第4章 统计讲义-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

4 统计 知识点1：相关关系的强弱 （1）样本相关系数 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. （2）相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 【即学即练1】 （24-25高二下·全国·课后作业）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2：经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值（真实值），通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 知识点4：决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 【即学即练2】 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 知识点5：分类变量与列联表 (1)分类变量 为了方便,会使用一种特殊的随机变量,区别不同的现象或性质,这随机变量称为分类变量. (2)列联表 ①2×2列联表给出了两个分类变量数据的交叉分类频数． ②定义一对分类变量和，我们整理数据如下表所示： 合计 合计 知识点6：独立性检验 (1)独立性检验定义: 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． (2)独立性检验公式： 其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 【即学即练3】 为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，根据数据，计算的=27.1，试问色盲与性别关系是（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．相互独立 B．不相互独立 C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关 【题型一：独立性检验的应用】 例1．近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ 变式1-1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 变式1-2．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. 【题型二：线性回归方程的分析】 1．关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（    ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 2．研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【题型三：相关系数的意义与计算】 例3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．例题2：（多选）某公司收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应的广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．自变量与因变量相关性变弱 变式3-2．现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（    ） A． B． C． D．1 变式3-3．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 【题型四：一元线性回归模型的理解】 例4．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 变式4-1．根据最小二乘法由一组样本点（其中，2，，300），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（   ） A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1 C．对所有的解释变量，的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 变式4-2．研究表明，健康成年人的血清总胆固醇值（单位：）和年龄（单位：岁）之间满足经验回归方程，且年龄每增加一岁，血清总胆固醇值增加．某单位组织职工体检，随机抽取了六名职工的血清总胆固醇值如下： 年龄岁 25 32 35 41 51 56 血清总胆固醇值 3.01 3.21 3.58 4.68 5.03 5.33 若某个健康职工45岁，估计他的血清总胆固醇值为（    ） A． B． C． D． 【题型五：求回归方程】 例5．（24-25高二下·全国·课后作业）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考值：)并计算得： 变式5-2．随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 变式5-3．某市2015~2023年全体居民人均可支配收入（单位：元）如表所示，将其绘制成散点图（如图），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全体居民人均可支配收入（单位：元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 (1)设年份编号为（2015年的编号为1，2016年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收大为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01），并根据所求回归方程，预测2025年该市全体居民人均可支配收入； 参考数据：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【题型六：非线性模型转化为线性模型】 例6．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ） A． B． C．35 D．21 变式6-1．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 变式6-2．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示： 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得， (1)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； 参考公式与数据： ①． ②线性回归方程中，，． 变式6-3．随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 (1)小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； (2)利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 4 统计 知识点1：相关关系的强弱 （1）样本相关系数 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. （2）相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 【即学即练1】 （24-25高二下·全国·课后作业）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 知识点2：经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值（真实值），通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 知识点4：决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 【即学即练2】 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 【答案】B 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得，因为点在经验回归直线上， 所以，所以. 故选：B. 知识点5：分类变量与列联表 (1)分类变量 为了方便,会使用一种特殊的随机变量,区别不同的现象或性质,这随机变量称为分类变量. (2)列联表 ①2×2列联表给出了两个分类变量数据的交叉分类频数． ②定义一对分类变量和，我们整理数据如下表所示： 合计 合计 知识点6：独立性检验 (1)独立性检验定义: 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． (2)独立性检验公式： 其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 【即学即练3】 （24-25高二下·全国·课后作业）为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示： 情况 性别 总计 男 女 正常 442 514 956 色盲 38 6 44 总计 480 520 1000 根据上述数据，计算的=27.1，试问色盲与性别关系是（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．相互独立 B．不相互独立 C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关 【答案】B 【分析】根据卡方公式计算数值，对比临界值即可求得结果. 【详解】零假设为：色盲与性别相互独立，即它们之间无关． 因为， 所以， 所以依据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立， 即色盲与性别之间不相互独立，有的把握认为色盲与性别有关. 故选：B． 【题型一：独立性检验的应用】 例7．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ (2)为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下： ①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金； ②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格中的数据求出的观测值，结合临界值表可得结论； （2）由题意可知，随机变量可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的期望值. 【详解】（1）， 所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意，随机变量可能取值为：、、、、， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以，随机变量的期望. 变式7-1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可. 【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误， 但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病， 也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病. 故①④正确、②③错误. 故选：D 变式7-2．（山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)与性别有关联 (2)，意义见解析 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.         根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. （2）依题意得，，    ，    则         意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 【题型二：判断两个变量是否有相关性】 1．关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（    ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 【答案】ABD 【分析】根据线性回归方程的相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A，相关系数的计算公式为，回归系数的计算公式为. 在这两个公式中，分子均为，分母均为正数，所以与的符号由决定，二者符号相同.选项A正确. 对于选项B，对于线性回归方程，回归直线一定经过样本中心点.选项B正确. 对于选项C，线性回归方程中的表示回归直线的斜率，它反映的是自变量每变化一个单位时，因变量的平均变化量；而变量的相关性强弱是由相关系数来衡量的，越接近，两组变量的相关性越强.因此，的大小与两组变量的相关性强弱无关，选项C错误. 对于选项D，相关系数的绝对值越接近，表明两个变量的线性相关性越强. 当时，非常接近，说明与的线性关系足够强，此时适合用该回归方程进行预测.选项D正确. 故选：ABD. 2．研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【分析】设，，得到，，根据相关系数的计算公式，可得判定A正确，B错误；根据回归系数的计算公式，可得判定C和D正确，即可得到答案. 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 【题型三：相关系数的意义与计算】 例3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图判断相关变量的正负相关性及相关性强弱判断相关系数的大小即可. 【详解】由图知：（1）（3）变量呈正相关，且（1）的相关性比（3）要强，则， （2）（4）变量呈负相关，且（2）的相关性比（4）要强，则， 所以. 故选：A 变式3-1．例题2：（多选）某公司收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应的广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．自变量与因变量相关性变弱 答案：ACD 变式3-2．（24-25高三下·河南·开学考试）现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】注意到样本数据点均在直线上，根据题意结合相关系数的意义分析判断即可. 【详解】根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，故， 由直线的斜率为正，可知，所以. 故选：D. 变式3-3．（24-25高三上·全国·阶段练习）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用相关系数公式，可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系系数问题转化为向量夹角问题，即可得解. 【详解】设，，, 则有，，， 由相关系数公式可知：， 设与夹角为，与夹角为， 由x，y的样本相关系数为，所以，， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时x与z样本相关系数最大， 即， 故选：B. 【题型四：一元线性回归模型的理解】 例4．（24-25高三下·天津·开学考试）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 【答案】D 【分析】根据表格数据计算可得，再由样本中心点在回归直线上可得A错误，D正确，由回归方程的解析式可知变量与是正相关关系，且增量变化不为定值，可得BC错误. 【详解】对于A，易知， 又样本中心点在回归方程上，即, 所以，解得，即A错误； 对于B，由可知随着的增大而增大，因此变量与是正相关关系，即B错误； 对于C，由回归方程可知增加1个单位，的估计值增加3个单位左右，因此C错误； 对于D，回归方程必过样本中心点，即必过点，可得D正确. 故选：D 变式4-1．（2024高三·全国·专题练习）根据最小二乘法由一组样本点（其中，2，，300），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（   ） A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1 C．对所有的解释变量，的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 【答案】D 【分析】根据回归直线的性质判断ACD，根据相关系数的概念判断B. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率， 则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确. 故选：D 变式4-2．研究表明，健康成年人的血清总胆固醇值（单位：）和年龄（单位：岁）之间满足经验回归方程，且年龄每增加一岁，血清总胆固醇值增加．某单位组织职工体检，随机抽取了六名职工的血清总胆固醇值如下： 年龄岁 25 32 35 41 51 56 血清总胆固醇值 3.01 3.21 3.58 4.68 5.03 5.33 若某个健康职工45岁，估计他的血清总胆固醇值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由经验回归方程经过样本点的中心可求得，则经验回归方程可求，再将带入可得答案. 【详解】由题知，故， 又，， 所以样本点的中心为， 将其坐标代入，解得， 于是经验回归方程为， 估计该职工的血清总胆固醇值为， 故选：A． 【题型五：求回归方程】 例5．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【详解】（1）由表可知：                             所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可知： =                ， 所以 （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 变式5-1．（24-25高二下·全国·课后作业）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式可求得结果. 【详解】由题可得，， 由， ， 所以所求经验回归方程为． 故选：A. 变式5-2．（24-25高二下·全国·课后作业）随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 【答案】(1) (2) (3)14.4千亿元 【分析】（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程； （2）通过，代入，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程； （3）利用回归方程代入求值． 【详解】（1）设关于的线性回归方程为， 经计算得：，， ， ， ∴，， ∴； （2）将，代入得：， 即； （3）时，（千亿元）， 预测到年年底，该银行储蓄存款额可达千亿元． 变式5-3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期末）某市2015~2023年全体居民人均可支配收入（单位：元）如表所示，将其绘制成散点图（如图），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全体居民人均可支配收入（单位：元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 (1)设年份编号为（2015年的编号为1，2016年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收大为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01），并根据所求回归方程，预测2025年该市全体居民人均可支配收入； (2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从年中任取3年的数据进行分析，将选出的居民人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考数据：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1)，3.99万元. (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据所给数据及公式求出，，即可求出回归方程，再代入计算可得； （2）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意得， 故，， 故经验回归方程为， 又2025年的年份编号为11，将， 得，即预测2025年该市全体居民人均可支配收入为3.99万元. （2）由图表知，居民人均可支配收入超过3万的年份有3年， 故的可能取值为， 则， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故. 【题型六：非线性模型转化为线性模型】 变式6-1．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ） A． B． C．35 D．21 【答案】B 【分析】求出，即，得到答案. 【详解】由题意得， 故， 即， 故，解得. 故选：B 变式6-2．（2025·重庆·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 【答案】A 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以. 故选：A. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示： 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得， (1)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； 参考公式与数据： ①． ②线性回归方程中，，． ③若随机变量，则，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用对数整理回归方程，结合题目中给定的公式和数据，可得答案； （2）根据正态分布的相关概念，结合正太分布曲线的对称性，可得答案. 【详解】（1）依题意，两边取对数，得， 即，其中， 由提供的参考数据，可知，又，故，所以， 由提供的参考数据，可得，故， 当时，，即估计其绩效等级优秀率为； 6-3．随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 (1)小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； (2)利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 【答案】(1) (2)模型更有价值 【分析】（1）将两边取对数，只需结合所给公式求出的值即可得解； （2）只需计算出两个相关系数，然后它们和0.75这三个数之间比较大小即可作出结论. 【详解】（1）将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. ,学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$