精品解析：上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

曹杨二中高一期末数学试卷 2025.06 一.填空题 1. 是虚数单位，则__________． 2. 若，则________ 3. 设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为__ 4. 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 7. 已知向量，，满足，，且，则____． 8. 设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 9. 设复数满足. 若为实数，则________ 10. 已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是________ 11. 在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 12. 著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 二.选择题 13. 设， 已知向量 若 则x=（ ） A. 2 B. - 2 C. D. 14. 设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无穷多个 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 三.解答题 17. 如图，在直三棱柱，，D 是棱AB(不含端点)上的一点. （1）若，求异面直线与所成角的大小; （2）若，求点B到平面的距离. 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 19. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，C、D是底面圆周上两点(C在劣弧上)，且，设M为中点，已知平面， （1）求证: ； （2）若圆柱的体积与侧面积均为，求直线与平面所成角的大小. 20. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，，， （1）求证:直线与直线是异面直线； （2）若二面角的余弦值为 求k的值； （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 21. 设 （1）若且，求x的值； （2）在 中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 设M为AB边的中点.若 且，求的大小； （3）设常数求证：对任意，关于x的不等式在区间上均有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨二中高一期末数学试卷 2025.06 一.填空题 1. 是虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：利用复数模的定义可求解． 详解：，故答案为． 点睛：本题考查复数的模，掌握模的计算公式是解题基础，本题是容易题． 2. 若，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】由诱导公式可得：. 因为， 所以. 故答案为： 3. 设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为__ 【答案】 【解析】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解 【详解】向量在方向上的投影为： 故答案为：-1 4. 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原平面图，利用勾股定理求边长，然后可得. 【详解】因为为边长为1的正方形，所以， 还原平面图如图，中，， 所以，所以的周长为. 故答案为：8 6. 如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【解析】 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 7. 已知向量，，满足，，且，则____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解. 【详解】由题，故即， ，； ，故即， ，； ，故即， ，， 所以， 且，， 所以. 故答案为：. 8. 设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的共轭和韦达定理求值. 【详解】因为，方程的两虚根为、， 所以. 可设，则（不妨设）， 则根据韦达定理，得：，又， 所以，，. 故答案为：5 9. 设复数满足. 若为实数，则________ 【答案】2或 【解析】 【分析】先设，再根据为实数求出的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以可设， 所以， 因为为实数，所以，所以或. 若，则；若，则. 故答案为： 10. 已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据向量数量积的坐标运算可得，由题意将问题转化为直线与圆有两个交点，借助点到直线距离列式即可求. 【详解】由题意，设点，因为，， 则， 所以，即， 因为以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点， 所以与以原点为圆心的单位圆有两个交点， 所以，解得， 故答案为： 11. 在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【解析】 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 12. 著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 二.选择题 13. 设， 已知向量 若 则x=（ ） A. 2 B. - 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解. 【详解】设, , 则 ， 所以由题意可得,即,解得 故选：C 14. 设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，再根据复数在复平面上对应的点位于第四象限，即可得出结论. 【详解】由题意， ∵， ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限， ∴，解得， 故选：A. 15. 设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无穷多个 【答案】B 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论可判定结论. 【详解】由， 当时，两向量共线反向，平分圆，符合题意， 当，由， 设圆的半径为1，变形可得， 两边平方可得， 所以，解得， 因为，所以， 同理可得，， 所以平分圆， 若时， 当为偶数时，只要分为对，每对共线，可得， 比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足，但不平分圆， 所认不一定平分圆，故不符合题意， 当为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足， 可得平分圆，另外剩余的一定是偶数点， 由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆， 故可得不一定平分圆， 综上所述，可得只有与符合题意. 故选：B 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断即可求解. 【详解】当平面与A、B、C、D间的连线段的中点相交时， 不妨设平面过，，的中点，，，此时点A、B到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示， 此时B、C、D到平面的距离可能与A、B到平面的距离相同，此时有1个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（2）所示， 此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（3）所示， 此时点到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，过的靠近的四等分点，过靠近点的四等分点，如图（4）所示， 此时点到平面的距离相等，到平面的距离不同， 且和到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 三.解答题 17. 如图，在直三棱柱，，D 是棱AB(不含端点)上的一点. （1）若，求异面直线与所成角的大小; （2）若，求点B到平面的距离. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）如图可得为异面直线与所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可得答案； （2）如图，做，由题可得此时满足题意，然后由等体积法结合题意可得答案. 【小问1详解】 取中点为E，连接，取中点为F，中点为G， 连接，则由题易得 ，， 取中点为N，连接，则，， 则为异面直线与所成角或其补角. 由题， 则，由题可得，则， 从而.由题，E为中点， 则，连接NF，则. 则， 又异面直线夹角范围为，则异面直线与所成角的大小为； 【小问2详解】 如图，做，由题可得平面，又平面， 则，因平面，，则平面， 又平面，则此时，满足题意. 设点B到平面的距离为，则， 则. 注意到，由射影定理：，则. ，又由题可得， 则，结合， 则. 则. 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及和差角公式即可证明. （2）根据正弦定理求得，再根据余弦定理求出，利用面积公式求出的面积. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以. 【小问2详解】 根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为 19. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，C、D是底面圆周上两点(C在劣弧上)，且，设M为中点，已知平面， （1）求证: ； （2）若圆柱的体积与侧面积均为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出平面，结合题目条件得到平面平面，由面面平行的性质得到，得到四边形为平行四边形，故，所以； （2）根据圆柱的体积与侧面积均为，求出圆柱的底面半径和高，作出辅助线，求出各边长，利用等体积法求出到平面的距离，设直线与平面所成角为，则，得到答案. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为M为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 又，所以四边形为平行四边形， 故，所以； 【小问2详解】 设圆柱底面半径为，高为， 则且，解得， 连接， 由（1）知，四边形为平行四边形，又， 故平行四边形为菱形，又， 故均为等边三角形，， 同理可知四边形为菱形，故，⊥，⊥， 由勾股定理得， 又⊥平面，平面，所以⊥，⊥， 由勾股定理得， ， 又，，由勾股定理逆定理得， 故， 其中， 设到平面的距离为， 因为，所以， 即，解得， 由勾股定理得， 设直线与平面所成角为，则， 故. 20. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，，， （1）求证:直线与直线是异面直线； （2）若二面角的余弦值为 求k的值； （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）3种； 【解析】 【分析】（1）根据异面直线判定定理（过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）进行证明； （2）过点B作于点H，证明平面从而确定二面角的平面角为，利用列方程求k. （3）根据题意，共有三种拼接方法：底面与底面拼接、以平面进行拼接、以平面进行拼接，分别求出三种拼接方法得到的新四棱柱的表面积，比较大小，求出的表达式. 【小问1详解】 因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. 【小问2详解】 过点B作于点H，连接, 在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则, 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. 【小问3详解】 两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为，所以不可能为最小值， 令，解得， . 21. 设 （1）若且，求x的值； （2）在 中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 设M为AB边的中点.若 且，求的大小； （3）设常数求证：对任意，关于x的不等式在区间上均有解. 【答案】（1）或 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件结合辅助角公式以及三角函数的性质求解即得； （2）根据余弦定理可得，进而根据向量的模长求解即得； （3）根据余弦函数的性质求解不等式得或，即可对讨论求解. 【小问1详解】 由可得， 进而可得， 由于故，故或， 解得或， 【小问2详解】 , 由余弦定理可得, 故， 由于M为AB边的中点，所以, 故 ； 【小问3详解】 由可得， 故或， 当取时，得一组解为：或， 当时，取，即满足， 当时，，故此时取，满足， 当时，，故此时取，满足， 综上可知：对任意的，关于x的不等式在区间上均有解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $