4.1函数（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

4.1 函数 7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（1道） 一、函数的概念 1．（24-25八年级下·北京·期中）下列曲线中表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．根据函数的定义，逐项判断即可求解， 【详解】解：A、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； B、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； C、满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，y是x的函数，符合题意； D、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（   ）个 底面积 高 ①所代表的值为；        ②自变量是，因变量是； ③变量，的关系式为；    ④若，则． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，求函数关系式，求函数值，结合圆柱体积公式分析，即可求解． 【详解】解：①底面积对应的高为．由体积公式，得，故①正确． ②“高随底面积变化”，因此自变量是，因变量是．②错误． ③根据圆柱体积公式，变形得，与③一致，故③正确． ④当时，，而非，故④错误． 综上，正确的有①和③，共2个， 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据函数的定义，对于每个x值，都有唯一的y值对应．逐一判断各关系式是否满足该条件． 【详解】解： ①：每个x对应唯一y，是函数． ②：每个x对应唯一y，是函数． ③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数． ⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ⑥：每个x对应唯一y，是函数． ∴y是x的函数的有①②④⑥。 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了自变量的定义，在函数关系中，自变量是主动变化的量，因变量随自变量的变化而变化． 【详解】解：根据题意，找回的钱与购买的数量满足关系式． 其中，购买数量是自主选择的量，它的变化直接导致的变化，因此自变量为． 故选：C． 二、求自变量的取值范围 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 故， 故选：C. 2．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的范围，求函数自变量的取值范围，需确保根号内的表达式非负． 【详解】解：根据题意得：． 解得， 故选：C． 3．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，注意函数自变量的范围一般从三个方面考虑（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据题意得：被开方数， 解得， 根据分式有意义的条件，， 解得， 故且． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知变量与的关系式是，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查函数值的问题，将自变量的值代入函数解析式求值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建三明·期末）变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故答案为：． 三、求自变量或函数值 1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（ ） A． B． C．0 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的值，根据题意，可得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 故选： 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知函数，当时，_____． 【答案】3 【分析】本题考查了求一次函数自变量的值，将字母正确替换是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：当时，，解得． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的函数关系是，则自变量时的函数值为 . 【答案】 【分析】本题考查求函数值，解题的关键是正确理解函数的概念. 把的值代入函数关系式，计算即可. 【详解】解：∵变量与之间的函数关系是， ∴当时，， 故答案为： ． 四、用表格表示函数 1．（21-22八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 【答案】A 【分析】根据函数的相关知识结合所给表格逐一进行分析判断即可得答案 【详解】解：A．由题意可知，水池剩余水量是因变量，放水的时间是自变量，原说法错误，故本选项符合题意； B．由题意可知，每分钟放水2，原说法正确，故本选项不符合题意； C．根据题意可得蓄水量y＝30﹣2t，所以放水8分钟后，水池剩余水量为： 30﹣2×8＝14（），原说法正确，故本选项不符合题意； D．放水钟，水池里的水为：30﹣2×15＝0（），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的自变量和应变量的定义及函数关系式，求出剩余水量和放水时间之间的关系是解题的关键． 2．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 【答案】10 【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中两个变量的变化关系可知， 行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升， 所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升， 故答案为：10． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提． 3．（20-21七年级下·辽宁锦州·期中）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（℃）之间的关系如下： 气温（℃） 0 5 10 15 20 … 音度（米/秒） 331 334 337 340 343 … 从表中可知音速随温度的升高而 ；在气温为15℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 【答案】 加快 102 【分析】从表格可以看到y随x的升高而加快；15℃时，音速为343米/秒，距离为340×0.3=102米； 【详解】解：从表格可以看到y随x的升高而加快； 15℃时，音速为340米/秒，340×0.3=102米， 这个人距离发令点102米； 故答案为：加快；102； 【点睛】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键． 4．（20-21七年级下·广东佛山·期中）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：（弹簧最大承重20kg） 所挂物体质量x 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）如表反映的变化过程中，自变量、因变量分别是什么？ （2）当物体的质量为2kg时，弹簧的长度是多少？ （3）如果物理的质量为xkg，弹簧长度为ycm，请根据如表写出y与x之间的关系式； （4）当弹簧的长度为15.5cm时，根据（3）的关系式，求出物体的质量． 【答案】（1）自变量是物体的质量，因变量是弹簧的长度；（2）13cm；（3）y＝0.5x＋12；（4）7kg 【分析】（1）根据表格中的信息，可以写出自变量、因变量分别是什么； （2）根据表格中的数据，可以直接写出当物体的质量为2kg时，弹簧的长度是多少； （3）根据表格中的数据，可以得到y与x之间的关系式； （4）将y＝15.5代入（3）中的函数关系式，求出相应的x的值，即可求得相应的物体的质量. 【详解】解：（1）由表格可知，自变量是物体的质量，因变量是弹簧的长度； （2）由表格可知，当物体的质量为2kg时，弹簧的长度是13cm； （3）由表格可知，当物体的质量每增加1kg时，弹簧的长度就增加0.5cm，y与x之间是一次函数关系，设y与x之间的关系式是y＝kx＋b， 由表格可得，，解得：， 即y与x之间的关系式为：y＝0.5x＋12； （4）当y＝15.5时，15.5＝0.5x＋12，解得：x=7， 当弹簧的长度为15.5cm时，物体的质量为7kg． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，利用一次函数的性质解答． 五、从函数的图像获取信息 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器（无水）底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（）与注水时间t（）的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误； 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化 ，故C正确，B错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）周末，小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，走了一段时间后，小明发现时间有点来不及，所以小明准备乘坐一辆出租车前往图书馆，在原地等待一段时间后，小明坐上了出租车，准时到达了图书馆．小明距离家的路程与时间的关系大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据题意识别函数图象，注意画图象时的分段情况是解题的关键． 根据题意分三段分析判断即可． 【详解】解：小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，因此S随时间t的增长而增长， 等了几分钟后坐上了出租车，因此时间在增加，S不增长， 坐上了出租车，出租车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，且速度比步行时快， 因此S又随时间t的增长而增长． 故选：D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）周六早上，晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，在书店选书用了，再用回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图象法表示实际问题的变量关系，数形结合是解决问题的关键． 根据题意，结合选项逐项判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，随着时间增加，晓蕾离家距离（单位）在增加；在书店选书用了，晓蕾离家距离（单位）在不变；再用回到家中，晓蕾离家距离（单位）在减少； 综上所述，能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是： 故选：D． 六、列函数关系式 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）若的底长，高为． (1)写出的面积y与x之间的函数关系式? (2)当时，的面积为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了函数关系式，三角形面积公式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的面积等于乘底乘高，进行列式化简，即可作答． （2）依题意，把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵的底长，高为 则 ∴的面积y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 即的面积为 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温随距离地面高度变化而变化的情况： 距离地面高度 0 1 2 3 4 … 气温 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式： (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【答案】(1) (2)距离地面的高度气温是 (3)山顶与地面的高度为 【分析】本题考查了函数关系式及函数值． （1）根据表中的数据写出函数关系式； （2）把相关数据代入函数关系式求解即可； （3）把相关数据代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，距离地面高度增加，气温下降， 与h之间的关系式为； （2）解：当时，． 答：距离地面的高度气温是； （3）解：当时，，解得． 答：山顶与地面的高度为． 3．（24-25七年级下·江西吉安·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能刚好坐80人，理由见解析 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化进行判断即可； （2）根据题干给出的数据，求出函数解析式即可； （3）令，求出自变量的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； （3）解：不能刚好坐80人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐80人． 七、动点的函数图像 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知，如图（1），长方形中，E是边上一点，且，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（    ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A．①②③ B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度． 先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时，找到点位置计算面积即可判断的值． 【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为， ． ， ． ∴， 当点从点到点时，所用时间为：， ，故①正确； 点运动完整个过程需要时间为：，即，故②错误； 当时，， 又四边形是长方形， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形，故③正确； 当时，点运动的路程为：，此时， 面积为：，故④错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则， 点是中点， ， 故①不合题意； 由图象可得：4～7秒，点在上运动，则， 故②符合题意； 第7秒时，点在处，， 故③不符合题意； 由图象可得：当第12秒时，点在处， ， ， ， ， 故④不符合题意， 正确的是②， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，勾股定理，解决问题的关键是确定矩形的长和宽． 根据与的对应关系，求得矩形的长和宽，代入面积公式计算即可． 【详解】解：从函数图象和运动过程可得，， 当点运动到点时，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了动点与函数图形的综合，熟练掌握三角形面积公式，函数图象的增减性，是解题的关键． 根据题意可得点点P在边上时，的面积为0，由函数图象得，当点P在边上由B到C时，的面积由0增大到24，由函数图象得，由三角形面积公式求得A到的距离为． 【详解】解：∵点P从的点A处出发，沿边匀速运动， 当点P在边上时， 的面积为0， 由图2看出， 当点P在边上由B到C时， 的面积由0增大到24， 由图2看出， 则A到的距离为． 故选：C． 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）周末，陈老师从家骑自行车去“新华书店”，途中他去“人民公园”玩了一段时间．在整个过程中陈老师离“新华书店”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．陈老师家距离“新华书店”1600米 B．陈老师在“人民公园”玩了10分钟 C．陈老师从家到“人民公园”的速度大于从“人民公园”到“新华书店”的速度 D．陈老师离开“人民公园”后的速度为320米/分钟 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据图中数据，结合路程、时间、速度之间的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由图可知，时，，陈老师家距离“新华书店”2400米， 故选项A结论错误，不合题意； 陈老师在“人民公园”玩的时间为：分钟， 故选项B结论错误，不合题意； 陈老师从家到“人民公园”的速度为：（米/分钟）， 从“人民公园”到“新华书店”的速度为：（米/分钟）， ， 故选项C结论错误，选项D结论正确， 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，同一温度的华氏温度与摄氏温度之间的关系式是，如果某一温度的摄氏温度是，那么它的华氏温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了自变量与因变量关系式的应用，熟知两个变量之间是对应的是解题的关键． 将代入计算即可得到答案． 【详解】解：将代入得， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动（点P不与点B重合）．的面积为，点P运动的时间为x（秒），则y与x间的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列解析式，根据题意得到，则，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】在长方形中， ∴，， ∵动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动（点P不与点B重合），点P运动的时间为x（秒）， ∴，则 ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息． 根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学校的时间/ 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/ 2 12 (2)填空： ①李华在陈列馆参观学习的时间为______h； ②学校到陈列馆的距离为______；书店到陈列馆的距离为______； ③李华从陈列馆回学校的途中，减速前的骑行速度，为______． 【答案】(1)填表见解析 (2)①3；②20；8；③28 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，解题的关键是读懂题意，理解李华离开学校再回到学校的过程． （1）根据图象求出离开学校，离学校距离，根据图象直接得出离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校距离为； （2）①由图象直接可得李华在陈列馆参观学习的时间为； ②由书店离学校，陈列馆离学校可得答案； ③用路程除以时间可得李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为； 【详解】（1）解：根据图象可知：离开学校，离学校距离为， 由图象知离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校距离为； 填表如下： 离开学校的时间 1 3 离开学校的距离 2 10 12 12 20 （2）解：①∵， ∴李华在陈列馆参观学习的时间为； 故答案为：3； ②由图可知，陈列馆离学校 ∵， ∴书店到陈列馆的距离为； 故答案为：20；8； ③∵， ∴李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为． 故答案为：28． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是________；边的长度是________； (2)在变化过程中，求长方形面积的最大值； (3)求边向左匀速平移的速度； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式（不考虑t的取值范围）． 【答案】(1)2；3 (2) (3) (4) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程时间速度公式算出向左平移的速度； （4）将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，边向左运动直至与边重合共需 边向左匀速平移的速度是； （4）解：边向左平移时，边 长方形的面积． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程时间速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 6．（北京市房山区2024--2025学年下学期八年级期末考试数学试卷）小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 【答案】(1) (2)作图见详解，随时间的增加，逐渐减小 (3)①；②燃烧时长约为或 【分析】本题主要考查函数图象获取信息，描点，连线绘制函数图象，理解表格系数，函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解； （2）运用描点连线作图，结合函数图象分析即可； （3）①根据函数图象判定即可；②根据函数图形判定即可． 【详解】（1）解：根据题意，每10分钟记录一次燃烧后剩余的高度，的变化情况是逐渐减少， ∴表格中空缺的数值为， 故答案为：； （2）解：根据表格描点如下， 根据图象得到，随时间的增加，逐渐减小； （3）解：①根据（2）中的函数图象可得，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为； ②根据图形可得，当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 综上所述，燃烧时长约为或． 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)图中的自变量是 ；因变量是 ；（用文字表达） (2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； 【答案】(1)操控无人机的时间，无人机飞行的高度 (2)5 (3)25 【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． （1）根据图象信息得出自变量和因变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间分钟即可； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可． 【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是操控无人机的时间，因变量是无人机飞行的高度； 故答案为：操控无人机的时间，无人机飞行的高度； （2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分）， 故答案为：5； （3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度（米/分）， 故答案为：25． 8．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）甲骑自行车从A地去B地，乙骑摩托车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为s（千米）与甲行驶的时间为t（小时）之间的关系如图所示． 问题： (1)A、B两地之间的路程为______千米； (2)求甲、乙各自的速度； (3)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)20千米/时，40千米/时 (3)1.5小时或2.5小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，从图象中准确获取信息是解题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）结合图中信息，根据时间、路程、速度之间关系求解； （3）分相遇前、后两种情况，分别列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图可知，A、B两地之间的路程为千米， 故答案为：120； （2）解：甲的速度：（千米/时）， 乙的速度：（千米/时）； （3）解：①相遇前：， 解得； ②相遇后：， 解得， 答：甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）一个弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 弹簧的长度 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． (2)在弹性限度内，若所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式． (3)当所挂物体的质量由变化到时，这个弹簧的长度是如何变化的？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3)弹簧的长度从变长为 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）将，分别代入（2）中的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当所挂物体的质量由变化到时， 当时，， 当时，． ∴弹簧的长度从变长为． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： (1)请求出 ， ， ； (2)当的面积等于，求点P运动的时间t； (3)当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 【答案】(1)6，4，8 (2)或 (3)和 【分析】本题考查了三角形面积，一元一次方程，函数图像和动点问题的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）通过分析图像可以得到当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点，根据三角形面积公式可求得，然后分析可得3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，然后即可求得，； （2）根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动，然后分别列一元一次方程方程即可求解； （3）先求得点到达终点时间，然后在分情况列式作答，即可求解； 【详解】（1）解：由题可得，当点P运动到线段、线段和线段，三角形的面积不变， ∴当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点， 当动点在上时，三角形的面积为， 即， 解得：， ∴， 由题可得：3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动， 即， ∴， 解得：， 故答案为：6，4，8； （2）解：根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动， ，解得：， 线段：， 线段：， ∴当的面积等于时，点P运动的时间或； （3）解：， ∴当时，点到达终点，即点和点同时停止运动， 由图像可得：当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动， 当点P在线段上时，，， 当点P在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 分情况讨论 ①当点在线段上时，点P也在线段上时，由， 即，解得：（符合），当时，，或，均不符合，当点在线段上时，点P在线段上时，，（符合）或（不符合）， 故当点在线段上时，存在2种情况和； ②当点在线段上时，当点P在线段上时，由，由于，故不存在； ③当点在线段上时，当点P在线段上时，由， 即，（不符合）或（不符合）； 综上所述： 当时，存在2种情况，点P运动的时间和； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 函数 7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（1道） 一、函数的概念 1．（24-25八年级下·北京·期中）下列曲线中表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（   ）个 底面积 高 ①所代表的值为；        ②自变量是，因变量是； ③变量，的关系式为；    ④若，则． A．0 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 二、求自变量的取值范围 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知变量与的关系式是，则当时， ． 5．（24-25七年级下·福建三明·期末）变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是 ． 三、求自变量或函数值 1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（ ） A． B． C．0 D．12 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知函数，当时，_____． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的函数关系是，则自变量时的函数值为 . 四、用表格表示函数 1．（21-22八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 2．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 3．（20-21七年级下·辽宁锦州·期中）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（℃）之间的关系如下： 气温（℃） 0 5 10 15 20 … 音度（米/秒） 331 334 337 340 343 … 从表中可知音速随温度的升高而 ；在气温为15℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 4．（20-21七年级下·广东佛山·期中）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：（弹簧最大承重20kg） 所挂物体质量x 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）如表反映的变化过程中，自变量、因变量分别是什么？ （2）当物体的质量为2kg时，弹簧的长度是多少？ （3）如果物理的质量为xkg，弹簧长度为ycm，请根据如表写出y与x之间的关系式； （4）当弹簧的长度为15.5cm时，根据（3）的关系式，求出物体的质量． 五、从函数的图像获取信息 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器（无水）底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（）与注水时间t（）的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）周末，小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，走了一段时间后，小明发现时间有点来不及，所以小明准备乘坐一辆出租车前往图书馆，在原地等待一段时间后，小明坐上了出租车，准时到达了图书馆．小明距离家的路程与时间的关系大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）周六早上，晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，在书店选书用了，再用回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 六、列函数关系式 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）若的底长，高为． (1)写出的面积y与x之间的函数关系式? (2)当时，的面积为多少? 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温随距离地面高度变化而变化的情况： 距离地面高度 0 1 2 3 4 … 气温 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式： (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 3．（24-25七年级下·江西吉安·期末）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 七、动点的函数图像 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知，如图（1），长方形中，E是边上一点，且，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（    ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A．①②③ B．①③ C．③④ D．①④ 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）周末，陈老师从家骑自行车去“新华书店”，途中他去“人民公园”玩了一段时间．在整个过程中陈老师离“新华书店”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．陈老师家距离“新华书店”1600米 B．陈老师在“人民公园”玩了10分钟 C．陈老师从家到“人民公园”的速度大于从“人民公园”到“新华书店”的速度 D．陈老师离开“人民公园”后的速度为320米/分钟 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，同一温度的华氏温度与摄氏温度之间的关系式是，如果某一温度的摄氏温度是，那么它的华氏温度是 ． 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动（点P不与点B重合）．的面积为，点P运动的时间为x（秒），则y与x间的关系式为 ． 4．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息． 根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学校的时间/ 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/ 2 12 (2)填空： ①李华在陈列馆参观学习的时间为______h； ②学校到陈列馆的距离为______；书店到陈列馆的距离为______； ③李华从陈列馆回学校的途中，减速前的骑行速度，为______． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是________；边的长度是________； (2)在变化过程中，求长方形面积的最大值； (3)求边向左匀速平移的速度； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式（不考虑t的取值范围）． 6．（北京市房山区2024--2025学年下学期八年级期末考试数学试卷）小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)图中的自变量是 ；因变量是 ；（用文字表达） (2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； 8．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）甲骑自行车从A地去B地，乙骑摩托车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为s（千米）与甲行驶的时间为t（小时）之间的关系如图所示． 问题： (1)A、B两地之间的路程为______千米； (2)求甲、乙各自的速度； (3)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）一个弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 弹簧的长度 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． (2)在弹性限度内，若所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式． (3)当所挂物体的质量由变化到时，这个弹簧的长度是如何变化的？ 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： (1)请求出 ， ， ； (2)当的面积等于，求点P运动的时间t； (3)当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$