三角函数微专题 w与φ的取值范围讲义-2025届高三数学二轮复习

三角函数微专题　与的取值与范围问题 【典例剖析】 题型一　利用三角函数的单调性求与 例1 已知函数在上单调递减，则的取值范围是 例2 若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对点训练1：（2024·重庆·二模）若函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 对点训练2：若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二　利用三角函数的对称性求与 例2 （2022年高考全国甲卷数学（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 对点训练2： 若函数（，）满足，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三　利用三角函数的极值、最值求与 例3 （2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 对点训练3： 若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 题型四　利用三角函数的零点求与 例4 （2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 对点训练4： 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 ． 【课后练习】 1. （2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数在区间内不存在对称轴，则的最大值是 . 3. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. （2022年高考全国乙卷数学（理））记函的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 5. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6. 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为(　　) A．(2，4)　　 　B． C． D． 7. （2022年高考全国甲卷数学（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 由部分图象求函数解析式 变式1-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（    ） 【题型2：同名三角函数图象之间的变换】 例2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 变式2-3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【题型3：异名三角函数图象之间的变换】 例3．（23-24高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【题型6：求正（余）弦型函数的单调区间】 变式6-1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 正（余）弦型函数的奇偶性应用 变式9-1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．（23-24高三下·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．（23-24高一下·辽宁阜新·月考）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 对称性 变式10-2．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 变式10-3．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 三角函数微专题　与的取值与范围问题 【典例剖析】 题型一　利用三角函数的单调性求与 例1 已知函数在上单调递减，则的取值范围是 【答案】 【解析】； 令，，则， 所以在是减函数， 因为在区间单调递减， 所以有，即， 又，所以，. 例2 若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设，由，所以， 则在上单调递增， 所以，解得， 又，所以，即的取值范围是.故选：B. 对点训练1：（2024·重庆·二模）若函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦型函数的单调性建立不等式，解不等式即可求解． 【解答过程】令，， 解得，， 由于在上单调递增， 所以， 即，， 因为，所以当时，的最小值为． 故选：B． 对点训练2：若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 若函数在区间上单调递增， 则，，解得， 又，当时,可得. 故选：A. 题型二　利用三角函数的对称性求与 例2 （2022年高考全国甲卷数学（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 对点训练2： 若函数（，）满足，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】求出，利用对称轴即可得出的最小值. 【解答过程】由题意， 在（，）中， 由于，即，又，所以， 所以， 由可知是函数图像的一条对称轴， 所以，，即，，所以的最小值为4， 故选：D. 归纳总结：利用三角函数的对称性求与的解题策略 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于与的不等式组，进而可以研究与的取值范围. 题型三　利用三角函数的极值、最值求与 例3 （2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 对点训练3： 若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 【答案】 【解析】函数，， 所以当时，， 又在内存在最小值但无最大值， 结合图象可得， 解得. 故答案为： 归纳总结：利用三角函数的极值、最值求与的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于与的不等式(组)，进而求出与的值或取值范围. 注意：在极值问题中，定义域区间的端点取等问题的分析（易错点） 题型四　利用三角函数的零点求与 例4 （2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 对点训练4： 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得函数的零点，再利用题给条件列出关于正数ω的不等式，解之即可求得正数ω的取值范围. 【详解】由，可得，即， 令，则 又在区间内没有零点， 则区间内不存在整数， 又，则正数ω满足， 则，则，解之得，则正数ω的取值范围是. 归纳总结：利用三角函数的零点求与的解题策略 若已知三角函数的零点，则利用三角函数的零点与对称中心或周期的关系，可以列出关于与的不等式(组)，进而求出与的值或取值范围. 【课后练习】 8. （2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的对称性求出 ，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心， 故，则，， 又在上单调递减，则， 即得，结合，即， 故当时，；当时，； 取其它值时，不合题意， 故的最大值为， 故选：B． 9. 已知函数在区间内不存在对称轴，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由正弦函数性质及已知条件建立不等式组即可 【详解】因为，且，所以， 因为在区间内不存在对称轴，所以， 解得，当时，；当时，； 当时，不成立，即， 故答案为：. 10. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是. 11. （2022年高考全国乙卷数学（理））记函的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 12. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 在定义域内存在唯一，使得， 所以在上有唯一解，令， 所以在上有唯一解， 则由正弦函数图像性质可知，， 13. 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为(　　) A．(2，4)　　 　B． C． D． 解析：C　化简f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ， 在x∈时，ωx＋∈，该区间上有零点，故>π⇒ω>2， 又x∈时f(x)单调，则T＝2⇒ω≤4，即ω∈(2，4]， 故⇒⇒ω∈，故选C. 14. （2022年高考全国甲卷数学（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 【即学即练2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【答案】作图见解析 【解析】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 由部分图象求函数解析式 变式1-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，.故选：B. 【题型2：同名三角函数图象之间的变换】 例2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A. 变式2-3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故A正确. 对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故B错误. 对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度， 所得图象对应的解析式，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故D错误.故选：AC. 【题型3：异名三角函数图象之间的变换】 例3．（23-24高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】由可得， 将的图象上的点的横坐标向右平移个单位 可得，即得到结果.故选：D 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】注意到， 又，则要得到函数的图像，只需将函数 的图象向左平移个单位长度.故选：A 【题型6：求正（余）弦型函数的单调区间】 变式6-1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 要求函数的增区间，即， 即. 令，得到.则A正确，B错误； 令，得到.则C，D错误．故选：A． 正（余）弦型函数的奇偶性应用 变式9-1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是奇函数，则只需， 所以， 所以时，.故选：D. 变式9-2．（23-24高三下·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意；故选：B. 变式9-3．（23-24高一下·辽宁阜新·月考）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，.故选：B 对称性 变式10-2．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【解析】根据图象关于直线对称可得，解得; 又关于点对称可得，解得； 经检验当时，符合题意.故选：C 变式10-3．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数的图象在 内恰有两条对称轴， 所以，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$