专题06 反比例函数的图像与性质（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题06 反比例函数的图像与性质 目录 1 类型一、反比例函数的定义 1 类型二、求反比例函数的解析式 3 类型三、画反比例函数图像 7 类型四、反比例函数的性质 17 类型五、反比例函数与一次函数综合 23 类型六、反比例函数与几何综合 31 类型七、反比例函数与一次函数交点个数问题 39 类型八、反比例函数与直角三角形综合 47 类型九、反比例函数中的平行与相等 52 62 类型一、反比例函数的定义 反比例函数解析式的特征：1) 等号左边是函数，等号右边是一个分式； 2）； 3） 分母中含有自变量x，且指数为1. 1．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 3．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 类型二、求反比例函数的解析式 （1）设：设所求的反比例函数为：； （2）列：把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中. 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【答案】, 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．根据已知条件得到在第一象限,可知点一定在第二象限,因点为第四象限点坐标,又因反比例函数经过其中两点,于是得到反比例函数解析式和的值． 【详解】解:∵点,分别在第一、四象限,点不可能在第三象限, ∴点在第二象限,且反比例函数的图像经过,两点, ∴设反比例函数的表达式为, 把代入中: 即,, ∴反比例函数的表达式为, ∴把代入中, 即, ∴． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质； （1）待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， ∴反比例函数解析式为； （2）∵， ∴反比例函数在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， ∴在第三象限，在第一象限， ∴． 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求解解析式是解题关键． （1）过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，可得进而得；结合点都在反比例函数的图象上，可得推出．求得点A即可求解； （2）由（1）易得点，设一次函数的解析式为，将A，代入可求得解析式，从而得点，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， 由题意可知，， ． 又∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 又∵， ∴，即， ∴点A．                 将点A代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，由（1）易得，点， 设一次函数的解析式为， 将A，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为， ∴点 ， ∴， ∴． 类型三、画反比例函数图像 7．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　 　 6 6 4 　 　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　 　； ②函数y＝的一条性质：　 　． 【答案】（1），4，3；（2）图象见解析；（3）①或．（只要不超过范围都可估计）；②图象关于轴对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，答案不唯一，合理即可． 【分析】（1）分母不为0，将，分别代入函数解析式求出； （2）用平滑的曲线连接成图象； （3）①结合（1）中表格数据和函数图象进行估计； ②可以从对称性、增减性等方面入手分析，合理即可． 【详解】解：（1）分母不为0， ， 自变量的取值范围为， 当时，，当时，． 故答案为：，4，3． （2）用平滑的曲线连接即可，如右图所示． （3）①由图可知，时，，时，， 时，或， 时，自变量的值约为或．（只要不超过范围都可估计） ②图象关于轴对称， 时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， 答案不唯一，合理即可 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是画图时要按照“列表描点连线”的顺序进行． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上平移2个单位长度得到．函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？请回答下列问题： (1)根据这两个函数表达式，当取某一确定的值时，函数的值与反比例函数的值有何关系？由此可知，函数的图像可以由反比例函数的图像经过怎样的运动变化得到？ (2)在平面直角坐标系中画出函数的图像；类似地，函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？ 【答案】(1)当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移1个单位长度得到的； (2)函数的图像可以由反比例函数的图像向下平移2个单位长度得到的． 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）列表求出同一x值下两个函数的函数值，进而可得当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1，据此可得答案； （2）利用描点画出函数图像，再仿照（1）可求出两个函数的函数值的关系，进而可得两个函数的函数关系． 【详解】（1）解： 1 2 3 3 1 0 4 2 由表格可知，当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1， ∴函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移1个单位长度得到的； （2）解：如图所示，即为所求； 1 2 3 由表格可知，当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值小， ∴函数的图像可以由反比例函数的图像向下平移2个单位长度得到的． 9．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或 【分析】（）把代入函数解析式计算即可； （）根据表格对应值描点连线即可； （）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可； 本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：画图如下： （3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， 故答案为：右，，上，； ②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ∴反比例函数图象的对称中心为，即， 故答案为：； ③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可） ④在图中作出函数的图象如下： 设与的图象相交于点， 由，解得或， ∴，， 由图象可知，当或时，， 即不等式的解集为或． 10．（2025·江苏无锡·三模）东东用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值，同时电流大小会随之改变． 已知串联电路中，电流I与电阻R及之间关系为，． 通过实验东东得到了如下数据： … 1 2 3 b … … a … (1) ， ； (2)结合表格信息，在图2中画出函数的大致图像； (3)结合（2）中的函数图像，直接写出不等式的解集为 ； (4)若点，都在函数的图像上，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) (4)当时或时，，当时，. 【分析】本题考查的是反比例函数与二次函数的综合应用； （1）由已知列出方程，即可解得a，b的值； （2）描点画出图象即可； （3）同一坐标系内画出两个图象，再观察即可得到答案． （4）由可得当或时，随的增大而减小，再分情况讨论即可. 【详解】（1）解：根据题意，， ， 解得，； （2）解：描点，连线，如图所示， （3）解：如图，令， 当时，， 函数对称轴为直线， 此时， ∴的顶点为， ∴两个函数的交点坐标为，， 结合图象可得：不等式的解集为：； （4）解：，当或时，随的增大而减小， ∵点，都在函数的图象上， ∴当时，， ∴， 当时，即时，而， ∴， 当时，， 此时在轴下方，在轴上方， ∴， 综上：当时或时，，当时，. 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … 0 2 3 4 5 … y … 7 4 3 2.5 … (1)函数自变量x的取值范围为 ． (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2)，，图象见解析 (3)当时，随的增大而减小(答案不唯一) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象， （1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据表格得点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【详解】（1）解：， ， ∴函数自变量x的取值范围为． 故答案为：； （2）解：把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 类型四、反比例函数的性质 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 13．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式． （1）把代入函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数图像的性质即可解答． 【详解】（1）解： ∵点在反比例函数的图象上， ∴. ∴ （2）∵反比例函数为，其图象在二、四象限内，且在每一象限内随的增大而增大， 又， ∴①当时，有， 此时点在第四象限的图象上，， 点 在第二象限的图象上，， 则， ②当时，有 ∴. 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值，并画出函数的图象． (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？ (3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ (4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 【答案】(1)，见解析 (2)一、三，减小 (3)、不在，在 (4)在，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点． （1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出k，并画出函数的图象即可； （2）根据函数的性质得出即可； （3）把点、、的坐标代入函数解析式，看看两边是否相等即可； （4）根据已知得，即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴，作出函数图象如下： （2）解：∵， ∴函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； （3）解：当时，； 当时，； ∴点、不在这个函数的图象上，点在函数的图象上； （4）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴点、在这个函数的图象上． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点． (1)确定这个反比例函数的表达式． (2)函数的图像在哪几个象限？ (3)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (4)点、在这个函数的图像上吗？ 【答案】(1) (2)第一，三象限 (3)在每一个象限内，随的增大而减小 (4)点在，点不在 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的基本步骤是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）根据k的值判断出函数图像所在的象限，进而可得出结论； （3）根据（1）中反比例函数的解析式即可得出结论； （4）把点、代入函数解析式进行检验即可． 【详解】（1）解∶ 反比例函数的图像经过点， 解得， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）由（1）知， 函数的图像的两个分支分别位于第一、三象限； （3）由（2）知函数的图像的两个分支分别位于第一、三象限． ∴在每个象限内，y随x的增大而减小； （4）由（1）知反比例函数的表达式为， ∵当时， ，当时，， ∴．点在这个函数的图像上， 不在这个函数的图像上． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： (1)所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ (2)这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ (3)当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 【答案】(1)相反，第二，四象限 (2)这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由见解析 (3)增大，增大 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数的增减性，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）根据题意可得，可得x、y异号，即所取值的符号相反，则这个函数的图像会在第二，四象限； （2）根据得到，据此可得结论； （3）根据比例系数小于0即可得到增减性，据此可得答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴x、y异号，即所取值的符号相反， ∴这个函数的图像会在第二，四象限； （2）解：这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由如下： ∵， ∴， ∴这个函数的图像与轴，轴都没有交点； （3）解：∵反比例函数解析式为，， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，随着的增大，也增大，当时，随着的增大，也增大． 17．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 类型五、反比例函数与一次函数综合 1）将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标； 2）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 18．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 19．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入一次函数，把点代入反比例函数，即可求解； （2）把点代入一次函数解析式可得，结合图形即可求解； （3）根据题意，设，得到，则有，当，的面积最大，最大值为，当时，，当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：把点代入一次函数得，， 解得，， ∴， ∴由图形可得，当或时，， ∴满足的自变量x的取值范围为：或； （3）解：∵点P是线段上一点， ∴设， ∴， ∴， ∴当，的面积最大，最大值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 【答案】(1)6； (2)； (3)． 【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得； （2）解：∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知，不等式的解集为； （3）解：对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， ∴． ∵的面积为14，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 类型六、反比例函数与几何综合 23．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．求点D的坐标并判断点D是否在反比例函数的图象上． 【答案】，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，相似三角形判定及性质，勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意设直线的解析式为，求出的解析式，再求出，再证明，求出，证明，继而求出点D的坐标，即可求出本题答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 联立  解得  或， ∴， ∵对角线垂直于x轴，在中根据勾股定理得：， ∴， ∵对角线垂直于x轴， ∴， ∴ ，   ∴ ， ∴， 过点D 作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标， 当时， ∴点D不在反比例函数的图象上． 24．（2024·安徽安庆·二模）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)过点B作轴且，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的图象过得，则，根据的图象过得，则，根据图象过A，B两点得，进行计算即可得一次函数的解析式； （2）过A作交于N，根据，，且轴得，，根据得在中，，，根据勾股定理得，则，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵的图象过， ∴， ∴， ∵的图象过， ∴， ∴， ∵图象过A，B两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：过A作交于N，如图 ∵，，且轴， ∴，， ∵， ∴ 在中，，，根据勾股定理得 ， ∴， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，添加辅助线及掌握反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理是解题的关键 25．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． (3)把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及一元二次方程，函数图象与不等式结合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点代入求出，即可知点坐标，再代入反比例函数中即可求解； （2）当时，即，由，求出与的交点坐标，利用，即求的图象在的图象下方（包括重合）所对应的自变量的取值范围，即可求解； （3）设直线的解析式为，代入，求出直线的解析式，再联立，求出点坐标，再利用即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得：， 点． 将点代入， 得， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，即， 由， 解得：，， 即与的交点坐标为和， 观察图象，可知时，的取值范围是或， 故时，的取值范围是或； （3）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 由，得， 整理，得， 解得：，， 点的坐标为， ． 26．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】 若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设，即，利用中点坐标公式求得点的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与、轴的交点，利用勾股定理求得，可得，过点作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 把点的坐标代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：设， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点是边的中点， ，即， 把点的坐标代入，得， 解得， ， ． （3）解：将直线向上平移6个单位得到直线， 联立，即， 设， ， 点为的中点， 点的横坐标为， 把代入，得， ， ， 过点作于点，交轴于点，交轴于点， 把代入，得； 把代入，得，解得， 直线与轴交于点， ， ， ． ， ， ， ， ， ．      【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型七、反比例函数与一次函数交点个数问题 当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： 27．（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的图象和性质，把函数关系式联立可求出两个函数图象交点坐标，同时数形结合直观得出不等式的解集． （1）把点坐标代入一次函数关系式可求出的值，确定点的坐标，再代入反比例函数关系式可求出的值，作适当辅助线，根据即可求解； （2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点的坐标，再根据图象可得出当时，的取值范围． （3）若反比例函数与一次函数的图象总有交点，就是有实数根，根据根的判别式求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， 代入反比例函数得， ； 连接， 一次函数，当，， 当，， 联立， 解得：或， ， ； （2）解：反比例函数，由题意得， ，解得，，， 点，点 当，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时， 自变量的取值范围为：或； （3）解：若反比例函数与一次函数的图象总有交点， 即，方程有实数根，也就是有实数根， ， 解得， 的取值范围为：． 28．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键； （1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案． 【详解】（1）解：把代入可得： ∴， ∴； ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）∵把一次函数的图象向下平移b个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， ∴， 整理得：， ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ∴或． 29．（22-23九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 【答案】(1) (2)m的值为1或9 【分析】（1）由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值． 【详解】（1）解：一次函数中， 令，解得， ， ， 作于， 的面积为， ，即， ， 点的纵坐标为1， 代入中，求得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点， ， 整理得， ， 解得或， 即的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 30．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数表达式和n的值． (2)观察图象，请直接写出时x的取值范围． (3)已知点，作直线，将直线向上平移个单位长度后，与双曲线有唯一交点，求b的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把函数关系式联立可求出两个函数图象交点坐标，同时数形结合直观得出不等式的解集． （1）把点A坐标代入一次函数关系式可求出n的值，确定点A的坐标，再代入反比例函数关系式可求出的值即可求解； （2）根据图象可得出当时，的取值范围． （3）先求直线表达式为，由题意得方程有实数根，根据根的判别式求出b的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， 代入反比例函数得， ， ∴反比例函数表达式； （2）解： 点，点 当，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时， 自变量的取值范围为：或； （3）解：当时，， ， 设直线表达式为， 把代入， ， 解得：， 直线表达式为， 将直线向上平移个单位长度后表达式为， 若反比例函数图象与平移后直线有唯一交点， 即方程有实数根，也就是有两个相等的实数根， ， 解得，（不合题意，舍去） ． 类型八、反比例函数与直角三角形综合 图示: 解题大招：左k比右k的绝对值=左边比右边的平方. 31．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．    【答案】 【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设点的坐标为，则， ∴，， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键． 32．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图像上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点，落在函数，的图像上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，    点在反比例函数上，点在上， ，， 又 ， ∽， ， ， 设，则，， 在中，． 故选：D． 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值． 33．（20-21九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线（x＞0），经过点B，双曲线（x＜0），经过点C，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，解直角三角形求得通过证得△AOM∽△OBN，得到进而得到． 【详解】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， ∴S△AOM＝|k1|，S△BON＝|k2|， ∵k1＞0，k2＜0， ∴k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON， 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°， ∴， ∵∠AOM+∠BON＝90°＝∠AOM+∠OAM， ∴∠OAM＝∠BON， ∵∠AMO＝∠ONB＝90°， ∴△AOM∽△OBN， ∴， ∴, 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 34．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设，证明，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则； 设， 则，； ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴或（舍去）， ∴； 故选：B． 类型九、反比例函数中的平行与相等 35．（安徽省马鞍山市第二中学雏鹰班2024-2025学年九年级上学期第一次素养考核数学试卷）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及反比例函数k的几何意义，一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的判定与性质，难度较大． （1）设，联立一次函数和反比例函数解析式得到，根据根与系数的关系得到，再得到“弦长公式”即可求解； （2）当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接，则，同理，由反比例函数k的几何意义得到，故，则，及时四边形和四边形是平行四边形，则，继而可求证，对于别的情况证法类似． 【详解】（1）解：设 ∵， ∴直线， 则联立得： ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴， 解得： （2）证明：当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接， 则轴，轴 ∴， 同理， 由反比例函数k的几何意义得到， ∴， ∵共底， ∴等高， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：当点分别靠近点时， 同理可得：， ∴； 当直线与第三象限的反比例函数相交时，同理可证明； 当直线与双曲线在第三象限相交时，如图，同理可证明． 36．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．    回答下列问题： (1)求的面积． (2)求证：． (3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据的解集为，，求出点F的坐标为，点E的横坐标为6，再求出反比例函数的解析式为，即可求出点E的坐标为，待定系数法求出所在直线的解析式为，即可求出D的坐标为，利用即可得到答案； （2）求出点G的坐标为，由（1）可知：，，，，，得到，，，，求出，即可证明 ； （3）分三种情况利用勾股定理列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）∵的解集为，， ∴点F的坐标为，点E的横坐标为6， 将带入是， ∴反比例函数的解析式为， 将代入得：， ∴点E的坐标为 将、代入得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 将代入得：， ∴点D的坐标为 ∴ （2）将代入得， ∴点G的坐标为， 由（1）可知：，，，，， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （3）存在，点P的坐标是或或或 设点P点的坐标为，由（2）可知，， 则，， ， 当时，， 即， 即， ∴， 当时，， 即， 即， ∴， 当时，， 即， ∴， 即或， ∴或， 综上可知，点P的坐标是或或或 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的图象和性质、待定系数法求出函数解析式、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分类讨论是解题的关键． 37．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数图像和一次函数经过和． (1)求一次函数解析式： (2)一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可； (2)求出A、B两点坐标，再根据坐标特征可证得，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵(1,6)和(2,a)经过反比例函数， ∴，解得 ， ∴N(2,3)， 又∵一次函数经过M(1,6)和N(2,3)， ∴ 得到， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图：过M作MC⊥y轴，垂足为点C；过点N作ND⊥x轴，垂足为点D； ∴ 在一次函数解析式中， 令x=0，得y=9；令y=0，得x=3，即A(0,9)，B(3,0), ∴AO=9，BO=3, ∵M(1,6)和N(2,3)， ∴CO=6，MC=1,DO=2,ND=3, ∴AC=AO-CO=9-6=3，BD=BO-DO=3-2=1, ∴AC=ND=3，MC=BD=1, 在△APM和△NQB中 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键． 38．（23-24九年级上·江西吉安·阶段练习）问题提出 某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线，那么夹在这两条平行线间的与的面积相等．该结论很容易推导：与都以边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高相等，从而得到与的面积相等．兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？ 结论证明 （1）通过证明可以发现上述结论反过来也是成立的，即如果与的面积相等，那么直线．请你结合图1完成该证明． 结论应用 （2）如图2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，和交于点E，求证：． 拓展延伸 （3）如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在反比例函数的图象上，且，求点C的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）根据面积公式，得，结合，，得，即四边形是平行四边形，即可作答． （2）连接，，先解出，，因为轴，轴，所以，．根据面积公式，，即可作答． （3）过点作直线交轴于点，连接，由反比例函数的k的几何意义，得，结合一次函数，得，．则直线的表达式为，联立方程组即可作答． 【详解】解：（1）∵，，． ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即． （2）证明：如图1，连接，． ∵反比例函数的图象经过，两点，． ∴，， 解得，． ∵轴，轴， ∴，，， ∴，． ∵，，且，， ∴， ∴． （3）如图2，过点作直线交轴于点，连接， ∴． ∵直线与轴交于点，与轴交于点． ∴，， 即，． ∵， 解得， ∴． ∴直线的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上． 由 解得，或 ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及反比例函数的k的几何意义，求一次函数的解析式，平行线之间的距离性质，三角形面积公式，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． (1)求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． (2)连接，求的值． (3)观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据的长及的正切求出的长，进而得出点的坐标，进一步可求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，由、两点的坐标即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意，分别求出及的面积即可解决问题； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：轴， ， 在中，，      ， ，            点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为，                     点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点代入直线中， 得， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由，得， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， ； （3）解：由函数图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 关于的不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的图象与性质、解直角三角形、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． （3）解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点E坐标为． 【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键． （1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可； （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意点B的坐标为， ∵点、B都在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵点A坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数图象上， ∴， 解得，， 因为点A坐标为， 所以舍去，所以点E坐标为． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为； （2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）解：联立， 解得：或， ， 观察图象得，时，的取值范围为或， 即时，的取值范围为或； （3）解：设， ∵轴， ∴， ， ， 解得：， ． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)2 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把点A的坐标代入，即可得到结论； （2）根据中心对称的性质，再求出B到的距离即可； （3）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A的坐标为， 根据中心对称可得， ∴B到的距离为； （3）解：∵， ∴， ∵对角线垂直于x轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 6．（2023·山东青岛·一模）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把点代入，确定，分别代入，，计算即可． （2）首先求出与相交时两横坐标分别为1，3，结合不等式，运用数形结合思想求解即可． （3）分，计算即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． （2）∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． （3）∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 8．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 9．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于两点． (1)求该反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数（反比例）图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及利用轴对称解决最短路径问题，解题的关键是：（1）联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出点的坐标；（2）利用两点之间线段最短找出点的位置． （1）将代入直线的函数表达式中即可求出点的坐标，由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由两点之间线段最短可得出此时取最小值，根据点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ， ∴点， ∵点在反比例（为常数，且）的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为， 联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：， 解得：，， ∴点； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图所示， ∵点关于轴对称， ， ∵点三点共线， ∴此时取最小值． 设直线的函数表达式为， 将代入， ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∴满足条件的点的坐标为， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数的图像与性质 目录 1 类型一、反比例函数的定义 1 类型二、求反比例函数的解析式 2 类型三、画反比例函数图像 3 类型四、反比例函数的性质 6 类型五、反比例函数与一次函数综合 7 类型六、反比例函数与几何综合 9 类型七、反比例函数与一次函数交点个数问题 11 类型八、反比例函数与直角三角形综合 13 类型九、反比例函数中的平行与相等 14 16 类型一、反比例函数的定义 反比例函数解析式的特征：1) 等号左边是函数，等号右边是一个分式； 2）； 3） 分母中含有自变量x，且指数为1. 1．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 3．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 类型二、求反比例函数的解析式 （1）设：设所求的反比例函数为：； （2）列：把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中. 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 类型三、画反比例函数图像 7．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　 　 6 6 4 　 　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　 　； ②函数y＝的一条性质：　 　． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上平移2个单位长度得到．函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？请回答下列问题： (1)根据这两个函数表达式，当取某一确定的值时，函数的值与反比例函数的值有何关系？由此可知，函数的图像可以由反比例函数的图像经过怎样的运动变化得到？ (2)在平面直角坐标系中画出函数的图像；类似地，函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？ 9．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 10．（2025·江苏无锡·三模）东东用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值，同时电流大小会随之改变． 已知串联电路中，电流I与电阻R及之间关系为，． 通过实验东东得到了如下数据： … 1 2 3 b … … a … (1) ， ； (2)结合表格信息，在图2中画出函数的大致图像； (3)结合（2）中的函数图像，直接写出不等式的解集为 ； (4)若点，都在函数的图像上，试比较和的大小，并说明理由． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … 0 2 3 4 5 … y … 7 4 3 2.5 … (1)函数自变量x的取值范围为 ． (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ． 类型四、反比例函数的性质 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 13．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值，并画出函数的图象． (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？ (3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ (4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点． (1)确定这个反比例函数的表达式． (2)函数的图像在哪几个象限？ (3)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (4)点、在这个函数的图像上吗？ 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： (1)所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ (2)这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ (3)当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 17．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 类型五、反比例函数与一次函数综合 1）将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标； 2）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 18．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 19．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 类型六、反比例函数与几何综合 23．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．求点D的坐标并判断点D是否在反比例函数的图象上． ， 24．（2024·安徽安庆·二模）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)过点B作轴且，连接，求的面积． 25．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． (3)把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积． 26．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】 若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    类型七、反比例函数与一次函数交点个数问题 当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： 27．（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 28．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 29．（22-23九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 30．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数表达式和n的值． (2)观察图象，请直接写出时x的取值范围． (3)已知点，作直线，将直线向上平移个单位长度后，与双曲线有唯一交点，求b的值． 类型八、反比例函数与直角三角形综合 图示: 解题大招：左k比右k的绝对值=左边比右边的平方. 31．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．    32．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图像上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 33．（20-21九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线（x＞0），经过点B，双曲线（x＜0），经过点C，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 34．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（    ） A． B． C． D． 类型九、反比例函数中的平行与相等 35．（安徽省马鞍山市第二中学雏鹰班2024-2025学年九年级上学期第一次素养考核数学试卷）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 36．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．    回答下列问题： (1)求的面积． (2)求证：． (3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标． 37．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数图像和一次函数经过和． (1)求一次函数解析式： (2)一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：． 38．（23-24九年级上·江西吉安·阶段练习）问题提出 某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线，那么夹在这两条平行线间的与的面积相等．该结论很容易推导：与都以边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高相等，从而得到与的面积相等．兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？ 结论证明 （1）通过证明可以发现上述结论反过来也是成立的，即如果与的面积相等，那么直线．请你结合图1完成该证明． 结论应用 （2）如图2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，和交于点E，求证：． 拓展延伸 （3）如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在反比例函数的图象上，且，求点C的坐标． 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． (1)求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． (2)连接，求的值． (3)观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 6．（2023·山东青岛·一模）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 8．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 9．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于两点． (1)求该反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$