①， ∽， ， ， 而，， ， ， ， ， ，，， ②设，， 由图可知：，，，， ， ， ， 即，解得， ． 故选：C． 26．（2023·安徽·模拟预测）已知点在双曲线上，作轴，轴，垂足分别为点．若四边形的面积是6，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解决问题． 设，则点，点．进而即可求解 【详解】解：设，则点，点． ∵四边形的面积是6， ， 解得． 故答案为：8 27．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质．设F点的坐标为，可求得点E的坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴设F点坐标为，点E的坐标为， ，解得， 点坐标为， 则， 整理得：， 解得或(不合题意，舍去)， ， ∵双曲线分别交、于、两点， ， 故答案为：12． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 29．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．先 出，再求出阴影部分的面积． 【详解】解：矩形中，， 点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同， 将代入得：，将代入得：， ， ， ． 故答案为：7． 类型六、两曲一平行（两条同号k值曲线+平行线） 30．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 31．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 32．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过的两个顶点，，的另外两个顶点，均在轴的正半轴上，若的面积等于9，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形， 作轴，作轴，设点，可得点，，进而表示. 再根据的面积等于9列出方程，可求出答案． 【详解】解：过点A作轴，于点F，点B作轴，于点E， ∴． 设点，则点，， ∴． ∵的面积等于9， ∴， 即， 解得． 故答案为：13． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．    【答案】24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，    ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 34．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 轴，四边形是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 边上的高， 的面积， 故答案为：8． 35．（23-24九年级上·河北沧州·期中）函数和在第一象限内的图像如图，点是的图像上一动点，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点．则：    （1）四边形的面积 发生变化；（选填“会”或“不会”） （2） ． 【答案】 不会 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数的几何意义是解答此题的关键． 由于、是反比函数上的点，可得出，根据反比例函数系数的几何意义可求出四边形的面积；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 【详解】（1）解：∵、是反比函数上的点， ∴， ∵是的图象上一动点， ∴， ∴， 故答案为：不会； （2）连接， ， 故答案为：．    类型七、两曲一平行（异号k值曲线+平行线） 36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答此题的关键． 设点的横坐标为，代入反比例函数中，可得到，由于轴，可得，从而可得的长，知道的底和高，即可得到答案． 【详解】解：设点横坐标为 ∵点在上 ∴ ∵轴 ∴ ∵在上 ∴，则 ∴． 故选：A． 37．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，作于，于，则，由平移性质可知，故有，通过求出，，证明，则，则，然后利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ∴， ∴， 由平移性质可知：， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 38．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【详解】解：连接、、， 轴，， 四边形为平行四边形， ， 轴， ， 由反比例函数系数的几何意义得， ，，　 ， ， 故选：B． 39．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求， （2）根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，且面积是， ∴， 两个正方形面积分别是和， 两个正方形的边长分别是和， 设，， 则， （2）， 解得：， ， ， 故答案为：，． 1．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    【答案】 【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 解得：，，舍去， ∴， 即点D的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    【答案】 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得，；由反比例函数系数的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数图象上的两点， ， 解得，， 、， 作轴于，轴于，    ∴由反比例函数k的几何意义可知， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可； （2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， ， ∴反比例函数表达式为，， ， 将、两点的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：令一次函数的图象与轴交于点，   轴，， ∴四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系． 4．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为． (1)求的坐标 (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据结合反比例函数解析式求出即可； （2）根据反比例函数中的几何意义再结合图像进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为．．．的横坐标为， ∵均在反比例函数上， ∴； （2）∵过双曲线任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积是一个定值，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质以及的几何意义是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及反比例函数k的几何意义，一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的判定与性质，难度较大． （1）设，联立一次函数和反比例函数解析式得到，根据根与系数的关系得到，再得到“弦长公式”即可求解； （2）当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接，则，同理，由反比例函数k的几何意义得到，故，则，及时四边形和四边形是平行四边形，则，继而可求证，对于别的情况证法类似． 【详解】（1）解：设 ∵， ∴直线， 则联立得： ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴， 解得： （2）证明：当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接， 则轴，轴 ∴， 同理， 由反比例函数k的几何意义得到， ∴， ∵共底， ∴等高， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：当点分别靠近点时， 同理可得：， ∴； 当直线与第三象限的反比例函数相交时，同理可证明； 当直线与双曲线在第三象限相交时，如图，同理可证明． 6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)的面积为6 (3)和 【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）过点作轴，过点作轴，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （3）理解时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由双曲线过， 得， 反比例函数的解析式为； 双曲线过， ，即， 由直线（，为常数）交于，两点，得 ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：过点作轴，过点作轴，如图所示： ， ，， ， ； （3）解：时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 由图可知，当和时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 时的取值范围是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式、反比例函数中的几何意义、梯形面积公式、由函数图象解不等式等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)      【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 9．（24-25九年级上·广西·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 10．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数中k的几何意义 目录 1 类型一、一点一垂直 1 类型二、一点两垂直 3 类型三、两点一垂直 6 类型四、两点两垂直 7 类型五、曲线与一次函数 8 类型六、两曲一平行（两条同号k值曲线+平行线） 11 类型七、两曲一平行（异号k值曲线+平行线） 13 15 【解题思路】考题常结合反比例函数比例系数k的几何意义，考查求图形面积问题，或根据图形面积求k的值确定解析式等，在解题过程中，时常用到反比例函数图像的中心对称性，把问题转化成同底(等底)等高的三角形，结合k的几何意义求解. 当直角顶点在坐标轴上或在原点时，常常要过双曲线上的点向坐标轴作垂线，得到“一线三等角”模型，构造三角形相似借助相似的性质解决问题. 类型一、一点一垂直 反比例函数图像上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为 1．（2023合肥期末）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．4 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 5．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、B为反比例函数图象上两点，轴于点C． （1） ； （2）若，则B点坐标为 ． 6．（20-21九年级上·北京石景山·期末）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 类型二、一点两垂直 反比例函数图像上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 ∵， 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，是反比例函数图象上一点，且矩形的面积为5，则该反比例函数的解析式是 ． 10．（20-21九年级上·安徽淮北·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点C、D在x轴上，且，四边形的面积为4，则 ． 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂分别为点D，E，当矩形与的面积相等时，k的值为 ．    12．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，已知的纵坐标为10．    （1）的值为 ； （2）阴影部分的面积，，，的和为 ． 13．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    类型三、两点一垂直 1）反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|. 2）反比例函数与一次函数图像的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 14．（20-21九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 15．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数的图象相交于点A、点B，过点A作轴，垂足为C，连接．若的面积为8，则 ． 类型四、两点两垂直 反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 17．（2021·河南许昌·一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 18．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 19．（2020·上海·二模）点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 20．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 21．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知点A、B分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 类型五、曲线与一次函数 22．（22-23九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 23．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 25．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 26．（2023·安徽·模拟预测）已知点在双曲线上，作轴，轴，垂足分别为点．若四边形的面积是6，则的值是 ． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为 ． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 29．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 类型六、两曲一平行（两条同号k值曲线+平行线） 30．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 31．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 32．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过的两个顶点，，的另外两个顶点，均在轴的正半轴上，若的面积等于9，则的值为 ． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．      34．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 35．（23-24九年级上·河北沧州·期中）函数和在第一象限内的图像如图，点是的图像上一动点，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点．则：    （1）四边形的面积 发生变化；（选填“会”或“不会”） （2） ． 类型七、两曲一平行（异号k值曲线+平行线） 36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 37．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（ ） A． B． C． D． 38．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 1．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 4．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为． (1)求的坐标 (2)求的值； 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 8．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 9．（24-25九年级上·广西·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 10．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$