浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年九年级下学期7月份大讲堂选拔数学试卷

1 25.7鄞州中学新初三大讲堂选拔考数学试卷 一、选择题 1. 定义 a*b＝3a－b，若 2*(5－x)＝1，则 x＝ . 2. 已知 x2－1是 x3＋ax2＋bx＋c的因式，则 3ab a c  ＝ . 3. 如图，在凸四边形 ABCD中，AB＞AD，BC＝CD，AC平分∠BAC，∠ BAD=25°，则∠BCD＝ . 4. 已知 a和 b由抛骰子得到（等概率抛到 1，2，3，4，5，6），则方程(a －1)x2＋(b－2)x＋1＝0有实数解的概率为 . 5. 已知 x，y，z为正整数，且 x≤y≤z，则满足 1 1 1 1 2x y z    的(x，y，z) 有 组. 二、填空题 6. 3 2 2 3 2 2 3 3 3 4 2 8 3 3 3 4 2 8            ＝ . 7. 已知 19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，且 st≠1，则 4 1st s t   ＝ . 8. 若关于 x的方程(x2－1)(kx2－6x－8)＝0有三个不同的实数解，则 k的个 数为 . 9. 已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，以AE为边作正方形AEFG， 使得 A、G两点在 BE的同侧，BD的延长线与 AF交于点 H. 若 HD＝ 2 ，FH＝5 2 ，则 BE的长为 . 2 10. 一个人在直角坐标系上从(－3，3)走到(3，3)，每次他可以往上走一个 单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法. 三、解答题 11. 已知方程(m＋1)x2＋2x－5m－13＝0的根均为整数，求实数 m的值. 12. 在△ABC中，点 H为垂心. （1）证明正弦定理. （2）证明： 2 cos cos cos AH BH CH R A B C    . 25.7鄞州中学新初三大讲堂选拔考数学试卷全解全析 一、选择题 1.定义a*b=3a-b,若2*(5-x)=1,则x= 由题意可知2*(5-x)=6-(5-x)=x十1=1，得x=0 2. 已知-1是x3+ax2+bx+c的因式，则ab+30= 由因式定理可知{ a+b+c=-1m 0-6+c=1解得b1,从而6+30=2 a=-c 3.如图，在凸四边形ABCD中，AB>AD,BC=CD,AC平分∠BAC,∠ BAD=25°，则∠BCD= D B 在AB上截取AE=AD,从而△ADC≌△AEC,∴.∠D=∠AEC,DC=EC=CB, ∴.∠B=∠CEB,∴.∠D+∠B=∠AEC+∠CEB=180°，∴.∠BCD=155. D B 4,已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1,2,3,4,5,6），则方程(a 一1)x2+(b一2)x+1=0有实数解的概率为 由题意可知数对(a,b)共有36种可能 当a=1时，b=1,3,4,5,6时方程均有解； 当a≠1时，则此时方程为一元二次方程，要有实数解需满足判别式△=(b一2)2一4(a一1)≥0，下面分类讨论： 当a=2时，有(b一2)2≥4，此时b只能为4,5,6； 当a=3时，有(b一2)2≥8，此时b只能为5,6： 当a=4时，有(b一2)2≥12，此时b只能为6： 当a=5时，有(b一2)2≥16，此时b只能为6： 当a=6时，有(b-2)P≥20，此时没有满足条件的b. 综上可知：方程有实数解的概率为2=} 363 5已知x,,:为正整数，且x≤≤2，则满足上++-的x,,) x y z 2 有 组 由x≤：可得≥≥，从而-1++s3,可得3≤≤6 x V Z x 2 x y Z x 例如，当x=3时，原方程等价于上+=，变形得一6y一6=0即0-6X一636， y.261 从而可得 y= 或y=8或y=9或y=10或y=12 z=42z=24z=18z=15z=12 其余情况同理，可得还有解(4,5,20)，(4,6,12)，(4,8,8)，(5,5,10)，(6,6,6) 二、填空题 6. V3-22 V3+2V2 V3×3-3×4V2+8V3×3+3×45+8 -月 2+明 原式= 2 N3-22V3+22j 7.已知19s2+99s+1=0,P+991+19=0,且1≠1，则+4s+1 显然1≠0，将P+991+19=0转化为19号+99+1=0， t 故s与，是方程19x2+99x+1=0的两个根，s+1=一9，三=1 t19t19 :+4s+1=3+}+4×g=-5 t t 8若关于x的方程(x2一1)kx2一6x一8)=0有三个不同的实数解，则k的个 数为 显然x=1以及x=一1为方程两个不同的实数解，故方程ax2一6x一8=0还有一根， 若k=0,则x三一，成立： 0,当A=0时，k三一？，此时万程粮为r三一A 3成立： 当x=1为方程的根时，k=14,另一根为x=一 7’成立 4 当x=一1为方程的根时，k=2,另一根为x=4,成立 综上k的值有4个 9.已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，以AE为边作正方形AEFG, 使得A、G两点在BE的同侧，BD的延长线与AF交于点H.若HD=√2，FH=5√2，则BE的长为 连结AC,过F作FM⊥BC交BC延长线于点M,延长BH、MF交于点N, 故△BMN为等腰直角三角形，易证△ABE≌△EMF,∴.AB=EM, 又BE=FM,BM=MN,∴.NF=EM=AB,从而△ABH≌△FNH,∴.H为AF中点， AF=10V2,AE=EF=10,在△AOH中，AO2+(AO+√2P=(5V2)2, 解得OA=3√2，AB=6,从而BE=8. G H A D B E M 10.一个人在直角坐标系上从（一3,3）走到(3,3)，每次他可以往上走一个 单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法 如图所示，令A(一3,3)，运用逐点累加法可知共有74种走法 13 19 25 37 74 37 6 16 /6 16 2 25 6 4----F 19 6 13 7 4 6 A 三、解答题 11.已知方程(m+1)x2+2x一5m一13=0的根均为整数，求实数m的值 若m+1=0,则m=一1，此时x=4,满足题意； 若m+1≠0，即m≠一1，此时方程为一个一元二次方程，△=4+4(m+1)(5m+13)≥0， 2 即5m2+18m+14≥0，由韦达定理可知x1+x2=- m+1’x2=5m-13 m+1 从而x1x2-4(x1+2)=一5，(x1一4)(2-4)=11，不妨令x≤x2 则x1一4=1,2一4=11，或x1-4=一11,2-4=-1， 解得x1=5,2=15,或x1=一7，x2=3, 算得对应的m=一或m=一，均满足判别式， 10 综上所述，m=-1,一或- 10 2 12.在△ABC中，点H为垂心 (1)证明正弦定理. (2)证明： AH BH CH =2R. cos A cos B cosC (1)如图，sin∠BAC=sinM= BC, 其余同理 2R A M E 0. C D C B B (2)如图，可知△BCE与△AHE相似，从而BC=BE sinA AH AE tan A=S cosA 从而4H=BC=2R,其余同理 cos A sin A