2025届高三数学保温训练3（课本原题）（湘教版（2019）选择性必修第一册）

湘教版选必一课本原题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为 . 二、解答题-问答题 2．设某地的街道把城市分割成矩形方格，称每个方格为一个块，小张从家里出发上班，向东要走块，向北要走块，问小张上班的最短路径有多少种？   3．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）利用（1）中的切线方程求的近似值. 4．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 5．如图，已知圆O：和点，由圆O外一点P向圆O引切线，Q为切点，且有 . （1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形? （2）求的最小值； （3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 6．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值. 三、解答题-作图题 7．对数函数与指数函数的图象与性质．    (1)求对数曲线过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象． (2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值． (3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．） (4)对数曲线：关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？ (5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率“正好”等于1？ 因为当时，斜率． 又因为当，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率． 试仿此求出曲线在点处的切线方程．形式上复杂吗？ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为 . 【答案】36 【解析】设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，结合基本不等式，即可求得的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线的焦点，准线方程为， 设直线的方程为，， 联立方程组，则， 设，，可得， 由抛物线的定义可得， 由，可将上式中的换为，可得， 则， 当且仅当，上式取得等号， 则的最小值为36. 故答案为：36. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略： 1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径； 2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点到焦点的距离：或. 二、解答题-问答题 2．设某地的街道把城市分割成矩形方格，称每个方格为一个块，小张从家里出发上班，向东要走块，向北要走块，问小张上班的最短路径有多少种？    【答案】 【分析】依题意小张从家里出发上班一共要走块，其中向东要走块，向北要走块，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意要使路径最短，则只能向东或向北走，不能向西且不能向南走， 则小张从家里出发上班一共要走块，其中向东要走块，向北要走块， 所以小张上班的最短路径有种. 3．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）利用（1）中的切线方程求的近似值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）直接利用导数求解； （2）化简即得解. 【详解】解：（1）由题得，所以切线的斜率， 所以切线方程为. 所以切线方程为. （2）由题得， 所以. 4．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由得， ∴ 圆的圆心坐标为； （2）设，当x=3时，符合题意； 当x不等于3时， ∵ 点为弦中点即， ∴即， ∴ 线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点， 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 5．如图，已知圆O：和点，由圆O外一点P向圆O引切线，Q为切点，且有 . （1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形? （2）求的最小值； （3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 【答案】（1），轨迹是斜率为，在y轴上的截距为的直线，（2）（3） 【解析】(1)设点P,根据,列式化简即可得解; (2)由可知,的最小值即为点A到直线的距离; (3)结合圆的性质可知,与直线垂直,且圆与圆相切时,半径最小,据此求解即可. 【详解】(1)设点P的坐标为, ,, 由题意有,整理为:, 故点P的轨迹方程为, 点P的轨迹是斜率为,在y轴上的截距为的直线; (2)由和(1)可知, 的最小值即为点A到直线的距离, 故其最小值为; (3)由圆的性质可知,当直线与直线垂直时, 以此时的点P为圆心,且与圆O相外切的圆即为所求, 此时的方程为, 联立方程,解得,即, 又点O到直线的距离为,可得所求圆的半径为, 故所求圆的标准方程为. 【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需要学生有一定的分析和计算能力,属于中档题. 6．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值. 【答案】16 【分析】设直线方程，由两直线垂直可得方程，联立与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公式可得表达式，同理可得的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，焦准距， 过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点， 则，的斜率都存在且不为0， 故设，则直线，设， 联立，则，， 则，同理， 故， 同理可得, 故， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为16. 三、解答题-作图题 7．对数函数与指数函数的图象与性质．    (1)求对数曲线过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象． (2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值． (3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．） (4)对数曲线：关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？ (5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率“正好”等于1？ 因为当时，斜率． 又因为当，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率． 试仿此求出曲线在点处的切线方程．形式上复杂吗？ 【答案】(1)，图象见详解 (2)，， (3)证明见详解 (4)结论见详解；当时， (5)；不复杂 【分析】（1）利用导数求得切线斜率，根据直线方程运算即可得解. （2）结合图象，根据导数的几何意义可得结论和近似公式，利用公式运算即可得解. （3）利用导数研究函数单调性，确定函数的大致图象，求得函数最小值即可得证. （4）利用导数求得切线方程，根据图象的对称性可得结论，观察图象的位置关系即可得解. （5）利用条件中的求解过程换底求得切线斜率，根据直线方程运算即可得解. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴由导数的几何意义知曲线在点处的切线斜率为 ， 则曲线在点处的切线方程为， 即. 对数曲线和所求切线的图象如下图：    （2）解：观察（1）中的图象，可以发现切线在切点附近非常接近曲线. 即有，当很小时，. ∴； . （3）证明：设， 则，由可得：. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，； 由（1）中的图象知当时，. ∴函数大致图像如下图：    ∴是函数的最小值. ∴当时，，即有. ∴对所有的，不等式恒成立． （4）解：∵由可解得：， ∴对数曲线关于直线的轴对称图形是指数函数的图象. 对数曲线的切线的轴对称图形是，即. 点关于直线的轴对称点是，该点在指数曲线上. ∵，. ∴，， ∴由导数的几何意义知曲线在点处的切线斜率为 ， 则曲线在点处的切线方程为， 即. ∴对数曲线的切线的轴对称图形是是曲线的切线. 如下图    曲线的切线在曲线的下方，由此可得出： 对所有的，不等式恒成立． （5）解：当时，斜率． 又因为当，，因此． 将对数的底数取，则切线的斜率． ∴曲线在点处的切线方程为， 即. 切线方程在形式上不复杂，但求解过程比利用导数求切线斜率的求解过程复杂. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$